폐쇄단면분류

수학, 특히 범주 이론에서 폐쇄적인 단면체 범주(또는 단면체 폐쇄 범주)는 구조가 양립할 수 있는 방식으로 단면체 범주인 동시에 폐쇄된 범주인 범주다.

대표적인 예가 세트인 세트(Set)의 범주인데, 여기서 세트 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$ $및{\displaystyle }$ B$$ ${\displaystyle$ $B$$}$의 단일제품은 일반적인$$ 데카르트 제품 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$ {\$displaystyle$ A$\times B}$ $및$$$내부 ${\displaystyle {홈}^{}}$ B ${\$ B$^{$$A}}$은(는$)$ A {\$displaystyle A}$에서$$B {\$displaystyle B}$까지의 함수 집합이다$.$ 비카르트적 예로는 $필드{\displaystyle }$ K ${\displaystyle K}$ 위에 있는 벡터 공간 K-Vect의 범주$.$ 여기서 모노이드 제품은 벡터 공간의 일반적인 텐서 곱이며, 내부 홈은 하나의 벡터로부터 선형 맵의 벡터 공간이다.보조를 맞추다

폐쇄형 대칭 단면체 범주의 내부 언어는 선형 논리, 형식 시스템은 선형형 시스템이다.닫힌 단일형 범주의 많은 예는 대칭이다.그러나 비대칭 단면체 범주는 언어학의 범주-이론적 형식에서 만날 수 있기 때문에 항상 이러한 경우가 필요한 것은 아니다. 대략적으로 말하자면, 이것은 자연 언어의 워드 순서가 중요하기 때문이다.

정의

닫힌 단일형 범주는 모든 개체 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ B$}$에 대해 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$을(를) 사용하여 우측 텐셔닝으로 functor를 제공하는 단일형 $범주{\displaystyle \mathcal{}}$ C ${\$이다.

$A\mapsto A\time B}$

글씨가 쓰여진 직함이 있다.

$(B\Displaystyle A\mapsto(B\오른쪽 화살표 A))}$

이것은 홈셋 사이에 '커싱'이라고 불리는 편견이 존재한다는 것을 의미한다.

${\displaystyle {\text{홈}_{\mathcal{C}(A\otimes B,C)\cong {\text{홈}_{\mathcal{C}(A,B\오른쪽 화살표 C)}$

그것은 A와 C 둘 다에서 자연스러운 것이다.다른, 그러나 일반적인 표기법으로, 사람들은 펑토르라고 말할 것이다.

${\displaystyle -\otimes B:{\mathcal {C}\to {\mathcal {C}}$

직위가 있다.

${\displaystyle [B,-]:{\mathcal{C}\to {\mathcal{C}}$

마찬가지로 폐쇄형 단면체 범주 $C{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$은(는) 두 개 개체 A와 B마다 장착되는 범주로서$$

• 물체 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\Rightarrow$ B$\},$
• 형태론 $e{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{v}}_{}}$ a ${\displaystyle {,}_{}}$ ${\displaystyle b_{}}$: ${\displaystyle (A}$ ${\displaystyle \Rightarrow }$ B${\displaystyle }$) ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle A}$→ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mathrm {eval} _{A,B}:(A\Rightarrow B)\otimes$ A$\to$ B$\},$ ,,

모든 형태론에 대해 다음과 같은 보편적 특성을 만족한다.

$(\displaystaystyle f:X\othes A\to B}$

독특한 형태주의가 존재한다.

$A\Rightarrow B}에 표시$

그런

${\displaystyle f=\mathrm {eval} _{A,B}\circ(h\otimes \mathrm {id} _{A}).}$

이 건설 p마다× 함수 기호 ⇒:CC→ C{\displaystyle \Rightarrow:{{\mathcal C}을 정의합니다}^{브람스}\times{{C\mathcal}}\to{{C\mathcal}}}. 이 functor 내부 Hom functor 불릴 것이고 개체 A⇒ B{A\Rightarrow B\displaystyle}내부 Hom A의 상이라 불린다 shown[표창 필요한] 수 있 {\displaystyle$A}$과 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B$ 다른 많은 표기들이 내부 홈에 공통적으로 사용되고 있다.$C{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 텐서 제품이$$ 데카르트 제품일 때 일반적인 표기법은 $B{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle A^{}}$ ${\$$A}},$ 이$$ 개체를 지수 개체라고 한다.

양방향 및 대칭 범주

엄밀히 말하면$,$ 우리는 어떤 $물체{\displaystyle }$ $A$를 가지고도 우측 텐서링을 $요구$했기 때문에 우측 폐쇄 단면형 범주를 정의했다$.$왼쪽 닫힌 단면체 범주에서는 대신 왼쪽 텐서링의 펑터(functor)를 임의의 $물체{\displaystyle }$ A ${\displaystyle A}$로 요구함

$B.mapsto A.time B.$

직위가 맞다.

$B\mapsto(B\왼쪽 화살표 A)}$

쌍끌이 단면체 범주는 왼쪽과 오른쪽이 모두 닫힌 단면체 범주다.

대칭 단면형 범주는 오른쪽 닫힌 경우에만 닫힌다.따라서 우리는 '대칭 단면체 폐쇄 범주'를 왼쪽 또는 오른쪽 폐쇄 범주에 명시하지 않고 안전하게 말할 수 있다.사실,${\displaystyle }$땋은 단면형 범주의 경우에도 더 일반적으로 같다: ${\displaystyle \mathrm{bra}}$ B ${\displaystyle$ A$\otimes$ B$}$이(가) $자연$스럽게 B is${\displaystyle }$A ${\displaystyle B\otimes$ A$}$에 대해 이형화되기 때문에$,$ 왼쪽의 텐서링과 오른쪽의 텐서링의 구별은 중요하지 않게 되기 때문에 오른쪽의 모든 닫힌 단면형 범주 b.표준적인 방법으로 닫힌 좌회전, 그리고 그 반대도 마찬가지다.

우리는 닫힌 단면체 범주를 추가 속성이 있는 단면체 범주로 묘사했다.닫힌 단면체 범주를 추가 속성이 있는 닫힌 범주로 동등하게 정의할 수 있다.즉, 내부 홈 펑터(Hom functor)에 보조를 맞춘 텐서(tensor) 제품의 존재를 요구할 수 있다.이 접근법에서 폐쇄형 단면형 범주를 단면형 폐쇄형 범주라고도 한다.

예

• 모든 데카르트 폐쇄 범주는 단면체 구조가 데카르트 제품 구조인 경우 대칭 단면체 폐쇄 범주가 된다.내부 Hom functor는 지수 객체 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle A^{}}$ ${\$ B$^{A}$에 의해 주어진다$.$
  • 특히 집합의 범주인 세트(Set)는 대칭적이고 폐쇄적인 단면체 범주다.여기서 내부 Hom $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\Rightarrow B}$은(는) $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$에서 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$까지의 함수 집합일 뿐이다$.$
• 모듈 범주 R-Mod over a communative ringR은 비카르테시안, 대칭, 단일형 폐쇄 범주다.모노이드 제품은 모듈의 텐서 제품으로 제공되며 내부 Hom M${\displaystyle m}$ N ${\displaystyle M\Rightarrow N}$은 자연 R-모듈 구조로$$ R-선형 맵 ${\displaystyle {\mathrm{Hom}}_{}}$ ${\displaystyle R_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle (}$M${\displaystyle }$, ${\displaystyle N}$ )${\displaysty \operatorname {Hom} _{R}(M,N)$의 공간으로 제공된다$$.
  • 특히 필드 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$에 대한 벡터 공간의 범주는 대칭적이고 폐쇄적인 단면체 범주다$$.
  • 아벨리아 집단은 Z-모듈로 볼 수 있기 때문에 아벨리아 집단의 범주 역시 대칭적이고 폐쇄적인 단노이드 범주다.
• 컴팩트한 폐쇄 범주는 내부 Hom functor $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\Rightarrow B}$이(가) ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ⊗$$B {\$displaystyle$ A$^{*}\otimes$ B$}$에 의해 주어지는 대칭의 단면체 폐쇄 범주로$,$ 표준적인 예는 유한 차원 벡터 공간 FdVect의 범주다.

백작샘플

• 링의 범주는 링의 텐서 곱 아래의 대칭 단면체 범주로, $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$가) 단위 개체 역할을 한다$$.이 범주는 마감되지 않았다.만약 그렇다면, 어떤 고리들 사이에도 정확히 하나의 동형식이 존재할 것이다.${\displaystyle \operatorname {Hom} (R,S)\cong \operatorname {Hom} (\mathbb {Z} \otimes R,S)\cong \operatorname {Hom} (\mathbb {Z} ,R\Rightarrow S)\cong \{\bullet \}}$.R-알게브라의 범주에 대해서도 같은 것이 적용된다.

참고 항목

• 이즈벨 결합

참조

• 켈리, G.M. "농축분류론의 기본개념", 런던수학학회 강의노트 시리즈 64번 (C.U.P, 1982년)
• Paul-Andre Mellies, "선형 논리의 범주적 의미론", Panoramas et Synthes 27, Societé Mathématique de France, 2009년
• nLab의 닫힌 단면체 범주