첨가함수

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수 이론에서 가법 함수는 양의 정수 변수 n의 산술 함수 f(n)로, a와 b가 동일할 때마다 제품 ab에 적용되는 함수는 a와 b:에 적용된 함수의 값의 합이다.^[1]

완전 첨가제

가법함수 f(n)는 동시발생하지 않더라도 $f{\displaystyle (b}$ ${\displaystyle )}$= ${\displaystyle f(}$ )${\displaystyle }$+ ${\displaystyle f(b)}$ ${\displaystyle f(ab)=f(a)+f(b)}$이 모든 양의 정수 a와 b에 대해 고정되어$$ 있으면 완전히 가법함수 f(n)는 가법이라고 한다.완전히 첨가된 것은 또한 완전히 승법적인 함수와 유추하여 이 의미에서도 사용된다.f가 완전히 가법 함수인 경우 f(1) = 0.

모든 완전 첨가 함수는 가법이지만 그 반대는 아니다.

예

완전히 첨가된 산술 함수의 예는 다음과 같다.

• 로그 함수를 $N{\displaystyle \mathbb{}}$. ${\displaystyle \mathb {N}($으)로 제한
• p in n의 prime 인자 p의 다중성, p가^m n을 나누는 가장 큰 지수 m이다.
• a₀(n) - n 계산 다수를 나누는 프리임의 합계(sumpfr(n), n의 효력 또는 n의 정수 로그(sequence A0014 in OEIS)).예를 들면 다음과 같다.

a₀(4) = 2 + 2 = 4

a₀(20) = a₀(2² · 5) = 2 + 2 + 5 = 9

a₀(27) = 3 + 3 + 3 = 9

a₀(iii) = a₀(2⁴·3²) = a(2₀⁴·3) + a₀(3²) = 8 + 6 = 14

a₀(2000) = a₀(2⁴ · 5³) = a₀(2⁴) + a₀(5³) = 8 + 15 = 23

a₀(2003)=2003년

a₀(54,032,858,972,279) = 1240658

a₀(54,032,858,972,302) = 1780417

a₀(20,190,190,704,327,415) = 1240681

• 함수 Ω(n)은 n의 주요 인자의 총 수로 정의되며, 여러 인자를 여러 번 계수하며, 때로는 "빅 오메가 함수"(OEIS에서 연속 A001222)라고도 한다.예를 들어,

Ω(1) = 0, 1에 주 요인이 없기 때문에

Ω(4) = 2

Ω(16) = Ω(2·2·2·2) = 4

Ω(20) = Ω(2·2·5) = 3

Ω(27) = Ω(3·3·3) = 3

Ω(144) = Ω(2⁴ · 3²) = Ω(2⁴) + Ω(3²) = 4 + 2 = 6

Ω(2000) = Ω(2⁴ · 5³) = Ω(2⁴) + Ω(5³) = 4 + 3 = 7

Ω(2001) = 3

Ω(2002) = 4

Ω(2003) = 1

Ω(54,032,858,972,279) = 3

Ω(54,032,858,972,302) = 6

Ω(20,802,650,704,327,415) = 7

가법적이지만 완전히 가법적이지는 않은 산술 함수의 예는 다음과 같다.

• Ω(n), n(OEIS에서 시퀀스 A001221)의 총 고유 주요 인자 수로 정의된다.예를 들면 다음과 같다.

ω(4) = 1

ω(16) = ω(2⁴) = 1

ω(20) = ω(2² · 5) = 2

ω(27) = ω(3³) = 1

ω(144) = ω(2⁴ · 3²) = ω(2⁴) + ω(3²) = 1 + 1 = 2

ω(2000) = ω(2⁴ · 5³) = ω(2⁴) + ω(5³) = 1 + 1 = 2

ω(2001) = 3

ω(2002) = 4

ω(2003) = 1

ω(54,032,858,972,279) = 3

ω(54,032,858,972,302) = 5

ω(20,802,650,704,327,415) = 5

• a₁(n) – n을 나눈 구별되는 소수(sopf(n)라고도 함)의 합계(OEIS에서 연속 A008472).예를 들면 다음과 같다.

a₁(1) = 0

a₁(4) = 2

a₁(20) = 2 + 5 = 7

a₁(27) = 3

a₁(iii) = a₁(2⁴·3²) = a(2₁⁴·3) + a₁(3²) = 2 + 3 = 5

a₁(2000) = a₁(2⁴·5³) = a(2₁⁴·5) + a₁(5³) = 2 + 5 = 7

a₁(2001) = 55

a₁(2002년) = 33

a₁(2003)=2003년

a₁(54,032,858,972,279) = 1238665

a₁(54,032,858,972,302) = 1780410

a₁(20,1987,190,704,327,415) = 1238677

승수함수

모든 가법 함수 $f{\displaystyle (n}$) ${\displaystyle f(n)}$에서 관련 승법 함수 $g{\displaystyle (n}$ ${\displaystyle )}$, ${\displaystyle g(n)$을 생성할 수 있으며$$, 이는$$ ${\displaystyle a}$ 및 $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$이(n)가 동일할 때마다 다음과 같은 속성의 함수다.

그러한 예로는 $g{\displaystyle }$( ${\displaystyle n}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 2^{}}$ ${\displaystyle f^{}}$( n${\displaystyle {}^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$. ${\displaystyle g(n)=2^{f(n)}}$가 있다.

요약함수

가법 함수 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ f$}$을$($를) 지정하면, 요약 함수를 $M{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ f${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle :=\underset{n}{}}$ n ${\displaystyle \underset{}{\le }}$ x ${\displaystyle \underset{}{}}$( ${\displaystyle n}$ )${\displaystyle {\m}_{f}(x):$$=\sum _{n\leq x}f(n$$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$의 평균은 정확히 다음과 같이 주어진다$$.

$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$에 ${\displaystyle \mathrm{대한}}$ ${\displaystyle \mathrm{요약}}$ 함수는 ${\displaystyle M_{}}$ f${\displaystyle {}_{}}$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle E}$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$+ O${\displaystyle }$( x ${\displaystyle \cdot }$ D${\displaystyle }$( $){\displaystyle {\mathcal {\m}_{f}(x)=xE(x)+$로 확장할 수 있다$$.$O({\sqrt{x}}\cdot D(x)}$여기서$$

$f{\displaystyle {}^{}}$ ${\$함수의 평균도 이들 함수에 의해 다음과 같이 표현된다$$.

항상 절대 $상수{\displaystyle }$ > ${\displaystyle C_{f}>0}$이(가) 있기 때문에 모든 자연수 ${\displaystyle \mathrm{x}}$≥ 1 ${\displaystyle$ x$\geq$ 1$\},$

내버려두다

${\displaystyle \mathrm{f}}$ ${\displaystyle f$${\displaystyle {}^{}}$이${\displaystyle (가)}$ ${\displaystyle x}$${\displaystyle }$→ ${\displaystyle \infty }$ ${\$$displaystyle -1\leq f(p^{\alpha }}=f(p)\leq 1}($$예$: x → ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ {\$displaysty x\righarrow$ \$infty$ $\})$과 같은 첨가 함수라고 가정합시다$$.

그런 다음 $\nu {\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$; z${\displaystyle }$)${\displaystyle }$~ G${\displaystyle }$( ${\displaystyle z}$) ${\displaystyle \nu (x;z)\sim G(z)}$ $여기$서 G ( ${\displaystyle z}$) ${\displaystyle G(z)}$은 가우스 분포 함수임

프라임 오메가 함수 및 이동 프리임의 프라임 디비저의 수와 관련된 이 결과의 예로는 $고정{\displaystyle }$ z$display$ R {\$displaystyle z\in$\mathb {$R}$에 대한 다음이 포함되며, ${\displaystyle \mathrm{여기}}$서 x ${\displaystyle \gg }$ 1 ${\displaystyle x\g$ 1$}$에 대한 관계는 다음과 같다$.$

참고 항목

• 시그마 부가성
• 프라임 오메가 함수
• 승수함수
• 산술 함수

참조

추가 읽기