산술 후치안 그룹

산술 후치안 그룹은 쿼터니온 알헤브라의 명령을 사용하여 구성된 후치안 그룹의 특별한 부류다.그것들은 산술 집단의 특별한 예들이다.산술 후치안 그룹의 원형 예는 모듈형 ${\displaystyle 그룹\mathbb{}}$ P ${\displaystyle {\mathrm{S}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$( Z${\displaystyle }$) ${\displaystyle \mathrmat$ {$PSL} _{2}(\mathb {Z} )$이다$.$이들, 그리고 쌍곡면에서의 작용과 관련된 쌍곡면들은 종종 푸치안 그룹과 쌍곡면 사이에서 특히 규칙적인 행동을 보인다.

정의 및 예제

콰터니온 알헤브라스

필드 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$에 대한 쿼터니온 $대수학$은 4차원 중앙 단순 F {\$displaystyle F}$ -algebra이다$$.quaternion 대수에는 기본 $1{\displaystyle \mathrm{}}$,${\displaystyle i,}$ ${\displaystyle j,}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle$1, i$,j,ij}$이(가) 있으며 $여기$서 i ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$,${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ F ${\displaystyle {\times }^{}}$ ${\$ i$^{2$}\$n2}\$$in{\displaystyle }$ F$^{\times },$ ${\displaystyle \mathrm{i<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; i^\{2\},j^\{2\}\backslash in\; F^\{\backslash times\; \}\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/12214dfa7e0e07fd1b2640dad697eea18c030ee9"\; style="vertical-align:\; -0.671ex;\; width:11.069ex;\; height:3.009ex;"\; papago-attr-id="36">}}$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle j}$ i ${\displaystyle ij=-j}$가 있다$.$

$행렬{\displaystyle }$ $M{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$( F ) {\${\displaystyle \mathrm{displaystyle}}$ $F}$ -algebra와$$ 행렬 M 2 ( F${\displaystyle }$) ${\displaystyle M_{2}(F)}$의 대수로 이형인 경우$$ 쿼터니온 대수는 F ${\$$displaystystyle F}$에 대해 분할된다고 한다$.$

If ${\displaystyle \sigma }$ is an embedding of ${\displaystyle F}$ into a field ${\displaystyle E}$ we shall denote by ${\displaystyle A\otimes _{\sigma }E}$ the algebra obtained by extending scalars from ${\displaystyle F}$ to ${\displaystyle E}$ where we view ${\displaystyle F}$ a$s{\displaystyle }$ ▼ ${\displaystyle \sigma }$을(를) 통해 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$의 하위 필드$.$

산술 후치안 그룹

$P{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{S}}_{}}$ L ${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle R\mathbb{}}$) ${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathb {R}$)의 부분군은 다음과 같은 구성을 통해 얻을 수 있다면 쿼터니언 대수에서 파생된 것이라고 한다$$.$F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$을(를) 완전히 실제 숫자 필드로 하고$$ $A{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle A}$을(를) F {\$displaystyle F}$에 대한 쿼터니언 대수로서 다음 조건을 만족하도록$$ 한다.먼저 $고유$한 내장 embed${\displaystyle }$: ${\displaystyle F\mathbb{}}$ ${\displaystyle \hookrightarrow }$ R ${\$:$F\hookrightarrow \mathbb {R} }$ such that ${\displaystyle A\otimes _{\sigma }\mathbb {R} }$ is split over ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ; we denote by ${\displaystyle \phi :$$A\otimes$ _${\sigma }\mathb {R} \to M_{2}(\mathb {R} )}$의$$이형성 R {\$displaysty \mathb${R} -algebras$$$.$또한 다른 모든 임베딩 $dings{\displaystyle }$${\displaystyle \tau }$ 대수$$ A ${\displaystyle {}_{}}$ ${$ ${\displaystyle {}_{}\mathbb{}}$ {\$displaystyle A\otimes$_{\$tau$}\$mathb${R$}}}}}$은(이는 해밀턴 쿼터니온과 이형성이 동일함)이 분할되지 않도록 요청한다$$.Next we need an order ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ in ${\displaystyle A}$. Let ${\displaystyle {\mathcal {O}}^{1}}$ be the group of elements in ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ of reduced norm 1 and let ${\displaystyle \Gamma }$ be its image in ${\displaystyle M_{2}$$(\mathbb {R} )}$ via ${\displaystyle \phi }$. Then the image of ${\displaystyle \Gamma }$ is a subgroup of ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$ (since the reduced norm of a matrix algebra is just the determinant) and we can consider the Fuchsian group which is its image in ${\displaystyle {\mathrm{P}\mathrm{S}\mathrm{L}}_2(}$${\displaystyle \mathbb{R}}$) ${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathb {R}$ $)\}.$

The main fact about these groups is that they are discrete subgroups and they have finite covolume for the Haar measure on ${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} ).}$ Moreover, the construction above yields a cocompact subgroup if and only if the algebra ${\displaystyle A}$ is not split over ${\d$$isplaystyle F$ 불명확함은 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$이(가) 하나의 실제 임베딩에서만 분할된다는$$ 사실의 다소 즉각적인 결과물이다.공동 부피의 정밀성은 증명하기가 더 어렵다.^[1]

산술 후치안 그룹은 P ${\displaystyle {\mathrm{S}}_{}}$ L ${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle R\mathbb{}}$) ${\displaystyle \mathrmat$ {$PSL} _{2}(\mathb {R}$)의$$ 하위그룹으로, 쿼터니언 대수에서 파생된 그룹에 준한다.산술 후치안 그룹은 이산적이고 유한한 공동 볼륨(이것은 그들이 P ${\displaystyle {\mathrm{S}}_{}}$ L ${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle R\mathbb{}}$) ${\displaystyle \matrmatrm {PSL} _{2$}(\$mathb$ {R}$)}$에 있는 래티스임을 의미한다.

예

The simplest example of an arithmetic Fuchsian group is the modular ${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {Z} ),}$ which is obtained by the construction above with ${\displaystyle A=M_{2}(\mathbb {Q} )}$ and ${\displaystyle {\mathcal {O}}=M_{2}(\mathbb {Z} )$$.}$ By taking Eichler orders in ${\displaystyle A}$ we obtain subgroups ${\displaystyle \Gamma _{0}(N)}$ for ${\displaystyle N\geqslant 2}$ of finite index in ${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {Z} )}$ which can be explicitly written as follows:

${\displaystyle \Gamma _{0}(N)=\left\{\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}}\in \matrmatrm {PSL}_{2}(\mathb {Z}):c=0{\pmod{N}\rimod}\rig}\right\rig}.}$

물론 그러한 부분군의 산술성은 ${\displaystyle 산술\mathbb{}}$ 그룹 $P{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ S ${\displaystyle {\mathrm{L}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( Z${\displaystyle }$) ${\displaystyle \mathrmat {PSL} _{2}(\mathb {Z}$)에서 유한 지수라는 사실에서 따르며,$$ 이들은 유한 지수 부분군, 조합 하위군의 보다 일반적인 등급에 속한다.

$Q$ ${\$에 대한 쿼터니온 대수에서 Q ${\$ {$Q}$에 대해 분할되지 않고$$ $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 대해 분할하면 코콤팩트 산술 Fuchsian 그룹이 생성된다$$.그런 알헤브라는 풍부하게 공급되고 있다.^[2]

보다 일반적으로, $M{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$(${\displaystyle Q\mathbb{}}$ ) ${\displaystyle M_{2}(\mathb {Q} )}$이(가) 아닌 쿼터니온 알헤브라의 모든 주문은 코코막 하위 그룹을 산출한다$$.$A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$을(를) 후르비츠 쿼터니온으로 지정하여 특별한 관심을 보이는 추가 예를 얻는다.

최대 부분군

자연스러운 질문은 더 큰 이산형 하위그룹에 엄격히 포함되지 않는 산술적인 푸치시안 그룹들 사이에서 그것들을 식별하는 것이다.이를 최대 클라인 그룹이라고 하며 주어진 산술적 상응성 등급에서 완전한 분류를 할 수 있다.Margulis의 $정리$는 P ${\displaystyle {\mathrm{S}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$2 ( ${\displaystyle C\mathbb{}}$) ${\displaystyle \mathrmatrm$ {$PSL} _{2}(\mathb {C}$ )의 격자가 무한히 많은 최대 클라인 그룹에 준할 수 있는 경우에만 산술적이라는$$ 것을 암시한다는 점에 유의한다.

응집 부분군

$\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$= ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{L}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle Z\mathbb{}}$) ${\displaystyle \Gamma =\mathrm {SL} _{2}(\mathb {Z}$)의 주 일치 부분군은 다음과 같은 형식의 부분군이다$$.

${\displaystyle \Gamma(N)=\{\\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\in \mathrm {PSL}_{2}(\mathb {Z}):a,d=1\pmod{N},b,c=0}{{{{{{{{N}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

for some ${\displaystyle N\geqslant 1.}$ These are finite-index normal subgroups and the quotient ${\displaystyle \Gamma /\Gamma (N)}$ is isomorphic to the finite group ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} /N\mathbb {Z} ).}$ A congruence subgroup of ${\displaysty$$\Gamma$}은(는) 정의상 주요 일치 하위 그룹을 포함하는 하위 그룹이다$$($이{\displaystyle \mathrm{}}$ 그룹들은 con ${\displaystyle \Gamma }$의 행렬을 취하여 정의된 그룹이며, 이는$$ 정수를 만족하므로 이름을 만족한다.

특히 S ${\displaystyle {\mathrm{L}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle Z\mathbb{}}$) ${\displaystyle \mathrm$ {$SL} _{2}(\mathb {Z}$)의 모든 유한 지수 부분군이 일치$$ 부분군인 것은 아니다.A nice way to see this is to observe that ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$ has subgroups which surject onto the alternating group ${\displaystyle A_{n}}$ for arbitrary ${\displaystyle n,}$ and since for large ${\displaystyle n}$ the group ${\displaystyle A_{n}}$$$ $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$에 대한 S ${\displaystyle {\mathrm{L}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle Z\mathbb{}}$/ ${\displaystyle N\mathbb{}}$ ${\displaystyle Z}$) ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathb {Z} /N\mathb {Z})$의 하위 그룹이 아니며 이러한$$ 하위 그룹은 일치 하위 그룹이 될 수 없다.사실, ${\displaystyle {\mathrm{S}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$2 (${\displaystyle Z\mathbb{}}$ )$${\$displaystyle \mathrmat {SL} _${2$}(\mathb {Z} )}$에서 합치 부분군보다 비합치성이 훨씬 더 많다는 것도 알 수 있다$.$^[3]

합치 하위그룹의 개념은 산술 푸치시안 그룹에 일반화되며 위의 결과는 이 일반적 설정에서도 유효하다.

이차적 형태를 통한 시공

There is an isomorphism between ${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )}$ and the connected component of the orthogonal group ${\displaystyle \mathrm {SO} (2,1)}$ given by the action of the former by conjugation on the space of matrices of trace zero, on which the determinant induces the st실제 2차 서명 공간의 계략(2,1)산술 후치안 그룹은 숫자 필드 위에 정의된 2차 형태와 연관된 직교 그룹의 적분점을 취함으로써 후자 그룹에서 직접 구성할 수 있다(그리고 특정 조건을 만족함).

이 서신에서 모듈 그룹은 ${\displaystyle \mathrm{그룹}}$ S O${\displaystyle }$(${\displaystyle 2}$,${\displaystyle 1}$) (${\displaystyle Z\mathbb{}}$ )${\displaystyle }$.$${\$displaystyle \mathrmat {SO} ($2,1$)(\mathb {Z})$에 비례하여 연결된다.$}$^[4]

산술 클라인 그룹

The construction above can be adapted to obtain subgroups in ${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {C} )}$: instead of asking for ${\displaystyle F}$ to be totally real and ${\displaystyle A}$ to be split at exactly one real embedding one asks for ${\displaystyle F}$ to have exactly one complex embedding up to complex conjugacy, at which ${\displaystyle A}$ is automatically split, and that ${\displaystyle A}$ is not split at any embedding ${\displaystyle F\hookrightarrow \mathbb {R} }$. The subgroups of ${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {C} )}$ commensurable to those ob이 구조에 의해 묶여진 것을 산술 클라인 그룹이라고 부른다.푸쉬안 사례에서와 같이 산술 클라인 그룹들은 유한한 부피의 이산 하위그룹이다.

산술 Fuchsian 그룹의 추적 필드

푸치안 그룹의 불변 추적장(또는, 기본 그룹의 단조영상을 통해 쌍곡선 표면의 단조영상을 통해)은 원소의 사각형 트레이스에 의해 생성되는 필드다.기본 그룹이 숫자 $필드{\displaystyle }$ F ${\displaystyle F}$에 대한 쿼터니온 대수에서 파생된 푸치안 그룹과 동등한 산술 표면의 경우$$ 불변 추적 필드는 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ F$}$과 같다$.$

사실 그 기본 집단의 원소들의 흔적을 통해 산술 다지관의 특징을 파악할 수 있는데, 그 결과는 타케우치의 기준이라고 알려져 있다.^[5]후치안 그룹은 다음 세 가지 조건이 실현되는 경우에만 산술 그룹이다.

• 불변 추적 필드 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$은(는) 완전히 실제 숫자 필드임.
• 그 원소의 흔적은 대수 정수다.
• 내장형${\displaystyle }\sigma {\displaystyle }$ : ${\displaystyle F}$→ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$$sigma$ :$F\to \mathbb {R} }$ such that for any ${\displaystyle \gamma }$ in the group, ${\displaystyle t=\mathrm {Trace} (\gamma ^{2})}$ and for any other embedding ${\displaystyle \sigma \neq \sigma ':$$F\to \mathb {R}$${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ (${\displaystyle t}$) ${\displaystyle ⩽}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \sigma '(t) \leqslant 2$

산술 쌍곡면 기하학

The Lie group ${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )}$ is the group of positive isometries of the hyperbolic plane ${\displaystyle \mathbb {H} ^{2}}$. Thus, if ${\displaystyle \Gamma }$ is a discrete subgroup of ${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )}$$$ then ${\displaystyle \Gamma }$ acts properly discontinuously on ${\displaystyle \mathbb {H} ^{2}}$. If moreover ${\displaystyle \Gamma }$ is torsion-free then the action is free and the quotient space ${\displaystyle \Gamma \setminus \mathbb {H} ^{2}}$ is a surface (a 2-manifold) with a hyperbolic 미터법(정규 단면 곡률 -1의 리만 미터법).γ{\displaystyle \Gamma}(가)산술 푸치안 그룹인 경우, S표면{S\displaystyle}을산술 쌍곡면이라고 한다(산술 기하학에서 산술 표면과혼동해서는 안 된다, 그러나 문맥이 명확할 때는"하이퍼볼릭"지정자를 생략할 수 있다.산술적인 푸치시안 그룹은 유한한 공량을 가지기 때문에 산술적인 쌍곡선 표면은 항상 유한한 리만 볼륨을 가진다(즉, 볼륨 형태의 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$에 대한 적분은 유한함).

부피 공식 및 정밀도

생성된 산술 데이터에서 구별되는 산술 표면의 부피에 대한 공식을 제공할 수 있다.Let ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ be a maximal order in the quaternion algebra ${\displaystyle A}$ of discriminant ${\displaystyle D_{A}}$ over the field ${\displaystyle F}$, let ${\displaystyle r=[F:\mathbb {Q} ]}$ be its degree, ${\displaystyle D_{F}}$ its discrimin개미와 $\zeta {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle F_{}}$ ${\$는 데데킨드 제타 기능이다.Let ${\displaystyle \Gamma _{\mathcal {O}}}$ be the arithmetic group obtained from ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ by the procedure above and ${\displaystyle S}$ the orbifold ${\displaystyle \Gamma _{\mathcal {O}}\setminus \mathbb {H} ^{2}}$. Its volume is computed by the formula^[6]

${\displaystyle \operatorname {vol} (S)={\frac {2 D_{F} ^{\frac {3}{2}}\cdot \zeta _{F}(2)}{(2\pi )^{2r-2}}}\cdot \prod _{{\mathfrak {p}}\mid D_{A}}(N({\mathfrak {p}})-1);}$

the product is taken over prime ideals of ${\displaystyle O_{F}}$ dividing ${\displaystyle (D_{A})}$ and we recall the ${\displaystyle N(\cdot )}$ is the norm function on ideals, i.e. ${\displaystyle N({\mathfrak {p}})}$ is the cardinality of the finite ring ${\d$$isplaystyle O_{F}/{\mathfrak{p}}.$판독기는 $O{\displaystyle \mathcal{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle Z\mathbb{}}$) ${\displaystyle {\mathcal{O}=M_{2}(\mathb {Z} )}$의 출력이$$ 모듈 표면의 쌍곡선 볼륨이 $\pi {\displaystyle }$ /${\displaystyle 3\mathrm{}}$ ${\displaysty \pi /3}$과 같다는 잘 알려진 결과를 복구하는지 확인할 수 있다$.$

숫자 필드에 대한 최대 하위 그룹 및 정밀도 결과에 대한 설명과 함께 이 공식은 다음 문구를 증명할 수 있다.

> ${\displaystyle V>0}$이(가) $주어질{\displaystyle }$ 경우 V {\$displaystyle V}$보다 체적이 작은 산술 표면만 미세하게 많다$.$

치수 4 이상에서 왕씨의 정밀도 정리(국소 강성의 결과)는 "산술적"을 "완료적 볼륨"으로 대체함으로써 이 진술이 사실임을 주장한다는 점에 유의한다.특정 볼륨의 산술 다지관이 벨롤리페츠키(Gelander—Lubotzky—^[7]Moes)에 의해 주어진 경우 숫자에 대한 점근성 등가.

미니멀 볼륨

최소 부피의 쌍곡선 궤도선(Hurwitz quaternion order)은 특정 질서와 연관된 표면으로서 얻을 수 있으며, 부피 $\pi {\displaystyle }$/ ${\displaystyle 21}$ ${\displaystyle \pi /21}$로 압축되어 있다$.$

폐쇄형 지오디컬 및 주입성 반지름

리만 다지관의 닫힌 지오데틱은 또한 지오데틱인 닫힌 곡선이다.이러한 곡선은 산술적 표면 또는 세 가지(manifold: manifold): 베이스 필드의 특정 2차적 확장에서 특정 단위에 해당된다(설명 내용이 길기 때문에 여기에서 완전히 설명해서는 안 된다).예를 들어 모듈형 표면에서 원시 폐쇄형 지오디컬의 길이는 실제 2차 영역에 있는 표준 1 단위의 절대 값에 해당한다.이 묘사는 사르낙이 실제 이차적 분야의 계급 집단의 평균 질서에 대한 가우스의 추측을 확립하기 위해 사용했다.^[8]

산술 표면은 (최적, 최대 일정) 수축기 불평등을 만족시키는$$ $모든{\displaystyle }$ g ${\displaystyle g}$에 $대해$ g ${\displaystyle g}$ 속 표면의 패밀리를 구성하는 데 사용할^[9] 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {sys}(S)\geqslant {\frac {4}{3}\log g.}$

산술 쌍곡면 스펙트럼

라플라스 고유값 및 고유 기능

$S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$이(가) 쌍곡면인 경우$,$ S {\$displaystyle$ S$}$의 부드러운 기능에 대해$$ 구별되는 연산자 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Delta }$이(가) 있다$.$ $S{\displaystyle }$ ${\$$displaysty$ $S}$이(가$$)가 압축된 경우, Hilbert $공간{\displaystyle {}^{}}$ L ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$($)$에 있는 본질적으로 자체 적응하지 않은 연산자로 확장된다.$style L^{2}(S)}$ of square-integrable functions on ${\displaystyle S}$. The spectral theorem in Riemannian geometry states that there exists an orthonormal basis ${\displaystyle \phi _{0},\phi _{1},\ldots ,\phi _{n},\ldots }$ of eigenfunctions for ${\displaystyle \Delta }$. The associated eigenvalues = < 2 { $\displaystyle \lambda _{0}=0<\lambda _{1}\leqslant \lambda _{2}\leqslant \cdots }}}}$은(으)이(으)의 한이)이며, 그들의 점증상법률에 의해 지배된다.

${\displaystyle \mathrm{S}}$= ∖ ${\displaystyle \setminus }$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\$ S$=\Gamma \setminus \mathb$ {$H}$^{$2}}$가 산술인 경우 이러한 고유특성은 Maass 양식이라 $불리는{\displaystyle \mathrm{}}$ {$${\$displaystyle \Gamma}$에 대한 특별한 형태의 자동형이다.$\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Delta }$의 고유값은 숫자 이론가뿐만 아니라 ${\displaystyle {\varphi n}_{}}$ ${\$}의 분포 및 노달 집합에도 관심이 있다$$$.$

$S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$이(가) 미세한 부피인 경우는 더 복잡하지만, cusp 형태라는 개념을 통해 비슷한 이론을 세울 수 있다.

셀베르크 추측

표면 S{S\displaystyle}의 주파수 격차 정의에 의해 가장 작은 고유치 λ 0=0{\displaystyle \lambda_{0}=0}과 두번째로 작은 고유치 λ 1>0{\displaystyle \lambda_{1}>. 0}일 경우 사이의 차이, 따라서 그 가치는 λ 1{\displaystyle \lambda_{1}}그리고 우리는 그것이 의미 한다.에 의해${\displaystyle \lambda _{1}(S).$$}}$ 일반적으로$$ 임의로 작게 만들 수 있다(ref Randol)(단, 부피가 고정된 표면의 경우 양의 하한선을 가진다).셀버그 추측(Selberg assuse)은 산술적 사례에서 하한으로 추측되는 통일성을 제공하는 다음과 같은 진술이다.

If ${\displaystyle \Gamma \subset \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )}$ is lattice which is derived from a quaternion algebra and ${\displaystyle \Gamma '}$ is a torsion-free congruence subgroup of ${\displaystyle \Gamma ,}$ then for ${\displaystyle S=\Gamma '\setminus \m$$atsb {H$$} ^2}}:$ ${\displaystyle \lambda _{1}(S)\geqslant {\tfrac {1}{4}.}$

이 문장은 산술 표면의 하위 분류에만 유효하며 쿼터니온 알제브라에서 파생된 격자에서 유한 지수의 일반 하위 그룹에 대해 거짓으로 보일 수 있다는 점에 유의하십시오.셀버그의 원래 성명은^[10] 모듈형 표면의 조화 커버에 대해서만 이루어졌으며 일부 소그룹에 대해서는 검증되었다.^[11]셀버그 자신은 "셀버그의 1/16 정리"라고 알려진 결과$$, 하한 ${\displaystyle {bound\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$⩾ 1 ${\displaystyle \frac{16}{},}$ ${\displaystyle \lambda _{1}\geqslant {\tfrac{1}{16}}}}}}}$을(를) 입증했다.전체적으로 가장 잘 알려진 결과는 루오-루드닉-사르낙 때문이다.^[12]

스펙트럼 갭의 균일성은 S ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$( Z${\displaystyle }$)의 슈레이어 그래프로서 확장기 그래프 구성에 시사하는 바가 있다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle \mathrmatrm {SL} _${2$}(\mathb$ {$Z}).$$}$^[13]

기하학과의 관계

셀버그의 추적 공식은 유한 부피의 쌍곡선 표면의 경우 길이 스펙트럼($승수$를 갖는 S ${\displaystyle S$에 있는 모든 닫힌 지오데틱의 길이 집합)과 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Delta }$의 스펙트럼을 아는 것과 동등하다는 것을 보여준다$.$ 그러나 정확한 관계는 명백하지 않다.

스펙트럼과 기하학 사이의 또 다른 관계는 치거의 불평등에 의해 주어지는데, $표면{\displaystyle }$ S ${\displaystyle$ S$}$의 경우 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 스펙트럼 갭에 대한 양의 하한이 $S$를 분리하는 매끄러운 닫힌 곡선 집합의 전체 길이에 대해 양의 하한으로 해석된다고$$ 대략$$ 명시하고 있다.$두$ 개의 연결된 구성 요소로 $구성된다$$.$

양자 에고다이시티

슈니렐만, 콜린 드 베르디에르, 젤디치의 양자적 인간성 정리는 평균적으로 고유성이 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$에 등분한다고 기술하고 있다$.$루드닉과 사르낙의 독특한 양자적 인간성 추측은 개별 고유성분포라는 더 강한 진술이 사실인지 묻는다.형식적으로 그 진술은 다음과 같다.

S ${\displaystyle S}$을(를) 산술 표면으로$$ 하고 ${\displaystyle {and}_{}}$ j ${\$을(를) 다음과 같이$$ $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$에 대한 함수의 시퀀스로 한다$$.

${\displaystyle \Delta \phi _{j}=\lambda _{j}\phi _{S}\phi _{j}^{j}\dx=1.}$

$그러면{\displaystyle }$ S ${\displaystyle S}$에서 원활하고 압축적으로 지원되는 $기능{\displaystyle }${\$displaystyle \psi }$에 대해서는

${\displaystyle \lim _{j\to \infit }\왼쪽(\int _{S}\psi (x)\phi _{j}^{2}\,dx\right)=\int _{S}\psi (x)\,dx.}$

이런 추측의 ELindenstrauss[14]에 의해 S{S\displaystyle}은 간결하고는ϕ j{\displaystyle \phi_{j}가 있는 경우에 그 헤케 운영자에 대한 S에서}이 추가로 eigenfunctions{S\displaystyle}. 모듈 방식의 추가적인 어려움, 발생하는 것을 거래의 일치 커버의 경우 입증된 바 있다.witth by로사이다라라얀.^[15]

등경면

산술 표면의 경우 산술 데이터가 라플라스 연산자 ${\displaystyle \Delta }$의 스펙트럼을 결정한다는 사실은$$ M. F. Vignéras에^[16] 의해 지적되었고 그녀가 이등시점 콤팩트 쌍곡면 표면의 예를 구성하는 데 사용하였다.정확한 진술은 다음과 같다.

If ${\displaystyle A}$ is a quaternion algebra, ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{1},{\mathcal {O}}_{2}}$ are maximal orders in ${\displaystyle A}$ and the associated Fuchsian groups ${\displaystyle \Gamma _{1},\Gamma _{2}}$ are torsion-free then the hyperbolic surfaces ${\displaystyle S_i}$${\displaystyle {}_{}=}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\$의 라플라스 스펙트럼이 동일하다$$.

Vignéras then constructed explicit instances for ${\displaystyle A,{\mathcal {O}}_{1},{\mathcal {O}}_{2}}$ satisfying the conditions above and such that in addition ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{2}}$ is not conjugated by an element of ${\displaystyle A}$ to ${\displays$$tyle {\mathcal{O}_{1$그 결과 발생하는 등심 쌍곡선 표면은 등축이 아니다.

메모들

참조

• Katok, Svetlana (1992). Fuchsian groups. Univ. of Chicago press.