중심 좌표계

기하학에서, 중심 좌표계는 점의 위치가 심플렉스(평면의 점에 대한 삼각형, 3차원 공간의 점에 대한 사면체 등)를 참조하여 지정되는 좌표계입니다.점의 무게중심 좌표는 점이 이러한 질량의 무게중심(또는 무게중심)이 되도록 심플렉스의 꼭짓점에 배치된 질량으로 해석할 수 있습니다.이러한 질량은 0일 수도 있고 음수일 수도 있습니다. 점이 심플렉스 내부에 있는 경우에만 모든 질량이 양수입니다.

모든 점은 중심점 좌표를 가지며, 그들의 합은 0이 아닙니다.두 개의 중중심 좌표 튜플은 서로 비례하는 경우에만 같은 점을 지정합니다. 즉, 다른 튜플의 요소에 0이 아닌 동일한 수를 곱하여 한 튜플을 얻을 수 있는 경우입니다.따라서 중심좌표는 0이 아닌 상수에 의한 곱셈까지 정의되거나 합을 일치시키기 위해 정규화된 것으로 간주됩니다.

중심좌표는 1827년 아우구스트 뫼비우스에 의해 소개되었습니다.^[1]^[2]^[3]그들은 특별한 동질적인 좌표입니다.중심좌표는 데카르트좌표와, 더 일반적으로 아핀좌표와 관련이 깊습니다(중심좌표와 아핀좌표 사이의 관계 § 참조).

중심좌표는 세바의 정리, 루스의 정리, 메넬라오스의 정리와 같이 삼각형의 각도에 의존하지 않는 성질을 연구하는 데 특히 유용합니다.컴퓨터 지원 설계에서는 베지어 표면의 일부를 정의하는 데 유용합니다.^[4]^[5]

정의.

A $A_{0},\ldots ,A_{n}$ , $A_{0},\ldots ,A_{n}$ A ${\$ $A_$ ${n$ $}$ 를 $A_{0},\ldots ,A_{n}$ $\mathbf {A}$ 유클리드 공간, 평면 또는 아핀 $공간$ 의 $n$ + $1$ 점이라고 하자. 이는 모든 점을 포함하는 차원 $n$ - $\mathbf {A}$ $1$ 의 아핀 $\mathbf {A}$ $부분$ 공간이 없거나, 점이 심플렉스를 $\mathbf {A}$ 정의하는 것과 동등함을 의미합니다.임의의 점 $P\in \mathbf {A} ,$ ∈ $P\in \mathbf {A} ,$ $P\in \mathbf {A$ $a_{0},\ldots ,a_{n}$ 에 모두 $a_{0},\ldots ,a_{n}$ 이 아닌 $a_{0},\ldots ,a_{n}$ {\ $displaystyle$ a_{ $0},\ldots,a_$ {n $} 가$ $a_{0},\ldots ,a_{n}$ .

{\displaystyle(a_{0}+\cdots +a_{n}){\overrightarrow {OP}}=a_{0}{\overrightarrow {OA_{0}}}+\cdots +a_{n}{\overrightarrow {OA_{n}}}

임의의 점 $O$ 에 대하여. (통상적으로 ${\overrightarrow {AB}}$ A ${\overrightarrow {AB}}$ → ${\overrightarrow {AB}$ 는 점 $A$ 를 점 $B$ 에 매핑하는 변환 벡터 또는 자유 벡터를 나타냅니다.)

이 식을 만족하는 $(a_{0}:\dotsc :a_{n})$ ( $n$ + $(a_{0}:\dotsc :a_{n})$ $)$ 튜플 ( $(a_{0}:\dotsc :a_{n})$ 0 $(a_{0}:\dotsc :a_{n})$ : $(a_{0}:\dotsc :a_{n})$ … : $(a_{0}:\dotsc :a_{n})$ n $(a_{0}:\dotsc :a_{n})$ ) ${\displaystyle (a_{0$ } $:\dotsc :a_{n}}}$ 의 요소를 $A_{0},\ldots ,A_{n}.$ $A_{0},\ldots ,A_{n}.$ $A_{0},\ldots ,A_{n}.$ $A_{0},\ldots,A_{n}$ 에 대한 $P$ 의 중심 좌표라고 합니다 $A_{0},\ldots ,A_{n}.$ .즉, 모든 좌표에 동일한 0이 아닌 상수를 곱하면 점이 변경되지 않습니다.또한 원점인 보조점 $O$ 가 변경되면 중심좌표도 변경되지 않습니다.

점의 무게 중심 좌표는 스케일링까지 고유합니다.즉, 두 튜플 $(a_{0}:\dotsc :a_{n})$ ( $(a_{0}:\dotsc :a_{n})$ $(a_{0}:\dotsc :a_{n})$ : $(a_{0}:\dotsc :a_{n})$ : n $(a_{0}:\dotsc :a_{n})$ ) ${\displaystyle (a_{0$ } $:\dotsc :a_{n})}$ 및 $(b_{0}:\dotsc :b_{n})$ 0 : $(b_{0}:\dotsc :b_{n})$ : $(b_{0}:\dotsc :b_{n})$ ) $(b_{0}:\dotsc :b_{n})$ {\ $displaystyle (b_{0}$ :\ $dotsc :b_{n})}$ {\displaystyle $\$ lambda }이(가) 0이 아닌 스칼라 λ ${\$ displaystyle \λ}인 경우에만 모든 $i$ 에 $b_{i}=\lambda a_{i}$ i $b_{i$ =\displaystyle $a_{i}$ 를 lambda하는 동일한 점의 중심 좌표입니다.

일부 맥락에서는 점의 무게 중심 좌표가 고유하도록 제한하는 것이 유용합니다.이는 일반적으로 조건을 부과함으로써 달성됩니다.

\suma_{i}=1,

또는 모든 $a_{i}$ ${\$ $}$ 를 모든 $a_{i}.$ ${\displaystyle$ a_{ $i}$ 의 합으로 $a_{i}$ 나누어 동등하게 계산할 수 있습니다. $}$ 이러한 $a_{i}.$ 특정한 중심좌표를 정규화 또는 절대 중심좌표라고 합니다.^[7]이 용어는 일반적으로 약간 다른 개념을 나타내지만 때로는 아핀 좌표라고도 합니다.

때로는 정규화된 중심좌표를 중심좌표라고 부르기도 합니다.이 경우 위에 정의된 좌표를 균질 중중심 좌표라고 합니다.

위의 표기법으로 $A$ 의_i 균질한 중심 좌표는 지수 $i$ 를 제외하고 모두 0입니다.실수에 대해 연구할 때(위의 정의는 임의의 필드 위의 아핀 공간에도 사용됨), 모든 정규화된 중심 좌표가 음수가 아닌 점은 { $\{A_{0},\ldots ,A_{n}\},$ $\{A_{0},\ldots ,A_{n}\},$ $\{A_{0},\ldots ,A_{n}\},$ $\{A_{0},\ldots ,A_{n}\},$ $\{A_{0},\ldots,A_{n}\$ 의 볼록 선체를 형성하며, 이는 $\{A_{0},\ldots ,A_{n}\},$ 이 점들을 정점으로 하는 단순함입니다.

위 표기법을 사용하면 다음과 같은 $(a_{1},\ldots ,a_{n})$ 개의 튜플을

\sum _{i=0}^{n}a_{i}=0

어떤 점도 정의하지 않지만 벡터는

a_{0}{\overrightarrow {OA_{0}}+\cdots +a_{n}{\overrightarrow {OA_{n}}

원점 $O$ 로부터 독립적입니다.모든 $a_{i}$ ${\$ 에 $a_{i}$ 동일한 스칼라를 곱하면 이 벡터의 방향이 변경되지 않으므로, 동차 튜플 $(a_{0}:\dotsc :a_{n})$ 0 : $(a_{0}:\dotsc :a_{n})$ … $(a_{0}:\dotsc :a_{n})$ : $(a_{0}:\dotsc :a_{n})$ ) $(a_{0}:\dotsc :a_{n})$ {\ $displaystyle (a_{0}$ :\ $dotsc :a_{n})}$ 은 $(a_{0}:\dotsc :a_{n})$ 무한대의 한 점인 선의 방향을 정의합니다.자세한 내용은 아래를 참조하십시오.

데카르트 좌표 또는 아핀 좌표와의 관계

중심좌표는 데카르트좌표와 더 일반적으로 아핀좌표와 강한 관련이 있습니다.차원 $n$ 의 공간에 대해 이 좌표계들은 좌표가 0인 점 O와 좌표가 0인 점 A $A_{1},\ldots ,A_{n},$ $A_{1},\ldots ,A_{n},$ $A_{1},\ldots ,A_{n},$ ${\displaystyle A_{1},\ldots,A_{n},$ 1과 같은 인덱스 $i$ 를 제외하고 좌표가 0인 점 $A_$ $A_{1},\ldots ,A_{n},$ {n}에 대해 상대적으로 정의됩니다.

점은 좌표를 갖습니다.

{\displaystyle(x_{1},\ldots,x_{n})}

그러한 좌표계에 대하여, 만약 그것의 정규화된 중심 좌표가 다음과 같은 경우에만

{\displaystyle(1-x_{1}-\cdots -x_{n},x_{1},\ldots,x_{n})}

점 $O,A_{1},\ldots ,A_{n}.$ $O,A_{1},\ldots ,A_{n}.$ 1 $O,A_{1},\ldots ,A_{n}.$ $O,A_{1},\ldots ,A_{n}.$ $.$ {\ $displaystyle O,A_{1},\ldots,A_{n}}$ 에 상대적으로 가깝습니다.

중심 좌표계의 주된 장점은 $n +1개$ 의 정의점에 대해 대칭인 것입니다. $따라서$ n + $1$ 점에 대해 대칭인 특성을 연구하는 데 유용합니다.반면에 거리와 각도는 일반적인 중심 좌표계에서는 표현하기 어렵고, 관련된 경우에는 일반적으로 데카르트 좌표계를 사용하는 것이 더 간단합니다.

투영좌표와의 관계

균질한 중심 좌표는 일부 투영 좌표와도 밀접한 관련이 있습니다.그러나 이 관계는 아핀 좌표의 경우보다 더 미묘하며, 명확하게 이해되기 위해서는 아핀 공간의 투영 완성에 대한 무좌표 정의와 투영 프레임에 대한 정의가 필요합니다.

차원 $n$ 의 아핀 공간의 사영적 완성은 초평면의 상보와 아핀 공간을 포함하는 동일한 차원의 사영적 공간입니다.투영 완성은 동형 사상까지 고유합니다.초평면은 무한대의 초평면이라 불리며, 그 점들은 아핀 공간의 무한대의 점들입니다.^[8]

차원 $n$ 의 투영 공간이 주어졌을 때, 투영 프레임은 동일한 초평면에 포함되지 않는 $n$ + 2 $점$ 의 순서 집합입니다.투영 좌표계는 프레임의 ( $n$ + $2)$ 번째 점의 좌표가 모두 같도록 투영 좌표계를 정의하며, 그렇지 않으면 i번째 점을 제외한 모든 좌표가 0이 됩니다.^[8]

아핀 좌표계로부터 투영 완성을 구성할 때, 좌표축의 무한대에서 초평면과의 교차점, 아핀 공간의 원점, 그리고 모든 아핀 좌표가 1과 같은 점으로 구성된 투영 프레임에 대해 공통적으로 정의합니다.이는 무한대의 점들이 0과 같은 마지막 좌표를 가지며, 아핀 공간의 한 점의 투영 좌표는 아핀 좌표를 $(n$ + $1)$ 번째 좌표로 1만큼 완성함으로써 얻어짐을 의미합니다.

중심 좌표계를 정의하는 아핀 공간에 $n +1개$ 의 점이 있을 때, 이것은 선택하기 편리한 투영 완성의 또 다른 투영 프레임입니다.이 틀은 이 점들과 그 중심으로 구성되어 있는데, 이 점은 모든 무게중심 좌표가 동일합니다.이 경우 아핀 공간에 있는 점의 균질한 중심 좌표는 이 점의 투영 좌표와 동일합니다.좌표의 합이 0인 경우에만 점은 무한대에 있습니다.이 점은 § 정의 끝에 정의된 벡터 방향입니다.

삼각형 위의 중심좌표

정삼각형과 직각삼각형에서 중심좌표 (λ $(\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3})$ λ $(\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3})$ , $(\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3})$ λ $(\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3})$ ${\displaystyle (\lambda _{1},\lambda$ _ ${2},\lambda _{3})}.$

삼각형의 맥락에서, 중중심 좌표는 영역 좌표 또는 실제 좌표로도 알려져 있는데, 삼각형 ABC에 대한 P의 좌표는 기준 삼각형 ABC의 영역에 대한 PBC, PCA 및 PAB의 영역의 (서명된) 비율과 동일하기 때문입니다.실제 및 삼선 좌표는 기하학에서 유사한 용도로 사용됩니다.

중심좌표 또는 면적좌표는 삼각형 부분영역을 포함하는 공학적 응용에서 매우 유용합니다.이를 통해 분석 적분을 평가하기가 쉬워지며, 가우스 직교 표는 종종 면적 좌표로 표시됩니다.

세 꼭짓점으로 정의된 $삼각형$ T ${\$ displaystyle $T$ $}$ 를 생각해 $T$ $.$ r 1 {\ $displaystyle$ \ $mathbf {r}$ _ ${$ r 2 {\ $displaystyle$ \ $mathbf {r}$ _ $\mathbf {r} _{2}$ ${$ r 3 {\ $displaystyle$ \ $mathbf {r}$ _{3 $\mathbf {r} _{3}$ 이 삼각형 안에 위치한 $\mathbf {r}$ 각 점 $\mathbf {r}$ ${\$ 은 세 꼭짓점의 고유한 볼록 조합으로 쓸 수 있습니다.즉, $\mathbf {r}$ r $\mathbf {r}$ 에 대해 λ $\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\geq 0$ , $\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\geq 0$ λ $\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\geq 0$ λ $\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\geq 0$ ≥ $\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\geq 0$ ${\displaystyle$ \lambda $_{1},\$ lambda $_{2},\$ lambda $_{3}\geq 0},$ λ $\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}=1$ + $\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}=1$ λ 2 $\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}=1$ + λ $\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}=1$ = $\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}=1$ ${\displaystyle \$ lambda _ ${1}+\$ lambda $_{2}+\$ lambda $_{3$ }= $1$ 및

\mathbf {r} =\lambda _{1}\mathbf {r} _{1}+\lambda _{2}\mathbf {r} _{2}+\lambda _{3}\mathbf {r} _{3}

세 $\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}$ λ $\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}$ 1, λ $\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}$ 2, λ $\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}$ 3 {\ $displaystyle$ \ $lambda _$ {1 $},\lambda _$ {2 $},\lambda _{$ 3}는 삼각형에 대한 $\mathbf {r}$ r $\mathbf {r}$ 의 "barycentric" 또는 "area" 좌표를 나타냅니다.흔히 λ $\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}$ λ $\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}$ λ $\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}$ ${\displaystyle$ \ $alpha,\$ beta $,\$ gamma } 대신 $\alpha ,\beta ,\gamma$ , $\alpha ,\beta ,\gamma$ γ {\displaystyle \alpha,\lambda}로 표시됩니다 $\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}$ 좌표는 3개이지만 λ $\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}=1$ + $\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}=1$ λ $\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}=1$ + $\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}=1$ λ $\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}=1$ = $\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}=1$ ${\displaystyle$ \lambda $_{1}+\$ lambda $_{2}+\$ lambda $_{3}$ = $1$ {\displaystyle \lambda} 이후 자유도는 2개뿐입니다 $\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}=1$ 따라서 모든 점은 두 개의 중심 좌표에 의해 고유하게 정의됩니다.

이 좌표들이 부호가 있는 영역의 비율인 이유를 설명하기 위해, 유클리드 공간 E $\mathbf {E} ^{3}$ ${\$ 에서 일한다고 가정하자 $\mathbf {E} ^{3}$ 여기서, 데카르트 $좌표계$ $Oxyz$ {\ $displaystyle Oxyz}$ 와 $Oxyz$ 그와 관련된 기저, 즉 $\{\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} \}$ { $\{\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} \}$ $\{\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} \}$ $\{\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} \}$ $\{\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} \}$ {\ $displaystyle \{\mathbf {i},\mathbf {j},\mathbf {k} \}$ 를 생각하자 $\{\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} \}$ 또한 $Oxy$ $Oxy$ 평면에 $Oxy$ 있는 $ABC$ 양의 방향 삼각형 $ABC$ $ABC$ 을(를) 고려합니다. $\mathbf {E} ^{3}$ ${\$ 의 $\{\mathbf {e} ,\mathbf {f} ,\mathbf {g} \}$ $\mathbf {E} ^{3}$ \ $displaystyle \{\mathbf {e},\mathbf {f},\mathbf {g} \}$ 및 자유 벡터 $\mathbf {h}$ ${\$ 에 ${\mathbf {h}}$ 대하여^[9]

{\displaystyle \mathbf {h} = {\frac {1}{(\mathbf {e},\mathbf {f},\mathbf {g}}}\cdot \left[(\mathbf {h},\mathbf {f},\mathbf {g} )\mathbf {e} +(\mathbf {e},\mathbf {h},\mathbf {g} )\mathbf {f} \right},

여기서 $(\mathbf {e} ,\mathbf {f} ,\mathbf {g} )=(\mathbf {e} \times \mathbf {f} )\cdot \mathbf {g}$ ( $(\mathbf {e} ,\mathbf {f} ,\mathbf {g} )=(\mathbf {e} \times \mathbf {f} )\cdot \mathbf {g}$ f $(\mathbf {e} ,\mathbf {f} ,\mathbf {g} )=(\mathbf {e} \times \mathbf {f} )\cdot \mathbf {g}$ $(\mathbf {e} ,\mathbf {f} ,\mathbf {g} )=(\mathbf {e} \times \mathbf {f} )\cdot \mathbf {g}$ ) $(\mathbf {e} ,\mathbf {f} ,\mathbf {g} )=(\mathbf {e} \times \mathbf {f} )\cdot \mathbf {g}$ = $(\mathbf {e} ,\mathbf {f} ,\mathbf {g} )=(\mathbf {e} \times \mathbf {f} )\cdot \mathbf {g}$ × f ) $(\mathbf {e} ,\mathbf {f} ,\mathbf {g} )=(\mathbf {e} \times \mathbf {f} )\cdot \mathbf {g}$ ⋅ $(\mathbf {e} ,\mathbf {f} ,\mathbf {g} )=(\mathbf {e} \times \mathbf {f} )\cdot \mathbf {g}$ $(\mathbf {e} ,\mathbf {f} ,\mathbf {g$ ) = (\ $mathbf {e} \times \mathbf {f} )\cdot \mathbf {g} }$ 는 이 세 벡터의 혼합 곱을 나타냅니다.

$\mathbf {e} ={\vec {AB}},\,\mathbf {f} ={\vec {AC}},\,\mathbf {g} =\mathbf {k} ,\,\mathbf {h} ={\vec {AP}}$ = $\mathbf {e} ={\vec {AB}},\,\mathbf {f} ={\vec {AC}},\,\mathbf {g} =\mathbf {k} ,\,\mathbf {h} ={\vec {AP}}$ $\mathbf {e} ={\vec {AB}},\,\mathbf {f} ={\vec {AC}},\,\mathbf {g} =\mathbf {k} ,\,\mathbf {h} ={\vec {AP}}$ → $\mathbf {e} ={\vec {AB}},\,\mathbf {f} ={\vec {AC}},\,\mathbf {g} =\mathbf {k} ,\,\mathbf {h} ={\vec {AP}}$ , $\mathbf {e} ={\vec {AB}},\,\mathbf {f} ={\vec {AC}},\,\mathbf {g} =\mathbf {k} ,\,\mathbf {h} ={\vec {AP}}$ = $\mathbf {e} ={\vec {AB}},\,\mathbf {f} ={\vec {AC}},\,\mathbf {g} =\mathbf {k} ,\,\mathbf {h} ={\vec {AP}}$ → $\mathbf {e} ={\vec {AB}},\,\mathbf {f} ={\vec {AC}},\,\mathbf {g} =\mathbf {k} ,\,\mathbf {h} ={\vec {AP}}$ , $\mathbf {e} ={\vec {AB}},\,\mathbf {f} ={\vec {AC}},\,\mathbf {g} =\mathbf {k} ,\,\mathbf {h} ={\vec {AP}}$ = k $\mathbf {e} ={\vec {AB}},\,\mathbf {f} ={\vec {AC}},\,\mathbf {g} =\mathbf {k} ,\,\mathbf {h} ={\vec {AP}}$ , $\mathbf {e} ={\vec {AB}},\,\mathbf {f} ={\vec {AC}},\,\mathbf {g} =\mathbf {k} ,\,\mathbf {h} ={\vec {AP}}$ = $\mathbf {e} ={\vec {AB}},\,\mathbf {f} ={\vec {AC}},\,\mathbf {g} =\mathbf {k} ,\,\mathbf {h} ={\vec {AP}}$ → $\mathbf {e$ = ${\vec {AB}},\,\mathbf {f}$ = {\ $vec {AC}},\,\mathbf {k},\,\mathbf {h}$ = {\ $vec {AP}}$ 를 구합니다 $\mathbf {e} ={\vec {AB}},\,\mathbf {f} ={\vec {AC}},\,\mathbf {g} =\mathbf {k} ,\,\mathbf {h} ={\vec {AP}}$ $P$ 서 P $P$ 는 평면 $Oxy$ $x$ $y$ $Oxy$ 의 임의의 점입니다 $Oxy$ 라고 표시하고

{\displaystyle(\mathbf {e},\mathbf {f},\mathbf {h})=({\vec {AB}\times {\vec {AP}}=(\vert {\vec {AB})\times {\vec {AC}\vert \mathbf {k})\cdot {\vec {AP}=0.}

자유 벡터 선택에 관한 미묘한 점: $\mathbf {e}$ $\mathbf {e}$ 은 사실, 경계 벡터 ${\vec {AB}}$ → ${\vec {AB}$ 의 등분성 클래스입니다 ${\vec {AB}}$

우리는 그것을 입수했습니다.

{\displaystyle {\vec {AP}}=m_{B}\cdot {\vec {AB}}+m_{C}\cdot {\vec {AC}},\,m_{B}={\frac {({\vec {AP}}},{\vec {AC}},\mathbf {k}}{({\vec {AB}},{\vec {AC}},\mathbf {k}}},\,m_{C}={\frac {({\vec {AB}},{\vec {AP}},\mathbf {k}}{(\vec {AB}},{\vec {AC}},\mathbf {k}}}{(\vec {AB}}},{\vec {AC}},\mathbf {k}}}}.

삼각형 $A$ $B$ C {\ $displaystyle ABC}$ 의 양(반시계 방향)의 방향을 고려할 때, $ABC$ $m_{B}$ B {\ $displaystyle$ m_{ $B}$ 와 m $m_{C}$ C {\ $displaystyle m_$ {C $m_{B}$ $}$ 의 분모는 정확히 $삼각형$ AB C {\ $displaystyle ABC}$ 의 넓이의 두 배입니다 $m_{C}$ $ABC$ 또한,

{\displaystyle({\vec {AP}}, {\vec {AC}},\mathbf {k}) = ({\vec {PC}, {\vec {PA}},\mathbf {k})\,{\mbox{ 및 }}\,({\vec {AP}},\mathbf {k})= ({\vec {PA},{\vec {PB},\mathbf {k}}

따라서 $m_{B}$ ${\$ 와 $m_{B}$ $m_{C}$ ${\$ 의 분자는 삼각형의 부호가 있는 영역 $AP$ $C$ $APC$ 와 AB $APC$ $P$ $ABP$ 의 두 배입니다 $m_{C}$ $ABP$

게다가, 우리는 그것을 추론합니다.

{\vec {OP}}=(1-m_{B}-m_{C})\cdot {\vec {OA}}+m_{B}\cdot {\vec {OB}+m_{C}\cdot {\vec {OC}

즉, 숫자 $1-m_{B}-m_{C}$ - $1-m_{B}-m_{C}$ $1-m_{B}-m_{C}$ - $1-m_{B}-m_{C}$ $1-m_{B}-m_{C}$ ${\$ 1 - $m_{B}$ - $m_{C},$ $m_{B}$ $m_{C}$ ${\$ 및 $m_{B}$ $m_{C}$ C ${\$ 는 $m_{C}$ $P$ $P$ 의 중심 좌표입니다 $P$ 마찬가지로, 세 번째 중심 좌표는 다음과 같습니다.

m_{A}=1-m_{B}-m_{C}={\frac {({\vec {PB}), {\vec {PC}},\mathbf {k}}{({\vec {AB}}, {\vec {AC}},\mathbf {k}}}}{{{\vec {AC}}

이 $m$ $m$ - 무게중심 좌표의 문자 $m$ 표기는 점 $P$ $P$ 가 질량 m $m_{A}$ ${\$ 의 질량 중심으로 해석될 수 있다는 $P$ 사실에서 비롯됩니다. $},$ $m_{A}$ $m_{B}$ ${\$ $displaystyle$ $m_{B$ $m_{C}$ ${\$ $A$ $B$ $B$ $C$ C $C$ 에 위치합니다 $m_{C}$ $C$

중심좌표와 다른 좌표계 사이를 앞뒤로 전환하면 몇 가지 문제를 훨씬 쉽게 해결할 수 있습니다.

중심좌표와 직각좌표 사이의 변환

에지 어프로치

삼각형 평면에서 점 $\mathbf {r}$ $\mathbf {r}$ 이 주어지면 데카르트 좌표 ( $(x,y)$ $(x,y)$ ${\displaystyle$ $\lambda$ _ ${1}},$ λ $\lambda _{2}$ ${\displaystyle \lambda _{2}},$ λ 3 $\lambda _{3$ 을(를) 데카르트 좌표 $(x,y)$ x $,y)}$ 에서 얻을 수 있습니다.

$\mathbf {r}$ r {\ $displaystyle \mathbf {r}}$ 의 직교 좌표를 삼각형 꼭짓점 $\mathbf {r} _{1}$ 1 ${\displaystyle \mathbf {r} _{1$ r $\mathbf {r} _{2}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{2$ r $\mathbf {r} _{3}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{3},$ 여기서 $\mathbf {r} _{i}=(x_{i},y_{i})$ = ( $\mathbf {r} _{i}=(x_{i},y_{i})$ i $\mathbf {r} _{i}=(x_{i},y_{i})$ $\mathbf {r} _{i}=(x_{i},y_{i})$ ) ${\displaystyle$ \ $mathbf {r} _{i$ } = ( $x_{i},$ $y_{i}}$ 이고 $\mathbf{r}_i = (x_i, y_i)$ $\mathbf {r}$ ${\$ 의 중심 좌표로 볼 때 다음과 $\mathbf {r}$ 같습니다.

{\begin{matrix}x=\lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2}+\lambda _{3}x_{3}\y=\lambda _{1}y_{1}+\lambda _{2}y_{2}+\lambda _{3}y_{3}\\end{matrix}

즉, 임의의 점의 직각좌표는 삼각형 꼭짓점의 직각좌표의 가중치 평균이며, 가중치는 점의 중심좌표가 합하여 일치합니다.

역변환을 찾기 위해 데카르트 좌표에서 중심 좌표로 λ $\lambda _{3}=1-\lambda _{1}-\lambda _{2}$ = $\lambda _{3}=1-\lambda _{1}-\lambda _{2}$ - $\lambda _{3}=1-\lambda _{1}-\lambda _{2}$ λ 1 - $\lambda _{3}=1-\lambda _{1}-\lambda _{2}$ λ 2 ${\displaystyle$ \lambda $_{3$ }= $1-\$ lambda $_{1}-\$ lambda $_{2}}$ 를 위에 대입하여 구합니다.

{\begin{matrix}x=\lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2}+(1-\lambda _{1}-\lambda _{2})x_{3}\y=\lambda _{1}y_{1}+\lambda _{2}y_{2}+(1-\lambda _{1}-\lambda _{2})y_{3}\\end{matrix}

다시 정리해보면 이건

{\begin{matrix}\lambda _{1}(x_{1}-x_{3})+\lambda _{2}(x_{2}-x_{3})+x_{3}-x=0\\\lambda _{1}(y_{1}-y_{3})+\lambda _{2}(y_{2}-y_{3})+y_{3}-y=0\\end{matrix}

이 선형 변환은 다음과 같이 더 간결하게 쓰여질 수 있습니다.

\mathbf {T} \cdot \lambda =\mathbf {r} -\mathbf {r} _{3}

여기서 λ $\lambda$ 은 처음 두 중심좌표의 벡터이고, $\mathbf {r}$ $\mathbf {r}$ 은 데카르트 좌표의 벡터이고, $\mathbf {T}$ $\mathbf {T}$ 은 다음과 같이 주어진 행렬입니다.

\mathbf {T} =\left ({\begin{matrix}x_{1}-x_{3}&x_{2}-x_{3}\y_{1}-y_{3}&y_{2}-y_{3}\\end{matrix}}\right)

$\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{3}$ $\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{3}$ - $\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{3}$ $\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{3}$ ${\$ \ $mathbf$ {T $}}$ $행렬$ 이 ${\$ displaystyle $\mathbf {r}$ _ ${1}$ - \ $mathbf {r} _{3}$ 및 $\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{3}$ $\mathbf {r} _{2}$ $\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{3}$ - $\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{3}$ $\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{3}$ ${\$ - \ $mathbf {r} _{3}$ 행렬은 선형 독립적입니다 $\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_3$ (이 경우 그렇지 않으면 $\mathbf {r} _{1}$ $\mathbf {r} _{2}$ ${\$ $\mathbf {r} _{1}$ \ $mathbf {r} _{2}$ , $\mathbf {r} _{3}$ $\mathbf {r} _{3}$ ${\$ 은 $\mathbf{r}_3$ (는) 공선형이고 삼각형을 이루지 않습니다.따라서 위의 방정식을 재배치하여 다음을 얻을 수 있습니다.

\left({\matrix{begin}\lambda _{1}\\\lambda _{2}\end{matrix}}\right)=\mathbf {T}^{-1}(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{3})

따라서 무게 중심 좌표를 찾는 것은 $\mathbf {T}$ 문제인 $\mathbf {T}$ T ${\$ 의 2×2 역행렬을 찾는 것으로 감소했습니다.

명시적으로, 점 $\mathbf {r}$ ${\$ 의 중심 좌표에 $\mathbf {r}$ 대한 공식은 직각좌표 (x, y)와 삼각형 꼭짓점의 직각좌표에 대해 다음과 같습니다.

\lambda _{1}={\frac {(y_{2}-y_{3})(x-x_{3})+(x_{3}-x_{2})(y-y_{3}){\det(T)}}={\frac {(y_{2}-y_{3})(x-x_{3})+(x_{3}-x_{2}(y-y_{3}){(y_{3})}{(y_{2})}{(y_{2})}{(y_{2})(x_{1}-x_{3})+(x_{3}-x_{2})},,,

\lambda _{2}={\frac {(y_{3}-y_{1})(x-x_{3})+(x_{1}-x_{3}){\det(T)}={\frac {(y_{3}-y_{1})}(x-x_{3})+(x_{1}-x_{3}(y-y_{3}){(y_{2}-y_{3})}{(y_{3})}{(y_{2}-y_{3})(x_{1}-x_{3})+(x_{3}-x_{2})},,,

\lambda _{3}=1-\lambda _{1}-\lambda _{2}\,

꼭짓점 접근법

데카르트 좌표에서 중심 좌표로의 변환을 해결하는 또 다른 방법은 행렬 형태로 관계를 쓰는 것입니다.

\mathbf {R} {\bold 기호 {\lambda }}=\mathbf {r}

\mathbf {R} =\left({\begin{matrix}\mathbf {r} _{1}|\mathbf {r} _{2}|\mathbf {r} _{3}\end{matrix}}\right)

= (

\mathbf {R} =\left({\begin{matrix}\mathbf {r} _{1}|\mathbf {r} _{2}|\mathbf {r} _{3}\end{matrix}}\right)

\mathbf {R} =\left({\begin{matrix}\mathbf {r} _{1}|\mathbf {r} _{2}|\mathbf {r} _{3}\end{matrix}}\right)

r

\mathbf {R} =\left({\begin{matrix}\mathbf {r} _{1}|\mathbf {r} _{2}|\mathbf {r} _{3}\end{matrix}}\right)

\mathbf {R} =\left({\begin{matrix}\mathbf {r} _{1}|\mathbf {r} _{2}|\mathbf {r} _{3}\end{matrix}}\right)

\mathbf {R} =\left({\begin{matrix}\mathbf {r} _{1}|\mathbf {r} _{2}|\mathbf {r} _{3}\end{matrix}}\right)

)

\mathbf {R

=\

left

({

{\boldsymbol {\lambda }}=\left(\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\right)^{\top }

begin

{

matrix

}\mathbf {r}

_

{1} \mathbf {r} _{2} \mathbf {r}

_

{3}\end{

matrix

}}\right)}

및 λ = (λ

{\boldsymbol {\lambda }}=\left(\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\right)^{\top }

, λ

{\boldsymbol {\lambda }}=\left(\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\right)^{\top }

2, λ

{\boldsymbol {\lambda }}=\left(\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\right)^{\top }

)

{\boldsymbol {\lambda }}=\left(\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\right)^{\top }

⊤ {\

displaystyle

{\bold 기호 {\lambda }}=\

left(\

lambda _{

1},\

lambda _

{2

},\lambda

{\boldsymbol {\lambda }}=\left(\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\right)^{\top }

_{

3}\

right)^{\

top },

즉.

{\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}\y_{1}&y_{2}&y_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\lambda_{1}\\lambda_{2}\\\lambda_{3}\end{pmatrix}={\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}

고유한 정규화 솔루션을 얻으려면 조건 λ 1 +

\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}=1

λ

\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}=1

+

\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}=1

λ

\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}=1

=

\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}=1

{\displaystyle

\lambda

_{1}+\

lambda

_{2}+\

lambda

_{3

}=

1}

를 추가해야 합니다

\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}=1

따라서 중심좌표는 선형 시스템의 해입니다.

\left ({\begin{matrix}1&1\x_{1}&x_{2}&x_{3}\y_{1}&y_{2}&y_{3}\end{matrix}}\right){\begin{pmatrix}\lambda_{1}\\\lambda_{2}\\\lambda_{3}\end{pmatrix}=\left ({\begin{matrix}1\x\y\end{matrix}}\right)

어느 것이

{\begin{pmatrix}\lambda _{1}\\\lambda _{2}\\lambda _{3}\end{pmatrix}}={\frac {1}{2A}}:{\begin{pmatrix}x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}&y_{2}-y_{3}&x_{3}-x_{2}\x_{3}y_{1}y_{3}&y_{3}-y_{1}&y_{1}-x_{1}-x_{3}\x_{1}y_{1}&y_{2}-x_{2}y_{1}&x_{2}-x_{1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\x\y\end{pmatrix}}

어디에

2A=\det(1R)=x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})

삼각형의 부호가 있는 면적의 두 배입니다.이 선형계에 크레이머의 법칙을 적용하면 중심좌표의 면적 해석을 회복할 수 있습니다.

중심좌표와 삼선좌표 간의 변환

삼선 좌표가 x : y : z인 점은 무게중심 좌표 ax : by : cz이고, a, b, c는 삼각형의 변 길이입니다.반대로, 무게 중심이 λ $\lambda _{1}:\lambda _{2}:\lambda _{3}$ 점 : $\lambda _{1}:\lambda _{2}:\lambda _{3}$ λ 2 : $\lambda _{1}:\lambda _{2}:\lambda _{3}$ λ $\lambda _{1}:\lambda _{2}:\lambda _{3}$ ${\displaystyle \lambda _{1}:\lambda _{2}:\lambda _{$ $\lambda _{1}/a:\lambda _{2}/b:\lambda _{3}/c.$ $}}$ 개의 삼선형 λ $\lambda _{1}/a:\lambda _{2}/b:\lambda _{3}/c.$ / a : $\lambda _{1}/a:\lambda _{2}/b:\lambda _{3}/c.$ λ 2 $\lambda _{1}/a:\lambda _{2}/b:\lambda _{3}/c.$ / b : $\lambda _{1}/a:\lambda _{2}/b:\lambda _{3}/c.$ λ $\lambda _{1}/a:\lambda _{2}/b:\lambda _{3}/c.$ / $\lambda _{1}/a:\lambda _{2}/b:\lambda _{3}/c.$ ${\displaystyle \lambda _{1}/a :\lambda _{2}/b :\lambda$ _ ${3}/c.$

중심좌표에서의 방정식

세 변 a, b, c는 각각 방정식을^[10] 갖습니다.

\lambda _{1}=0,\quad \lambda _{2}=0,\quad \lambda _{3}=0.

삼각형의 오일러 선의 방정식은^[10]

{\begin{vmatrix}\lambda _{1}&\lambda _{2}&\lambda _{3}\1&1&1\tan A&\tan B&\tan C\end{vmatrix}}=0.

이전에 주어진 중심좌표와 삼선좌표 사이의 변환을 사용하여 삼선좌표 #공식에 주어진 다양한 다른 방정식을 중심좌표로 다시 쓸 수 있습니다.

점간거리

정규화된 두 점 $P=(p_{1},p_{2},p_{3})$ = $P=(p_{1},p_{2},p_{3})$ ( $P=(p_{1},p_{2},p_{3})$ $P=(p_{1},p_{2},p_{3})$ p $P=(p_{1},p_{2},p_{3})$ p $P=(p_{1},p_{2},p_{3})$ ${\displaystyle$ P = ( $p_{1}, p_{2}, p_{3})$ 및 $Q=(q_{1},q_{2},q_{3})$ = $Q=(q_{1},q_{2},q_{3})$ $Q=(q_{1},q_{2},q_{3})$ $Q=(q_{1},q_{2},q_{3})$ $Q=(q_{1},q_{2},q_{3})$ $Q=(q_{1},q_{2},q_{3})$ $Q=(q_{1},q_{2},q_{3})$ ${\displaystyle$ Q = ( $q_{1},q_{2$ }, $q_{3})$ 의 변위 벡터는

{\overrightarrow {PQ}}=(p_{1}-q_{1},p_{2}-q_{2},p_{3}-q_{3}).

$P$ $P$ 와 Q $Q$ 사이의 $d$ d $d$ $Q$ 또는 변위 벡터 P ${\overrightarrow {PQ}}=(x,y,z),$ 의 길이 → ${\overrightarrow {PQ}}=(x,y,z),$ ( ${\overrightarrow {PQ}}=(x,y,z),$ ${\displaystyle {\overrightarrow {PQ$ }=( $x,y,z),}$ 은(는)

{\displaystyle d^{2}=\left PQ\right ^{2}=-a^{2}yz-b^{2}zx-c^{2}xy={\frac {1}{2}[x^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})+y^{2}(c^{2}+a^{2}-b^{2})+z^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})}.

여기서 a, b, c는 삼각형의 변의 길이입니다. $x+y+z=0,$ 두 식의 동등성은 x $x+y+z=0,$ + $x+y+z=(p_{1}-q_{1})+(p_{2}-q_{2})+(p_{3}-q_{3})=(p_{1}+p_{2}+p_{3})-(q_{1}+q_{2}+q_{3})=1-1=0.$ $x+y+z=0,$ + $x+y+z=0,$ = $x+y+z=0,$ ${\displaystyle$ x + $y$ + z = 0, {\displaystyle x + y + z = 0 $,}$ 에서 따르는데, 이는 $x+y+z=(p_{1}-q_{1})+(p_{2}-q_{2})+(p_{3}-q_{3})=(p_{1}+p_{2}+p_{3})-(q_{1}+q_{2}+q_{3})=1-1=0.$ + y $x+y+z=(p_{1}-q_{1})+(p_{2}-q_{2})+(p_{3}-q_{3})=(p_{1}+p_{2}+p_{3})-(q_{1}+q_{2}+q_{3})=1-1=0.$ + $x+y+z=(p_{1}-q_{1})+(p_{2}-q_{2})+(p_{3}-q_{3})=(p_{1}+p_{2}+p_{3})-(q_{1}+q_{2}+q_{3})=1-1=0.$ = $x+y+z=(p_{1}-q_{1})+(p_{2}-q_{2})+(p_{3}-q_{3})=(p_{1}+p_{2}+p_{3})-(q_{1}+q_{2}+q_{3})=1-1=0.$ ( $x+y+z=(p_{1}-q_{1})+(p_{2}-q_{2})+(p_{3}-q_{3})=(p_{1}+p_{2}+p_{3})-(q_{1}+q_{2}+q_{3})=1-1=0.$ $x+y+z=(p_{1}-q_{1})+(p_{2}-q_{2})+(p_{3}-q_{3})=(p_{1}+p_{2}+p_{3})-(q_{1}+q_{2}+q_{3})=1-1=0.$ - $x+y+z=(p_{1}-q_{1})+(p_{2}-q_{2})+(p_{3}-q_{3})=(p_{1}+p_{2}+p_{3})-(q_{1}+q_{2}+q_{3})=1-1=0.$ $x+y+z=(p_{1}-q_{1})+(p_{2}-q_{2})+(p_{3}-q_{3})=(p_{1}+p_{2}+p_{3})-(q_{1}+q_{2}+q_{3})=1-1=0.$ ) $x+y+z=(p_{1}-q_{1})+(p_{2}-q_{2})+(p_{3}-q_{3})=(p_{1}+p_{2}+p_{3})-(q_{1}+q_{2}+q_{3})=1-1=0.$ + $x+y+z=(p_{1}-q_{1})+(p_{2}-q_{2})+(p_{3}-q_{3})=(p_{1}+p_{2}+p_{3})-(q_{1}+q_{2}+q_{3})=1-1=0.$ ( $x+y+z=(p_{1}-q_{1})+(p_{2}-q_{2})+(p_{3}-q_{3})=(p_{1}+p_{2}+p_{3})-(q_{1}+q_{2}+q_{3})=1-1=0.$ $x+y+z=(p_{1}-q_{1})+(p_{2}-q_{2})+(p_{3}-q_{3})=(p_{1}+p_{2}+p_{3})-(q_{1}+q_{2}+q_{3})=1-1=0.$ - $x+y+z=(p_{1}-q_{1})+(p_{2}-q_{2})+(p_{3}-q_{3})=(p_{1}+p_{2}+p_{3})-(q_{1}+q_{2}+q_{3})=1-1=0.$ $x+y+z=(p_{1}-q_{1})+(p_{2}-q_{2})+(p_{3}-q_{3})=(p_{1}+p_{2}+p_{3})-(q_{1}+q_{2}+q_{3})=1-1=0.$ + $x+y+z=(p_{1}-q_{1})+(p_{2}-q_{2})+(p_{3}-q_{3})=(p_{1}+p_{2}+p_{3})-(q_{1}+q_{2}+q_{3})=1-1=0.$ $x+y+z=(p_{1}-q_{1})+(p_{2}-q_{2})+(p_{3}-q_{3})=(p_{1}+p_{2}+p_{3})-(q_{1}+q_{2}+q_{3})=1-1=0.$ ) - $x+y+z=(p_{1}-q_{1})+(p_{2}-q_{2})+(p_{3}-q_{3})=(p_{1}+p_{2}+p_{3})-(q_{1}+q_{2}+q_{3})=1-1=0.$ ( $x+y+z=(p_{1}-q_{1})+(p_{2}-q_{2})+(p_{3}-q_{3})=(p_{1}+p_{2}+p_{3})-(q_{1}+q_{2}+q_{3})=1-1=0.$ $x+y+z=(p_{1}-q_{1})+(p_{2}-q_{2})+(p_{3}-q_{3})=(p_{1}+p_{2}+p_{3})-(q_{1}+q_{2}+q_{3})=1-1=0.$ + $x+y+z=(p_{1}-q_{1})+(p_{2}-q_{2})+(p_{3}-q_{3})=(p_{1}+p_{2}+p_{3})-(q_{1}+q_{2}+q_{3})=1-1=0.$ $x+y+z=(p_{1}-q_{1})+(p_{2}-q_{2})+(p_{3}-q_{3})=(p_{1}+p_{2}+p_{3})-(q_{1}+q_{2}+q_{3})=1-1=0.$ + $x+y+z=(p_{1}-q_{1})+(p_{2}-q_{2})+(p_{3}-q_{3})=(p_{1}+p_{2}+p_{3})-(q_{1}+q_{2}+q_{3})=1-1=0.$ $x+y+z=(p_{1}-q_{1})+(p_{2}-q_{2})+(p_{3}-q_{3})=(p_{1}+p_{2}+p_{3})-(q_{1}+q_{2}+q_{3})=1-1=0.$ ) $x+y+z=(p_{1}-q_{1})+(p_{2}-q_{2})+(p_{3}-q_{3})=(p_{1}+p_{2}+p_{3})-(q_{1}+q_{2}+q_{3})=1-1=0.$ = $x+y+z=(p_{1}-q_{1})+(p_{2}-q_{2})+(p_{3}-q_{3})=(p_{1}+p_{2}+p_{3})-(q_{1}+q_{2}+q_{3})=1-1=0.$ - $x+y+z=(p_{1}-q_{1})+(p_{2}-q_{2})+(p_{3}-q_{3})=(p_{1}+p_{2}+p_{3})-(q_{1}+q_{2}+q_{3})=1-1=0.$ = $x+y+z=(p_{1}-q_{1})+(p_{2}-q_{2})+(p_{3}-q_{3})=(p_{1}+p_{2}+p_{3})-(q_{1}+q_{2}+q_{3})=1-1=0.$ ${\displaystyle$ x + $y$ + $z$ = ( $p_{1}$ - $q_{1})$ + (p_{ $2}$ - $q_{2})$ + ( $p_{3$ } - (p_ ${1}$ + $p_{2}$ + $p_{3})$ - ( $q_1}$ + q_{ $2}$ + q_{3}) = $1-1$ = $0.}$

점의 중심좌표는 방정식을 풀어서 세 삼각형 꼭짓점까지의 거리_i d를 기준으로 계산할 수 있습니다.

\left({\matrix{begin}-c^{2}&c^{2}-a^{2}\-b^{2}-a^{2}-a^{2}-a^{2}\1&1\end{matrix}}\right){\bold 기호 {\lambda }}=\left({\begin{matrix}d_{A}^{2}-d_{B}^{2}\\d_{A}^{2}-d_{C}^{2}\\1\end{matrix}}\right).

적용들

삼각형에 대한 위치 결정

중심좌표는 삼각형 내부의 점을 다루는 데 가장 일반적으로 사용되지만, 삼각형 외부의 점을 묘사하는 데도 사용될 수 있습니다.만약 점이 삼각형 안에 있지 않다면, 우리는 여전히 위의 공식을 사용하여 중심 좌표를 계산할 수 있습니다.그러나 점이 삼각형 밖에 있으므로 적어도 하나의 좌표는 λ $\lambda _{1...3}\geq 0$ ≥ 0 ${\displaystyle \lambda _{1...$ $3}\geq 0$ 사실, 직교좌표의 임의의 점이 주어지면, 이 사실을 이용하여 이 점이 삼각형에 대하여 어디에 있는지 결정할 수 있습니다.

점이 삼각형의 내부에 있으면 모든 무게중심 좌표는 열린 구간 (0 $(0,1).$ 1 $(0,1).$ 에 $(0,1).$ ${\displaystyle (0, 1).$ $}$ 점이 삼각형의 가장자리에는 있지만 꼭지점에는 없는 경우 영역 좌표 중 하나가 $λ$ $\lambda _{1...3}$ ${\displaystyle \lambda$ _ ${1...$ $3}}($ 반대쪽 꼭짓점과 연관된 것) $\lambda _{1...3}$ 은 0이고, 나머지 두 개는 열린 간격 $(0,1).$ $(0,1).$ )에 놓입니다 $(0,1).$ ${\displaystyle($ 1). $}$ 점이 정점 위에 있으면 $(0,1).$ 해당 정점과 연결된 좌표는 1이고 나머지 좌표는 0입니다.마지막으로 점이 삼각형 밖에 있으면 적어도 하나의 좌표는 음수입니다.

요약하자면,

점

\mathbf {r}

{\displaystyle \mathbf {r}}은(

는)

0<\lambda _{i}<1\;\forall \;i{\text{ in }}{1,2,3}

< λ i

0<\lambda _{i}<1\;\forall \;i{\text{ in }}{1,2,3}

<

0<\lambda _{i}<1\;\forall \;i{\text{ in }}{1,2,3}

∀

0<\lambda _{i}<1\;\forall \;i{\text{ in }}{1,2,3}

0<\lambda _{i}<1\;\forall \;i{\text{ in }}{1,2,3}

1

0<\lambda _{i}<1\;\forall \;i{\text{ in }}{1,2,3}

0<\lambda _{i}<1\;\forall \;i{\text{ in }}{1,2,3}

3

{\displaystyle

0

<\lambda _{i}<1\;\fall \;i{\text{ in }}{,

2

, 3}}

인 경우에만 삼각형 안에 있습니다

0<\lambda _{i}<1\;\forall \;i{\text{ in }}{1,2,3}

\mathbf {r}

0\leq \lambda _{i}\leq 1\;\forall \;i{\text{ in }}{1,2,3}

\mathbf {r}

0\leq \lambda _{i}\leq 1\;\forall \;i{\text{ in }}{1,2,3}

\mathbf {r}

≤

1

0\leq \lambda _{i}\leq 1\;\forall \;i{\text{ in }}{1,2,3}

0\leq \lambda _{i}\leq 1\;\forall \;i{\text{ in }}{1,2,3}

\mathbf {r}

≤

1

\lambda _{i}=0\;{\text{, for some i in }}{1,2,3}

i 인 1, 2

, 3

{\

displaystyle 0\

\mathbf {r}

ambda_{i

}\leq

1\;\모든 \;i

{\text

{in}}}{1,2,3

\mathbf {r}

}

\lambda _{i}=0\;{\text{, for some i in }}{1,2,3}

\mathbf {r}

λ

\lambda _{i}=0\;{\text{, for some i in }}{1,2,3}

=

\lambda _{i}=0\;{\text{, for some i in }}{1,2,3}

\lambda _{i}=0\;{\text{, for some i in }}{1,2,3}

\lambda _{i}=0\;{\text{, for some i in }}{1,2,3}

\lambda _{i}=0\;{\text{, for some i in }}{1,2,3}

{\displaystyle

\te

\mathbf {r}

t{

i}=0\;{\text{, 일부

i

in }{1,2,3}}

인 경우 삼각형의 가장자리 또는 모서리에

\mathbf {r}

놓입니다.

그렇지 않으면

\mathbf {r}

{\

가) 삼각형 외부에 있습니다

\mathbf {r}

.

특히 한 점이 선의 끝쪽에 있는 경우, 선 위에 있지 않은 삼각형의 점의 무게중심 좌표는 음의 값을 갖습니다.

삼각형 비정렬격자에 대한 내삽

$f(\mathbf {r} _{1}),f(\mathbf {r} _{2}),f(\mathbf {r} _{3})$ ( $f(\mathbf {r} _{1}),f(\mathbf {r} _{2}),f(\mathbf {r} _{3})$ $f(\mathbf {r} _{1}),f(\mathbf {r} _{2}),f(\mathbf {r} _{3})$ f $f(\mathbf {r} _{1}),f(\mathbf {r} _{2}),f(\mathbf {r} _{3})$ ( $f(\mathbf {r} _{1}),f(\mathbf {r} _{2}),f(\mathbf {r} _{3})$ $f(\mathbf {r} _{1}),f(\mathbf {r} _{2}),f(\mathbf {r} _{3})$ $f$ ( $f(\mathbf {r} _{1}),f(\mathbf {r} _{2}),f(\mathbf {r} _{3})$ $f(\mathbf {r} _{1}),f(\mathbf {r} _{2}),f(\mathbf {r} _{3})$ ) ${\displaystyle$ f $(\mathbf {r} _{1}), f(\mathbf {r} _{2}),$ f $(\mathbf {r} _{3})}$ 가 알려진 $f(\mathbf {r} _{1}),f(\mathbf {r} _{2}),f(\mathbf {r} _{3})$ 양이지만, $\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{3}$ $\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{3}$ r $\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{3}$ $\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{3}$ $\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{3}$ 으로 정의된 삼각형 $f$ 의 $f$ f ${\$ $f}$ 값은 $\mathbf {r}$ _ ${1},\mathbf {r}$ _ ${2},\mathbf {r} _{3}$ 이(가) 알려지지 않은 $\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{3}$ 경우 선형 보간법을 사용하여 근사할 수 있습니다.중심좌표는 이 보간을 계산하는 편리한 방법을 제공합니다. $\mathbf {r}$ $\mathbf {r}$ 이 $($ 가) 중입자 좌표를 갖는 삼각형 내부의 점이라면 λ $\lambda _{1}$ ${\displaystyle \lambda _{1}},$ λ $\lambda _{2}$ ${\displaystyle \lambda _{2}},$ λ $\lambda _{3}$ ${\displaystyle \lambda _{3$ 다음

f(\mathbf {r} )\approx \lambda _{1}f(\mathbf {r} _{1})+\lambda _{2}f(\mathbf {r} _{2})+\lambda _{3}f(\mathbf {r} _{3})

일반적으로, 임의의 비정형 그리드 또는 다각형 메시가 주어졌을 때, 함수의 값이 메시의 모든 정점에서 알려진 $f$ 한, 모든 점에서 $f$ $f$ 의 값을 근사화하는 데 이러한 기법이 사용될 수 있습니다.이 경우, 우리는 공간의 다른 부분에 대응하는 많은 삼각형을 가지고 있습니다.함수 $f$ $f$ 를 $f$ $\mathbf {r}$ r ${\$ 에 보간하려면 먼저 $\mathbf {r}$ ${\$ 을(를) 포함하는 삼각형을 찾아야 합니다 $\mathbf {r}$ 그러기 위해서 r ${\$ { $r}$ }을 $($ 를) 각 삼각형의 중심 좌표로 변환합니다 $\mathbf {r}$ . $0\leq \lambda _{i}\leq 1\;\forall \;i{\text{ in }}1,2,3$ 가 $0\leq \lambda _{i}\leq 1\;\forall \;i{\text{ in }}1,2,3$ $0\leq \lambda _{i}\leq 1\;\forall \;i{\text{ in }}1,2,3$ , 3 $0\leq \lambda _{i}\leq 1\;\forall \;i{\text{ in }}1,2,3$ {\ $displaystyle 0\$ leq \ $lambda _$ {i}\ $leq$ 1 $\;\모든 \;i{\text{in }}, 2, 3}$ 에서 $0\leq \lambda _{i}\leq 1\;\forall \;i{\text{ in }}1,2,3$ $0\leq \lambda _{i}\leq 1\;\forall \;i{\text{ in }}1,2,3$ λ $0\leq \lambda _{i}\leq 1\;\forall \;i{\text{ in }}1,2,3$ $0\leq \lambda _{i}\leq 1\;\forall \;i{\text{ in }}1,2,3$ $0\leq \lambda _{i}\leq 1\;\forall \;i{\text{ in }}1,2,3$ ∀ $0\leq \lambda _{i}\leq 1\;\forall \;i{\text{ in }}1,2,3$ 를 만족하는 삼각형이 발견되면 $0\leq \lambda _{i}\leq 1\;\forall \;i{\text{ in }}1,2,3$ 점은 해당 삼각형 안에 있거나 그 가장자리에 있습니다(앞 절에서 설명). $f(\mathbf {r} )$ 위에서 설명한 대로 f $f(\mathbf {r} )$ ( r) {\ $displaystyle f(\mathbf$ {r $})}$ 의 값을 보간할 수 있습니다 $f(\mathbf {r} )$ .

이러한 방법에는 유한 요소 방법(FEM)과 같은 많은 응용이 있습니다.

삼각형 또는 사면체 위의 적분

삼각형의 정의역 위에 있는 함수의 적분은 직교 좌표계에서 계산하기 귀찮을 수 있습니다.하나는 일반적으로 삼각형을 두 개의 반으로 나누어야 하고, 큰 혼란이 뒤따릅니다.대신에, 변수를 두 개의 중심 좌표, 예를 들어 λ $\lambda _{1},\lambda _{2}$ , $\lambda _{1},\lambda _{2}$ λ 2 ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda$ _ ${2}}$ 로 변경하는 것이 더 쉬운 경우가 많습니다 $\lambda _{1},\lambda _{2}$ 이러한 변수의 변경 하에서,

\int _{T}f(\mathbf {r} )\d\mathbf {r} = 2A\int _{0}^{1}\int _{0}^{1-\lambda _{2}}f(\lambda _{1}+\mathbf {r} _{1}+\lambda _{2}\mathbf {r} _{2}+(1-\lambda _{1}-\mathbf {r} _{3}\d\lambda _{1}\d\mathbf {r} lambda _{2

여기서 $A$ 는 $A$ 삼각형의 면적입니다.이 결과는 중심좌표의 직사각형이 직교좌표에 대응하고, 대응하는 좌표계에서 대응하는 도형의 넓이의 비율이 2 $2A$ $2A$ 에 의해 주어진 것에서 비롯됩니다 $2A$ 마찬가지로, 정사면체 위의 적분을 위해 적분을 분해하는 대신l은 2개 또는 3개의 분리된 조각으로, 변수의 변화에 따라 3D 사면체 좌표로 바꿀 수 있습니다.

\int \int _{T}f(\mathbf {r})\d\mathbf {r} = 6V\int _{0}^{1}\int _{0}^{1-\lambda _{3}}\int _{0}^{1-\lambda _{2}-\lambda _{3}}f(\lambda _{1}+\mathbf {r}_{1}+\mathbf {r}_{2}+\mathbf {r}_{3}+(1-\lambda _{1}-\mathbf {r}_{3}+(1-\lambda _{1}-\lambda _{3})\mathbf {r}_{4}\d\lambda _{1}\d\lambda _{2}\d\mathbf _{3}

V

서 V

V

는

V

사면체의 부피입니다.

특수 점 예시

삼각형 $A$ BC {\ $displaystyle$ ABC $}$ 에 대해 정의된 균질 중심 좌표계에서, $ABC$ A $B$ $C$ $ABC$ 의 특별한 점에 대한 다음 문장은 성립합니다 $ABC$ .

세 $꼭짓점$ A {\ $displaystyle$ $},$ B {\ $displaystyle$ $B$ }및 C {\displaystyle $C}$ 은 $C$ (는) 좌표를^[10] 갖습니다.

1:0:0\quad \quad 0:1:0\quad \quad 0:0:1.

중심에 좌표 $1:1:1.$ $1:1:1.$ 이(가) 있습니다.

${\displaystyle$ $a$ $a$ $c$ ${\displaystyle$ b $b$ c $c$ 가 각각 모서리 길이 $BC$ ${\displaystyle BC$ $CA$ ${\displaystyle CA$ $AB$ ${\displaystyle AB},$ $\alpha$ ${\displaystyle \beta},$ γ $\gamma$ 가 각도 측도 ∠ $\angle CAB$ $\angle CAB$ ${\displaystyle \angle CAB},$ ∠ $\angle ABC$ B $\angle ABC$ ${\displaystyle \angle ABC$ $}$ 및 각각 $\angle BCA$ $\angle BCA$ 를 $∠$ 하고, $s$ ${\displaystyles}$ 는 $ABC$ $ABC$ 의 반지름이며 $ABC$ 추가로 $ABC$ $ABC$ 의 특별한 점에 대한 다음 문장이 있습니다.

원 중심에는 좌표가^[10]^[11]^[12]^[13] 있습니다.

a^{2}(-a^{2}+b^{2}+c^{2}):\;b^{2}(a^{2}-b^{2}+c^{2}):\;c^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})

{\displaystyle =\sin 2\alpha :\sin 2\beta :\sin 2\gamma = (1-\cos \cos \cos \gamma ) : (1-\cos \cos \cos \alpha ) : (1-\cos \alpha \cos \cos \cos \cos \beta ) ) : (1-\cos \alpha \cos \cos \cos \cos \gamma )

직교 센터에는 좌표가^[10]^[11] 있습니다.

{\displaystyle(a^{2}+b^{2}-c^{2})(a^{2}-b^{2}+c^{2}):\;(-a^{2}+b^{2}+c^{2})(a^{2}+b^{2}-c^{2}):\;(a^{2}-b^{2}+c^{2})(-a^{2}+c^{2})}

=\tan \alpha :\tan \beta \cos \cos \gamma \cos \cos \beta \cos \alpha : c\cos \alpha \cos \cos \beta \cos \gamma \cos \gamma  .

중심점의 좌표 $a:b:c=\sin \alpha :\sin \beta :\sin \gamma .$ : $a:b:c=\sin \alpha :\sin \beta :\sin \gamma .$ : $a:b:c=\sin \alpha :\sin \beta :\sin \gamma .$ = $a:b:c=\sin \alpha :\sin \beta :\sin \gamma .$ ⁡ $a:b:c=\sin \alpha :\sin \beta :\sin \gamma .$ : $a:b:c=\sin \alpha :\sin \beta :\sin \gamma .$ ⁡ $a:b:c=\sin \alpha :\sin \beta :\sin \gamma .$ : $a:b:c=\sin \alpha :\sin \beta :\sin \gamma .$ ⁡ γ $a:b:c=\sin \alpha :\sin \beta :\sin \gamma .$ ${\displaystyle a$ : b : c =\ $sin \alpha :\sin \$ beta $:\sin$ \gamma $.}$

엑센트들은 좌표를^[14] 가지고 있고,

-a:b:c\quad \quad a:-b:c\quad \quad a:b:-c.

9점짜리 중심부에 위치한^[10]^[14]

a\cos(\beta -\gamma ):b\cos(\gamma -\alpha ):c\cos(\alpha -\beta )=(1+\cos \cos \cos \gamma ):(1+\cos \cos \cos \alpha ):(1+\cos \alpha \cos \cos \cos \beta )

=[a^{2}(b^{2}+c^{2})--(b^{2}-c^{2})^{2}:[b^{2}(c^{2}+a^{2})]-(c^{2}-a^{2})^{2}]:[c^{2}(a^{2}+b^{2})-(a^{2}-b^{2})^{2}.

Gergonne 점에는 좌표 $(s-b)(s-c):(s-c)(s-a):(s-a)(s-b)$ ( $(s-b)(s-c):(s-c)(s-a):(s-a)(s-b)$ - $(s-b)(s-c):(s-c)(s-a):(s-a)(s-b)$ ) $(s-b)(s-c):(s-c)(s-a):(s-a)(s-b)$ ( $(s-b)(s-c):(s-c)(s-a):(s-a)(s-b)$ - $(s-b)(s-c):(s-c)(s-a):(s-a)(s-b)$ ) $(s-b)(s-c):(s-c)(s-a):(s-a)(s-b)$ ( $(s-b)(s-c):(s-c)(s-a):(s-a)(s-b)$ - $(s-b)(s-c):(s-c)(s-a):(s-a)(s-b)$ ) $(s-b)(s-c):(s-c)(s-a):(s-a)(s-b)$ : $(s-b)(s-c):(s-c)(s-a):(s-a)(s-b)$ ( $(s-b)(s-c):(s-c)(s-a):(s-a)(s-b)$ - $(s-b)(s-c):(s-c)(s-a):(s-a)(s-b)$ ) $(s-b)(s-c):(s-c)(s-a):(s-a)(s-b)$ ( $(s-b)(s-c):(s-c)(s-a):(s-a)(s-b)$ - $(s-b)(s-c):(s-c)(s-a):(s-a)(s-b)$ ) ${\displaystyle ($ s - b) (s - c) $:$ $($ s - a) : (s - a) (s - b $)}$ 가 있습니다 $(s-b)(s-c):(s-c)(s-a):(s-a)(s-b)$

Nagel 점의 $s-a:s-b:s-c$ 는 s - $s-a:s-b:s-c$ : $s-a:s-b:s-c$ - $s-a:s-b:s-c$ : $s-a:s-b:s-c$ - c ${\displaystyle$ s - $a$ : s - $b$ : s - $}$ 입니다 $s-a:s-b:s-c$

대칭 점의 $a^{2}:b^{2}:c^{2}$ 는 a $a^{2}:b^{2}:c^{2}$ : $a^{2}:b^{2}:c^{2}$ $2$ : c $a^{2}:b^{2}:c^{2}$ ${\$ : b $^{2}$ : c $^{2}}$ 입니다 $a^{2}:b^{2}:c^{2}$ ^[13]

사면체에서의 중심좌표

무게중심 좌표는 쉽게 3차원으로 확장될 수 있습니다.3차원 심플렉스는 4개의 삼각형 면과 4개의 꼭짓점을 가진 다면체인 사면체입니다.다시 한 번, 4개의 중심 좌표는 첫 번째 $\mathbf {r} _{1}$ r 1 $\mathbf {r} _{1}$ {\ $displaystyle$ $\lambda =(1,0,0,0)$ \ $mathbf$ { $r} _{1}$ 이(가) 중심 $\lambda =(1,0,0,0)$ λ = ( $1$ 0 $,$ $\lambda =(1,0,0,0)$ $0)$ {\ $displaystyle$ \mathbf {r} _ ${$ $1$ }}, $\mathbf {r} _{2}\to (0,1,0,0)$ $\lambda =(1,0,0,0)$ 2 → ( $,$ 1 $\mathbf {r} _{2}\to (0,1,0,0)$ $\mathbf {r} _{2}\to (0,1,0,0)$ $\mathbf {r$ _ ${2}\to$ ( $0, 1,$ 0, $0)}$ 등으로 정의됩니다 $\mathbf {r} _{2}\to (0,1,0,0)$

이것은 다시 선형 변환이며 삼각형에 대한 위의 절차를 확장하여 사면체에 대한 $\mathbf {r}$ 점 $\mathbf {r}$ ${\$ 의 중심 좌표를 찾을 수 있습니다.

\left({\matrix{begin}\lambda _{1}\\\lambda _{2}\\\lambda _{3}\end{matrix}}\right)=\mathbf {T}^{-1}(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{4})

여기서 $\mathbf {T}$ ${\$ 은 $\mathbf {T}$ (는) 이제 3×3 행렬입니다.

\mathbf {T} =\left ({\begin{matrix} x_{1}-x_{4}&x_{2}-x_{4}&x_{3}-x_{4}\y_{1}-y_{4}-y_{2}-y_{3}-y_{4}-y_{4}-y_{4}\z_{2}-z_{4}&z_{4}-z_{3}-z_{4}\end{matrix}\right)

λ $4$ = $\lambda _{4}=1-\lambda _{1}-\lambda _{2}-\lambda _{3}$ 1 - $\lambda _{4}=1-\lambda _{1}-\lambda _{2}-\lambda _{3}$ λ $\lambda _{4}=1-\lambda _{1}-\lambda _{2}-\lambda _{3}$ - $\lambda _{4}=1-\lambda _{1}-\lambda _{2}-\lambda _{3}$ λ 2 - $\lambda _{4}=1-\lambda _{1}-\lambda _{2}-\lambda _{3}$ λ 3 ${\displaystyle$ \lambda _{ $4}$ = 1- $\$ lambda $\lambda _{4}=1-\lambda _{1}-\lambda _{2}-\lambda _{3}$ _ ${1}-\$ lambda _{ $2}-\$ lambda _{ $3}}.$

{\begin{matrix}x=\lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2}+\lambda _{3}x_{3}+(1-\lambda _{1}-\lambda _{2}-\lambda _{3})x_{4}\y=\lambda _{1}y_{1}+\lambda _{2}y_{2}+\lambda _{3}y_{3}+(1-\lambda _{1}-\lambda _{2}-\lambda _{3}y_{4}\z=\lambda _{1}z_{1}+\lambda _{2}z_{2}+\lambda _{3}z_{3}+(1-\lambda _{1}z_{3}+(1-\lambda _{2}-\lambda _{3}z_{4}\\\end{matrix}

다시 한번, 무게중심 좌표를 찾는 문제는 3×3 행렬을 뒤집는 것으로 줄어들었습니다.

2D 절차와 유사한 방법으로 점이 사면체 부피 내부에 있는지 여부를 결정하고 사면체 메쉬 내의 함수를 보간하는 데 3D 중심 좌표를 사용할 수 있습니다.4면체 메쉬는 종종 유한 요소 분석에 사용되는데, 이는 중심 좌표를 사용하면 3차원 보간을 크게 단순화할 수 있기 때문입니다.

일반화된 중심좌표

점 $p\in \mathbb {R} ^{n}$ ∈의 $(\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{k})$ 중심좌표(λ 1, λ 2 $,$ $(\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{k})$ λ k $(\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{k})$ $p\in \mathbb {R} ^{n}$ {\displaystyle $(\lambda _{1},\lambda _{2$ }, $...,\lambda _{k})}$ ${\displaystyle p$ $x_{1},x_{2},...,x_{k}\in \mathbb {R} ^{n}$ $in$ \ $mathbb$ { $R}^{n},$ $x_{1},x_{2},...,x_{k}\in \mathbb {R} ^{n}$ x $x_{1},x_{2},...,x_{k}\in \mathbb {R} ^{n}$ ∈ $x_{1},x_{2},...,x_{k}\in \mathbb {R} ^{n}$ $x_{1},x_{2},...,x_{k}\in \mathbb {R} ^{n}$ ${\displaystyle x_{1},$ $(\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{k})$ $x_{2},...,$ $x_{k}\in \mathbb {R}^{n}$ 에서 심플렉스 대신 $x_{1},x_{2},...,x_{k}\in \mathbb {R} ^{n}$ 일반화된 중심 좌표라고 합니다.이들에 대한 방정식은

{\displaystyle(\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{k})p=\lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2}+\cdots +\lambda _{k}x_{k}}

유지해야 합니다.^[15]보통 하나는 정규화 $\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{k}=1$ 를 사용하는데, $\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{k}=1$ λ 1 + $\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{k}=1$ ⋯ 2 + $\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{k}=1$ λ + lambda $\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{k}=1$ = 1 {\ $displaystyle \$ lambda _{1} $+\$ lambda _ ${2}$ +\cdots $+\$ λ _{k}= $1}$ 입니다 $\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{k}=1$ 심플렉스의 경우, 음이 아닌 정규화 일반화 좌표( $0\leq \lambda _{i}\leq 1$ ≤ lambda i $0\leq \lambda _{i}\leq 1$ ≤ $0\leq \lambda _{i}\leq 1$ {\ $displaystyle 0\leq \$ λ _ ${i}\leq 1$ 를 가지는 점들은 $x, ...,$ $x$ 의 볼록한 선체를 형성합니다. 만약 점이 i보다 많을 경우n 완전한 단순함 ( $k>n+1$ > $k>n+1$ + $k>n+1$ ${\displaystyle$ k > $n+1$ 점의 일반화된 중심점 좌표는 정의 선형계로서 유일하지 않습니다(여기서는 n=2).

\left ({\begin{matrix}1&1&1...\\x_{1}&x_{2}&x_{3}&...\\y_{1}&y_{2}&y_{3}&...\end{matrix}}\right){\begin{pmatrix}\lambda_{1}\\lambda_{2}\\\lambda_{3}\\vdots \end{pmatrix}}=\left ({\matrix{begin}1\x\y\end{matrix}\right)

미정입니다.가장 간단한 예는 평면상의 사각형입니다.다양한 종류의 추가 제한을 사용하여 고유한 중심 좌표를 정의할 수 있습니다.^[16]

추상화

좀 더 추상적으로, 일반화된 중중심 좌표는 차원에 관계없이 n개의 정점을 가진 볼록 폴리토프를 n개의 정점을 가진 표준 $(n-1)$ - $(n-1)$ $(n-1)$ - simplex의 이미지로 표현합니다 - 지도는 위에 있습니다: δ $\Delta ^{n-1}\twoheadrightarrow P.$ - $\Delta ^{n-1}\twoheadrightarrow P.$ ↠ $\Delta ^{n-1}\twoheadrightarrow P.$ ${\displaystyle \Delta ^{n-1}\twoheadright$ arrow $P.}$ 지도는 폴리토프가 다음과 같은 경우에만 일대일입니다.지도가 동형인 경우, 이는 P가 단순한 경우를 제외하고는 유일한 일반화된 중심 좌표를 갖지 않는 점에 해당합니다.

이중에서 일반화된 중중심 좌표는 점이 선형 제약을 만족하는 마진의 양으로 측정하는 슬랙 변수이며, f는 면(꼭짓점에 대한 $P\hookrightarrow (\mathbf {R} _{\geq 0})^{f}$ dual $P\hookrightarrow (\mathbf {R} _{\geq 0})^{f}$ 의 수인 f-orthant에 $P\hookrightarrow (\mathbf {R$ _ ${\geq 0})^{f}$ 를 포함합니다.이 맵은 일대일(slack variables는 고유하게 결정됨)이지만 위에 있는 것은 아닙니다(모든 조합을 실현할 수 있는 것은 아닙니다).

표준 $(n-1)$ ( $(n-1)$ - $(n-1)$ $(n-1)$ - 폴리토프에 매핑되거나 폴리토프가 매핑되는 표준 객체로서 simplex와 f-orthant를 사용하는 것은 표준 벡터 공간 $K^{n}$ {\ $displaystyle$ K $^{n}$ 을 벡터 공간의 표준 객체로서 사용하는 것과 대조되어야 하며, 표준 아핀 $\{(x_{0},\ldots ,x_{n})\mid \sum x_{i}=1\}\subset K^{n+1}$ 초평면 $\{(x_{0},\ldots ,x_{n})\mid \sum x_{i}=1\}\subset K^{n+1}$ { ( $\{(x_{0},\ldots ,x_{n})\mid \sum x_{i}=1\}\subset K^{n+1}$ $\{(x_{0},\ldots ,x_{n})\mid \sum x_{i}=1\}\subset K^{n+1}$ $\{(x_{0},\ldots ,x_{n})\mid \sum x_{i}=1\}\subset K^{n+1}$ $\{(x_{0},\ldots ,x_{n})\mid \sum x_{i}=1\}\subset K^{n+1}$ ) $\{(x_{0},\ldots ,x_{n})\mid \sum x_{i}=1\}\subset K^{n+1}$ ∣ ∑ $\{(x_{0},\ldots ,x_{n})\mid \sum x_{i}=1\}\subset K^{n+1}$ $\{(x_{0},\ldots ,x_{n})\mid \sum x_{i}=1\}\subset K^{n+1}$ = 1 $\{(x_{0},\ldots ,x_{n})\mid \sum x_{i}=1\}\subset K^{n+1}$ $Kn$ + $\{(x_{0},\ldots ,x_{n})\mid \sum x_{i}=1\}\subset K^{n+1}$ $\{(x_{0},\ldots,x_{n})\mid \sum x_{i$ $^{n+1}$ 를 아핀 공간의 표준 객체로 삼으면, 각 경우에 선형 기저 또는 아핀 기저를 선택하면 동형 사상을 제공하여 모든 벡터 공간과 아핀 공간을 이러한 표준 공간의 관점에서 생각할 수 있습니다.(모든 폴리토프가 단순한 것은 아님).또한 n-orthant는 원뿔에 매핑되는 표준 개체입니다.

적용들

일반화된 중중심 좌표는 컴퓨터 그래픽, 더 구체적으로 기하학적 모델링에 응용됩니다.^[17]흔히, 3차원 모델은 다면체에 의해 근사화되어 해당 다면체에 대한 일반화된 중중심 좌표가 기하학적 의미를 가질 수 있습니다.이와 같이 의미 있는 좌표를 사용하여 모델의 처리를 단순화할 수 있습니다.중심좌표는 지구물리학에서도 사용됩니다.^[18]

참고 항목

참고문헌

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외부 링크

지렛대의 법칙
평면 유클리드 기하학에서 균질한 중심좌표의 사용
중심좌표 – (일반화된) 중심좌표에 관한 과학 논문 모음
중심좌표: "세 개의 안경" 문제를 해결하는 호기심 많은 응용(cut the knot)
삼각형 검정의 정확한 점
에반 첸과 막스 쉰들러에 의한 올림피아드 기하학의 중심좌표
지오게브라에서 바리센터 명령과 삼각형 곡선 명령입니다.

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