대수 논리학

수학 논리학에서 대수논리는 자유변수로 방정식을 조작하여 얻은 추론이다.

현재 일반적으로 고전 대수 논리라고 불리는 것은 다양한 로직의 연구에 적합한 모델의 식별과 대수적 설명에 초점을 맞추고 있으며(이러한 연역계통의 대수적 의미론을 구성하는 알헤브라의 종류) 그리고 표현과 이중성과 같은 연결된 문제들에 초점을 맞추고 있다. 부울 알헤브라와 스톤 이중성에 대한 표현 정리처럼 잘 알려진 결과는 고전 대수 논리학의 산하에 있다(Czelakowski 2003).

좀 더 최근의 추상 대수 논리(AAL)에서의 작품들은 라이프니즈 연산자(Czelakowski 2003)를 이용하여 다양한 형태의 대수화성을 분류하는 것과 같이 대수화 과정 자체에 초점을 맞춘다.

관계 미적분학

어떤 집합 X에 대한 X × X의 전력 집합에서 동질적인 이항 관계가 발견되는 반면, X × Y의 전력 집합에서는 이질적인 관계가 발견된다. 여기서 X × Y는 X × Y의 전력 집합에서 발견된다. 주어진 관계가 두 개인에 대해 유지되는지는 하나의 정보이기 때문에, 관계는 부울 산술과 함께 연구된다. 동력 세트의 원소는 부분적으로 포함에 의해 정렬되며, 이들 세트의 격자는 상대적 곱셈이나 관계 구성을 통해 대수학으로 된다.

"기본 운영은 세트이론적 결합, 교차로와 보완, 상대적 곱셈, 변환이다."^[1]

변환은 함수 이론과 반대로 항상 존재하는 역관계(verse relation)를 가리킨다. 주어진 관계는 논리 행렬로 나타낼 수 있으며, 그 다음 역관계는 전치 행렬로 나타낸다. 다른 두 개의 구성으로 얻은 관계는 부울 산수를 사용하여 행렬 곱셈에 의해 얻은 논리 행렬로 표현된다.

예

관계의 미적분학의 예는 에로테틱스, 질문 이론에서 발생한다. 발언의 우주에는 S와 질문 Q가 있다. Q에서 S까지의 관계 π과 α가 두 가지 있다: q α a는 질문 q에 대한 직접적인 대답일 때 hold한다. 다른 관계인 q π p는 p가 질문 q의 전제일 때 유지된다. 역관계 π은^T 구성 to;α가^T S에 대해 동질적인 관계가 되도록 S에서 Q까지 운행한다.^{[citation needed]} 소크라테스 방식 대화에서는 충분한 답을 이끌어내기 위해 올바른 질문을 넣는 기술이 인정된다.

기능들

주요 이항 관계 속성에 대한 설명은 관계의 미적분학으로 공식화되었다. The univalence property of functions describes a relation ${\displaystyle R}$ that satisfies the formula ${\displaystyle R^{T}R\subseteq I,}$ where ${\displaystyle I}$ is the identity relation on the range of ${\displaystyle R}$. The injective property corresponds to univalence of ${\displ$$aystyle R^{T$ 또는 공식 $R{\displaystyle }$ R ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle T^{}}$⊆ ${\displaystyle I,}$ ${\displaystyle R^{T}\subseteq$ I$, 여기$서 $이번$에는 I ${\displaystyle I}$이(가) $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ R$}$의 도메인에서 ID가 된다$.$

그러나 단발적인 관계는 부분적인 함수일 뿐, 단발적인 총관계는 함수일 뿐이다. 총체성의 $공식$은 I${\displaystyle }$⊆ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle T^{}}$ ${\displaystyle$I\$subseteq RR^{T}}}$ 찰스$$ 뢰너와 건터 슈미트는 총체적이고 비현실적인 관계에 대해 매핑이라는 용어를 사용한다.^[2][3]

보완 관계의 시설은 아우구스투스 드 모건과 에른스트 슈뢰더에게 관계 R${\displaystyle \stackrel{}{}}$${\displaystyle$ ${\bar {R$$}$을(를) $사용$하여 동등성을 소개하도록 영감을 주었다$.$ 이러한 동등성은 단일한 관계에 대한 대체 공식(${\displaystyle RI\stackrel{}{}}$⊆ ⊆ { { { { { ${\displaystyle \stackrel{}{\{}}$ ${{\$)을 제공한다.${$$$$I}\subseteq{\bar{R}})$ 및 전체 관계(${\displaystyle R}$"${\displaystyle }$⊆ R $"{\$ {$I}).$ 따라서 지도는 $R{\displaystyle \stackrel{`}{}}$= R ${\displaystyle I\stackrel{}{}``.}$^[4] ${\displaystyle {\R}=R{{\bar {I}}$라는 공식을 만족시킨다$$. 매핑 $f$의 경우${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A\stackrel{}{}}$= f ${\displaystyle \stackrel{}{A}}$의${\displaystyle }$. ${\displaystyle f,\quad f{\bar{A}={\overline {fA}.$$}$

추상화

세트 이론에 근거한 관계 대수 구조는 타르스키에 의해 그것을 설명하는 공리와 함께 초월되었다. 그리고 공리를 만족하는 모든 대수학이 정해진 관계로 대표될 수 있는지 물었다. 부정적인^[5] 답변은 추상 대수 논리의 전선을 열었다.^[6][7][8]

로직의 모델로서의 알제브라스

대수 논리학은 종종 경계로 된 격자인 대수 구조를 특정 로직의 모델(해석)으로 취급하여 논리를 순서 이론의 한 갈래로 만든다.

대수 논리학에서:

• 변수는 어떤 담론의 우주에 걸쳐 암묵적으로 보편적으로 수량화된다. 실존적으로 계량화된 변수나 개방된 공식은 없다.
• 용어는 원시적이고 정의된 연산을 사용하는 변수로부터 만들어진다. 연결 장치가 없다.
• 통상적인 방법으로 용어로 만들어진 공식은 논리적으로 동등하다면 동일할 수 있다. tautology를 표현하려면 공식을 진리 값과 동일시한다.
• 증명 규칙은 동등의 대체와 일률적인 대체다. Modus ponens는 여전히 유효하지만 거의 고용되지 않는다.

아래 표에서 왼쪽 열은 하나 이상의 논리 또는 수학적 시스템을 포함하고 있으며, 그 모델인 대수적 구조가 같은 행의 오른쪽에 표시된다. 이 구조물들 중 일부는 부울 알헤브라스 또는 그것의 적절한 확장이다. 모달과 기타 비클래식 로직은 일반적으로 " 연산자가 있는 부울 알헤브라스"라고 불리는 것에 의해 모델링된다.

적어도 몇 가지 측면에서 1차적 논리를 넘어선 대수적 형식은 다음을 포함한다.

• 집합 이론의 표현력을 갖는 결합 논리
• 관계 대수학, 거의 틀림없이 패러다임 대수 논리학, 페아노 산술과 대부분의 자명적인 집합 이론은 표준 ZFC를 포함하여 표현할 수 있다.

논리 체계	린덴바움-타르스키 대수
고전적 보초적 논리학	부울 대수
직관적 명제 논리학	헤이팅 대수
우카시오비치 논리	MV-알지브라
모달 논리 K	모달 대수
루이스의 S4	실내 대수
Lewis의 S5, 단음이의 술어 논리	모나치 부울 대수
1차 논리	전체 부울 대수, 폴리아디드 대수, 술어 펑터 논리
동일성이 있는 1차 논리	원통대수학
세트 이론	결합 논리학, 관계 대수학

역사

대수학적 논리는 아마도 형식논리에 대한 가장 오래된 접근법일 것이며, 1680년대에 라이프니즈가 쓴 많은 암기로부터 시작되는데, 그 중 일부는 19세기에 출판되어 1918년에 클라렌스 루이스에 의해 영어로 번역되었다.^{[9]: 291–305} 그러나 라이프니츠의 알려진 대수적 논리에 관한 거의 모든 저작은 루이스 쿠투라트가 라이프니츠의 나클라스에서 그것을 발견한 후 1903년에야 출판되었다. 파킨슨(1966년)과 롬커(1969년)는 쿠투라트의 책 중에서 고른 것을 영어로 번역했다.

현대 수학 논리는 1847년에 시작되었는데, 각각의 저자가 조지 불^[10](George Boole)과 아우구스투스 드 모건(Augustus De Morgan)인 두 개의 팜플렛이 있었다.^[11] 1870년 찰스 샌더스 페어스는 친척들의 논리에 관한 여러 작품 중 첫 번째 작품을 출판했다. 알렉산더 맥팔레인은 1879년 논리의^[12] 대수학 원리를 발표했고, 1883년 존스홉킨스 대학의 페어체 학생 크리스틴 라드(Christine Ladd)가 '논리의 대수학'을 출간했다.^[13] 이항 관계가 관계 구성과 결합되었을 때 논리는 더 대수적으로 변했다. 세트 A와 B의 경우, 관계는 처음에 부울 대수학에서 기술한 속성을 가진 A×B의 동력 집합의 요소로 이해되었다. "관계의 미적분"^[8]은 틀림없이 라이프니츠의 논리 접근법의 정점이다. 호치슐레 칼스루헤에서 관계의 미적분은 에른스트 슈뢰더에 의해 묘사되었다.^[14] 특히 그는 슈뢰더 규칙을 공식화했지만, 드 모건은 그의 정리 K로 그것들을 예상했었다.

"Boole-Schröder 논리 대수학"은 1918년 Clarence Lewis의 교과서로 버클리 캘리포니아 대학에서 개발되었다.^[9] 그는 관계의 논리를 둘 이상의 변수의 명제적 함수에서 파생된 것으로 취급했다.

휴 맥콜, 고틀롭 프레지, 주세페 페아노, 베르트랑 러셀, 에이엔 화이트헤드 등 모두가 라이프니츠의 상징논리와 수학, 철학을 결합하려는 꿈을 공유했다.

레오폴트 뢰웬하임과 토랄프 스콜렘이 대수논리에 대해 쓴 글들이 1910~13년 프린세스 매티카 출판 이후 등장했고 타르스키는 1941년 쓴 에세이 '관계의 미적분학에 대하여'로 관계에 대한 관심을 되살렸다.^[8]

Helena Rasiowa에 따르면, "1920년에서 40년 사이에 폴란드 논리학 학파에서는 논리 행렬법이라고 불리는 것에 의해 수행된 비클래식 명제 캘커리에 대한 연구가 있었다. 논리 행렬은 어떤 추상적 알헤브라가므로, 이것은 논리에 대수법을 사용하게 되었다."^[15]

브래디(2000년)는 대수적 논리와 모델 이론 사이의 풍부한 역사적 연관성을 논한다. 모델 이론의 창시자인 에른스트 슈뢰더와 레오폴드 로웬하임은 대수학 전통의 논리학자였다. 현대 수학 논리의 주요 분과로서 세트 이론 모델 이론의 창시자인 알프레드 타르스키도 다음과 같이 말했다.

• 알제브라와의^[8] 관계에서 시작된 추상 대수 논리
• 발명된 원통형 대수학
• 공동발견된 린덴바움-타르스키 대수학.

관계 미적분학의 실천에서 자크 리구엣은 유용한 개념을 진전시키기 위해 대수적 논리를 사용했다: 그는 이질적 개념을 가진 이질적 관계(set)의 개념을 이질적 개념으로 확장시켰다. 리구엣은 또한 계단 논리 매트릭스에도 역시 계단이 되는 보완이 있고, N. M. 페러러스의 정리는 계단의 전치 해석에서 따른다는 그의 메모에 의해 이질적인 문맥까지 순서를 연장했다. 리구엣은 논리 벡터의 외부 산출물을 취함으로써 직사각형 관계를 생성했다. 이는 형식 개념 분석의 비대칭 직사각형에 기여한다.

라이프니츠는 파킨슨과 롬커 번역 이전에 그의 논리적인 저술은 거의 연구되지 않았기 때문에 대수적 논리의 상승에 아무런 영향을 미치지 않았다. 라이브니즈를 논리학자로 현재 우리가 이해하고 있는 것은 주로 렌젠(2004)에 요약된 볼프강 렌젠의 작품에서 비롯된다. 오늘날 논리학과 형이상학에서 어떻게 하면 라이프니츠의 사상이 영감을 끌어내고 빛을 발할 수 있는지 알아보려면 잘타(2000년)를 보라.

참고 항목

• 부울 대수
• Codd의 정리
• 컴퓨터 대수
• 유니버설 대수학

참조

원천

• Brady, Geraldine (2000). From Peirce to Skolem: A Neglected Chapter in the History of Logic. Amsterdam, Netherlands: North-Holland/Elsevier Science BV. Archived from the original on 2009-04-02. Retrieved 2009-05-15.
• Czelakowski, Janusz (2003). "Review: Algebraic Methods in Philosophical Logic by J. Michael Dunn and Gary M. Hardegree". The Bulletin of Symbolic Logic. Association for Symbolic Logic, Cambridge University Press. 9. ISSN 1079-8986. JSTOR 3094793.
• Lenzen, Wolfgang, 2004, "Leibniz’s Logic" in Gabbay, D., and Woods, J., eds., Handbook of the History of Logic, Vol. 3: The Rise of Modern Logic from Leibniz to Frege. North-Holland: 1-84.
• Loemker, Leroy (1969) [First edition 1956], Leibniz: Philosophical Papers and Letters (2nd ed.), Reidel.
• Parkinson, G.H.R (1966). Leibniz: Logical Papers. Oxford University Press.
• Zalta, E. N., 2000, "A (Leibnizian) Theory of Concepts," Philosophiegeschichte und logische Analyse / Logical Analysis and History of Philosophy 3: 137-183.

추가 읽기

• J. Michael Dunn; Gary M. Hardegree (2001). Algebraic Methods in Philosophical Logic. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-853192-0. 비분류적 논리학에 대한 사전 노출이 있지만 순서 이론 및/또는 보편적 대수학에서 많은 배경이 없는 독자들을 위한 좋은 소개. 이 책은 이러한 전제조건들을 상세히 다루고 있다. 그러나 이 책은 AAL 결과의 불충분하고 때로는 부정확한 제시로 비판을 받아왔다. 야누스 Czelakowski의 리뷰
• Hajnal Andréka, István Németi and Ildikó Sain (2001). "Algebraic logic". In Dov M. Gabbay, Franz Guenthner (ed.). Handbook of Philosophical Logic, vol 2 (2nd ed.). Springer. ISBN 978-0-7923-7126-7. 징병하다.
• Ramon Jansana(2011), "제안 결과 관계와 대수 논리". 스탠포드 철학 백과사전 주로 추상 대수 논리학에 관한 것이다.
• 스탠리 버리스(2015년), "논리의 전통의 대수학" 스탠포드 철학 백과사전
• 1976년 윌러드 콰인, 하버드 대학 출판부의 <역설의 방법> 283~307쪽 분량의 "알제브라틱 로직과 술어"

역사적 관점

• 2000년 이보르 그라탄가인니스 수학적 뿌리를 찾아라. 프린스턴 대학 출판부.
• 어빙 아넬리스 & N. 하우저(1991) "대수논리와 보편대수의 19세기적 뿌리", 대수논리 1~36쪽, 콜로키아 수학자 야노스 볼랴이 #54, 야노스 볼랴이 수학회 & 기타비어 ISBN 044485394

외부 링크

• 필페이퍼의 대수 논리학