S5(모달 로직)

논리학과 철학에서, S5는 클라렌스 어빙 루이스와 쿠퍼 해롤드 랭포드가 1932년 그들의 책 심볼 논리학에서 제안한 5가지 모달 논리 체계 중 하나이다.이것은 일반적인 모달 논리이며, 가장 오래된 모달 논리 시스템 중 하나입니다. $이것$ 은 명제 미적분 공식과 반복법, 치환과 모더스 포넨을 갖는 추론 장치로 형성되지만, 반드시 모달 연산자 $◻$ ${\$ $displaystyle$ \Box $}$ 와 $\Box$ 그 쌍대 ${\$ {\ $displaystyle$ \ $Diamond$ ^[1]^[2]로 구문을 확장한다.

S5의 원리

다음은 모달 연산자 $\Box$ {\ $displaystyle \Box}("$ 필요하게") 및 ${\$ {\ $displaystyle \Diamond}("$ 필요하게")를 사용합니다.

S5의 특징은 다음과 같습니다.

K: $\Box (A\to B)\to (\Box A\to \Box B)$ ( $\Box (A\to B)\to (\Box A\to \Box B)$ $\Box (A\to B)\to (\Box A\to \Box B)$ ) $\Box (A\to B)\to (\Box A\to \Box B)$ ( $\Box (A\to B)\to (\Box A\to \Box B)$ →◻ $\Box (A\to B)\to (\Box A\to \Box B)$ ) { $displaystyle \Box (A\to$ B $)\to (\Box$ A $\to$ \ $B$ ;
T: $\Box A\to A$ $\Box A\to A$ $\Box A\to A$ ${\displaystyle$ \ $Box$ A\ $to$ A $\Box A\to A$

다음 중 하나를 선택합니다.

5: $\Diamond A\to \Box \Diamond A$ $\Diamond A\to \Box \Diamond A$ →◻ $\Diamond A\to \Box \Diamond A$ A \ $displaystyle$ \ $Diamond$ A \ $to \ Box$ \ $Diamond$ A $\Diamond A\to \Box \Diamond A$ ;
또는 다음 중 하나.

4: $\Box A\to \Box \Box A$ $\Box A\to \Box \Box A$ →◻◻ $\Box A\to \Box \Box A$ {\ $displaystyle$ \ $Box A\to \Box$ A $\Box A\to \Box \Box A$ 및
$A\to \Box \Diamond A$ : A →◻ $A\to \Box \Diamond A$ A \ $displaystyle A$ \ $to$ \ $Box$ \ $Diamond$ A $A\to \Box \Diamond A$

(5)의 공리는 Kripke 프레임의 $접근성$ 관계R $(wRv\land wRu)\implies vRu$ R $)$ 을 $R$ 유클리드(\ $displaystyle$ ( $wRv\$ land $wRu)\implies vRu$ 로 제한합니다.

크립케 의미론

크립케 의미론 측면에서 S5는 접근성 관계가 등가 관계인 모델에 의해 특징지어진다. 즉, 반사적, 전이적, 대칭적이다.

S5 공식의 만족도를 결정하는 것은 NP-완전 문제입니다.S5는 명제 논리를 포함하므로 경도 증명은 사소한 것이다.구성원은 만족할 수 있는 공식은 공식의 크기에서 세계의 수가 최대로 선형인 크립케 모델을 가지고 있다는 것을 보여줌으로써 증명된다.

적용들

S5는 다른 종류의 한정자의 불필요한 반복을 회피하기 때문에 편리하다.예를 들어 S5에서 X가 필연적으로 참일 경우 X가 참일 수 있습니다.S5에서 최종 "가능" 전에 굵은 글씨로 표시되지 않은 한정자를 제거한다.이것은 명제를 상당히 짧게 유지하는 데 유용하지만, S5에 따르면, 가능한 한 필요한 것이 있다면, 그것이 필요하다는 점에서 반직관적으로 보일 수도 있다.

Alvin Plantinga는 S5의 이러한 특징이 사실 직관에 반하지 않는다고 주장했습니다.그는 X가 가능한 한 필요하다면 적어도 하나의 가능한 세계에서는 필요하다고 추론한다. 따라서 X는 모든 가능한 세계에서도 필요하고, 따라서 모든 가능한 세계에서도 마찬가지이다.그러한 추론은 존재론적 주장의 '모달' 공식의 기초가 된다.

S5는 부가사 $\Diamond \dashv \Box$ $◻$ { $displaystyle$ \ $Diamond$ \ $diamond v$ \ $Box$ $\Diamond \dashv \Box$ 와 같습니다.

라이프니츠는 이 공리를 사용하여 신의 존재에 대한 존재론적 주장을 제안했다."필요한 존재가 가능하다면, 그것은 실제로 존재하는 것이다."^[4]라고 그는 말한다.

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

^ Cellas, B. F. (1980) 모달 로직: 개요케임브리지 대학 출판부 ISBN 0-521-22476-4
^ Hughes, G. E., and Cresswell, M. J. (1996) 모달 로직의 새로운 입문.루트리지ISBN 0-415-12599-5
^ "Steve Awodey. Category Theory. Chapter 10. Monads. 10.4 Comonads and Coalgebras" (PDF).
^ Look, Brandon C. (2020), Zalta, Edward N. (ed.), "Gottfried Wilhelm Leibniz", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Spring 2020 ed.), Metaphysics Research Lab, Stanford University, retrieved 2022-06-03

외부 링크

http://home.utah.edu/~nahaj/logic/recures/systems/s5.199
스탠퍼드 철학 백과사전의 모달 논리학

[1] Cellas, B. F. (1980) 모달 로직: 개요케임브리지 대학 출판부 ISBN 0-521-22476-4

[2] Hughes, G. E., and Cresswell, M. J. (1996) 모달 로직의 새로운 입문.루트리지ISBN 0-415-12599-5

[3] "Steve Awodey. Category Theory. Chapter 10. Monads. 10.4 Comonads and Coalgebras" (PDF).

[4] Look, Brandon C. (2020), Zalta, Edward N. (ed.), "Gottfried Wilhelm Leibniz", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Spring 2020 ed.), Metaphysics Research Lab, Stanford University, retrieved 2022-06-03

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