추상 대수 논리학

Abstract algebraic logic

수학적 논리학에서 추상 대수논리는 잘 알려진 린덴바움-의 추상화로 발생하는 연역계통의 대수화를 연구하는 학문이다.타르스키 대수학, 그리고 결과 알제브라가 논리 체계와 어떻게 관련되어 있는지.[1]

역사

대수적 논리의 역사적 기원에 대한 한 가지 기본이고 그 후에 발전된 모든 하위 이론의 핵심에 놓여 있는 이런 종류의 고고학회는 부울 알헤브라와 고전 명제 미적분학 사이의 연관성이다.이 협회는 1850년대에 조지 불(George Boole)에 의해 발견되었고, 그 후 다른 사람들, 특히 C. S. Peirce와 Ernst Schröder에 의해 1870년대부터 1890년대까지 더욱 발전하고 다듬어졌다.이 작품은 린덴바움에서 절정을 이루었다.타르스키 알헤브라는 1930년대에 알프레드 타르스키와 그의 제자 아돌프 린덴바움이 고안했다.후에 타르스키와 그의 미국인 제자들(돈 피고찌를 포함한 계급)은 계속해서 모든 고전적인 1차 논리학을 대수화하는 원통형 대수학을 발견했고, 그들의 모델에는 잘 알려진 자명적인 집합 이론이 모두 포함되어 있는 관계 대수학을 부활시켰다.

1960년경까지 모든 작업을 대수 논리학으로 구성하는 고전적 대수학 논리는 특정한 논리적 조사에 특별히 관심이 있는 특정한 논리 체계를 "알제브라를 "알제"하는 데 사용되는 특정 계층의 특성을 연구했다.일반적으로 논리 시스템과 관련된 대수학은 격자의 일종으로 격자보완 이외의 하나 이상의 단항연산을 통해 농축될 가능성이 있는 것으로 밝혀졌다.

추상 대수 논리학은 1950년대와 60년대에 폴란드에서 헬레나 라시와와, 로만 시코르스키, 예지 브와우치, 로만 수스코(이름을 제외하고는)의 작품으로 등장한 대수 논리학의 현대적인 하위 영역이다.1980년대 폴란드 논리학자 야누스 크젤라코프스키, 네덜란드 논리학자 빔 블로크, 미국 논리학자 돈 피고찌의 세미날짜 출판으로 성숙기에 이르렀다.추상 대수 논리학의 초점은 특정 논리 체계와 연관된 알헤브라의 특정 계층에 대한 연구(고전 대수학 논리의 초점)에서 다음과 같은 연구로 이동했다.

  1. 구성원이 모두 특정 추상적 논리적 속성을 만족하는 논리적 시스템의 클래스와 연관된 알헤브라의 클래스.
  2. 알헤브라의 한 부류가 주어진 논리 시스템의 "알제브라의 상대"가 되는 과정
  3. 논리적 시스템의 한 부류에 의해 충족되는 금속학적 특성과 그들의 대수적 상대에 의해 충족되는 해당 대수적 특성 사이의 관계.

고전 대수 논리로부터 추상 대수 논리까지의 구절은 "현대" 또는 추상 대수(즉, 그룹, 고리, 모듈, 필드 등의 연구)에서 유니버설 대수(특정 추상적 특성을 만족하는 임의 유사성 유형의 알헤브라의 종류(알제브라인의 서명)에 대한 연구)에 이르는 구절과 비교해도 좋다.

추상 대수 논리학의 발전을 위한 두 가지 주요 동기는 위의 (1)과 (3)과 밀접하게 연결되어 있다.(1)에 관해서, 전환의 중요한 단계는 라시와와(Rasiowa)의 작업에 의해 개시되었다.그녀의 목표는 고전적인 명제 미적분학 및 부울 알헤브라와 다른 밀접하게 연관된 논리 시스템들을 위해 보유하는 것으로 알려진 결과와 방법들을 추상화하는 것이었다. 그래서 이러한 결과와 방법들이 훨씬 더 다양한 명제 로직들에 적용될 수 있었다.

(3) 고전 명제 미적분과 1차 논리학의 잘 알려진 추론 정리가 매우 다양한 논리 체계에서 차지하는 다양한 형태를 탐구하는 블로크와 피고치의 공동 작업 덕분이다.그들은 이러한 다양한 형태의 공제 정리를 이러한 논리 시스템의 대수적 상대들의 속성과 연관시켰다.

추상 대수 논리학은 많은 깊고 흥미로운 결과를 가지고 있는, 대수 논리학의 잘 확립된 하위 분야가 되었다.이러한 결과는 이전에 사례별로만 설명되거나 미스터리에 싸여 있는 논리 시스템의 서로 다른 등급의 많은 속성을 설명한다.아마도 추상 대수적 논리의 가장 중요한 성과는 추상 대수적 계층구조 또는 라이프니즈 계층구조라고 불리는 계층구조에서 명제적 로직의 분류였을 것이며, 다른 수준들은 대략적으로 특정 수준의 논리와 그와 연관된 알헤브라의 계층 사이의 연관성의 강도를 반영하고 있다.이 계층 구조에서 논리의 위치는 알려진 대수적 방법과 기법을 사용하여 논리가 연구될 수 있는 범위를 결정한다.일단 논리가 이 계층의 수준에 할당되면, 사람들은 동일한 계층의 레벨에 위치한 알헤브라를 지배하면서 지난 30여 년 동안 축적된 강력한 결과의 무기에 의존할 수 있다.

'일반 대수 논리'와 '범용 대수 논리'라는 유사한 용어는 하지날 안드레카, 이스탄 네메티 등을 포함한 헝가리 학파의 접근을 가리킨다.

예

논리 체계 대수상호작용
명제 논리학 부울 알헤브라스
직관적 명제 논리학 헤잉 알헤브라스
제안형 모달 논리학 연산자가 있는 부울 알헤브라스
모달 알헤브라스
1차 논리 원통형 알헤브라스
폴리아디치 대수
술어 펑터 논리
세트 이론 결합 논리학
관계 대수
부울 대수

참고 항목

메모들

  1. ^ 글꼴, 2003.

참조

  • 블록, W, 피고찌, D, 1989년대수적 논리학.AMS의 회고록, 77년(396년)Pigozzi의 홈페이지에서도 다운로드 가능
  • 2001년, Czelakowski, J.프로토알지브라질 로직스클루워. ISBN0-7923-6940-8.수학적 검토에 의한 "추상 대수 논리 영역에 대한 우수하고 읽기 쉬운 도입"으로 간주된다.
  • Czelakowski, J. (편집자), 2018년, 추상 대수 논리학, 유니버설 대수학, 컴퓨터 과학에 관한 돈 피고찌, 논리 볼륨 16에 대한 뛰어난 공헌, 스프링거 국제 출판, ISBN 978-3-19-74772-9
  • 글꼴, J. M. 2003.일부 다중값 로직의 추상 대수 논리 보기.M. Fitting & E. Orlowska (eds.)에서 두 가지 이상: 다중값 논리의 이론과 적용, Springer-Verlag, 페이지 25–57.
  • 글꼴, J. M, Jansana, R., 1996.Sentential Logics에 대한 일반 대수 의미론.Logic 7의 강의 노트, Springer-Verlag. (2009년 ASL에서 발행한 제2판) 프로젝트 유클리드에서도 개방 접속 가능
  • -------, 그리고 피고찌, D, 2003년 추상 대수 논리학 조사, Studia Logica 74: 13-79.
  • Ryszard Wójcicki (1988). Theory of logical calculi: basic theory of consequence operations. Springer. ISBN 978-90-277-2785-5.
  • 안드레카, H, 네메티, I.일반 대수 논리학: "논리란 무엇인가"에 대한 관점, D.Gabbay (ed.): 논리 시스템이란 무엇인가?, Clarendon Press, 1994, 페이지 485–569.
  • D. Pigozzi (2001). "Abstract algebraic logic". In M. Hazewinkel (ed.). Encyclopaedia of Mathematics: Supplement Volume III. Springer. pp. 2–13. ISBN 1-4020-0198-3. 에 온라인으로.

외부 링크