순서-4 육각형 타일링 벌집

순서-4 육각형 타일링 벌집
투시 투영 뷰 푸앵카레 디스크 모델 내에서
유형	쌍곡선 정규 벌집 파라콤팩트 균일 벌집
슐레플리 기호	{6,3,4} {6,3^1,1} t_0,1{{3,6)}²
콕시터 도표	↔ ↔ ↔
세포	{6,3}
얼굴	육각형 {6}
에지 피겨	정사각형 {4}
정점수	팔면체
이중	오더-6입방 벌집
콕시터 그룹	${\overline {BV}}_{3}$ ${\overline {BV}}_{3}$ 3 ${\$ [4,3,6] ${\overline {DV}}_{3}$ ${\overline {DV}}_{3}$ 3 ${\$ [6,3^1,1] ${\widehat {VV}}_{3}$ ${\widehat {VV}}_{3}$ ${\widehat {VV}}_{3}$ ${\widehat {VV}}_{3}$ ${\$ [(6,3)]^[2]
특성.	정규, 준정형

쌍곡 기하학 분야에서 순서 4 육각형 타일링 벌집합은 3차원 쌍곡선 공간에 있는 11개의 정규 파라콤팩트 벌집 중 하나로 발생한다.무한한 수의 얼굴로 구성된 세포가 있기 때문에 파라콤팩트다.각 세포는 정점이 호르스피어에 놓여 있는 육각형 타일링으로, 무한대의 단일 이상점에 접근하는 쌍곡선 공간의 평평한 평면이다.

기하학적 벌집이란 다면체나 고차원적 세포의 공간을 채워서 틈이 생기지 않도록 하는 것이다.그것은 어떤 차원에서도 보다 일반적인 수학적 타일링 또는 테셀레이션의 예다.

허니컴은 보통 볼록한 균일한 허니컴과 같은 일반적인 유클리드("평평평한") 공간에서 만들어진다.그것들은 쌍곡선 균일 벌집과 같은 비유클리드 공간에도 건설될 수 있다.어떤 유한 균일 폴리토프는 구면 공간에 균일한 벌집을 형성하기 위해 그것의 원주에 투영될 수 있다.

순서 4 육각 타일링 벌집의 슐래플리 기호는 {6,3,4}이다. 육각 타일링의 기호는 {6,3}이므로 이 벌집에는 각 가장자리에서 만나는 4개의 육각 틸링이 있다.팔면체의 슐라펠리 기호는 {3,4}이므로 이 벌집의 꼭지점은 팔면체다.따라서 이 벌집의 각 꼭지점에서 8개의 육각형 기울기가 만나고, 각 꼭지점에서 만나는 6개의 가장자리가 세 개의 직교축을 따라 놓여 있다.^[1]

이미지들

투시 투영	푸앵카레 구 밖에서 바라본 하나의 세포
t{{,3}}}의 정점들은 이 벌집 안에 2-하이퍼 사이클로 존재한다.	벌집은 호더-4² 아페이로겐 타일링, {196,4}과(와) 유사하며, 여기에 보이는 것과 같은 녹색 아페이로겐 1개가 호로사이클에 의해 윤곽을 드러내고 있다.

대칭

부분군 관계

순서 4 육각 타일링 벌집에는 3개의 반사 심플렉스 대칭 구조가 있다.

반대칭 균일구조 {6,3^1,1}에는 콕시터 다이어그램 £와 함께 2종류(색상)의 육각 틸팅이 있다. 쿼터 대칭 구조도 있으며, 육각 틸팅의 네 가지 색상이 있다.

비단순적 기본 도메인인 [6,3^*,4], 색인 6, Coxeter 다이어그램이 있는 [6,3,4], 그리고 [6,(3,4)],^* 즉 색인 48이 있는 반사 대칭이 추가로 존재한다.후자는 세제곱 기본 도메인과 세 개의 축 무한 분기가 있는 팔면형 Coxeter 도표를 가지고 있다.벌집의 육각 기울기를 8가지 색상으로 색칠하는 것으로 볼 수 있다.

order-4 육각형 타일링 벌집에는 2-하이퍼사이클 표면을 타일로 처리하고 잘린 무한 순서 삼각 타일링과 유사하게 다음과 같은 내용이 포함되어 있다.

관련 폴리탑 및 허니컴

order-4 육각형 타일링 벌집은 3공간에 있는 일반 쌍곡 벌집이며, 파라콤팩트 11개 중 하나이다.

11개의 파라콤팩트 일반 꿀벌집
{6,3,3}	{6,3,4}	{6,3,5}	{6,3,6}	{4,4,3}	{4,4,4}
{3,3,6}	{4,3,6}	{5,3,6}	{3,6,3}	{3,4,4}

[6,3,4] Coxeter 그룹 계열에는 15개의 균일한 벌집이 있는데, 여기에는 이 정규 형태와 그 이중인 순서 6입방 벌집이 포함된다.

order-4 육각형 타일링 벌집에는 삼각 타일링과 팔면체 세포가 있는 관련 대체 벌집, £가 있다.

{6,3,p} 형식의 정기 벌집 순서의 일부로서, 모두 육각형 타일링 셀로 구성된다.

허니컴 {6,3,p}개 v t
공간	H³
형태	파라콤팩트				비컴팩트
이름	{6,3,3}	{6,3,4}	{6,3,5}	{6,3,6}	{6,3,7}	{6,3,8}	... {6,3,∞}
콕시터
이미지
꼭지점 형상을 나타내다 {3,p}	{3,3}	{3,4}	{3,5}	{3,6}	{3,7}	{3,8}	{3,∞}

이 벌집은 또한 16세포, 입방형 벌집, 순서 4 도두면 벌집과도 관련이 있는데, 모두 팔면 정점 수치를 가지고 있다.

일반 벌꿀컴 {p,3,4}개
공간	S³	E³	H³
형태	유한한	아핀	작은	파라콤팩트	비컴팩트
이름	{3,3,4}	{4,3,4}	{5,3,4}	{6,3,4}	{7,3,4}	{8,3,4}	... {∞,3,4}
이미지
세포	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}

앞서 언급한 허니컴도 퀘이레규어다.

정규 및 Quasiregular 허니컴: {p,3,4} 및 {p,3^1,1}
공간	유클리드 4-공간	유클리드 3-공간	쌍곡선 3-공간
이름	{3,3,4} {3,3^1,1} = $\left\{3,{3 \atop 3}\right\}$ { $\left\{3,{3 \atop 3}\right\}$ , $\left\{3,{3 \atop 3}\right\}$ $\left\{3,{3 \atop 3}\right\}$ ${\$ 3 $}\right\}}}}$	{4,3,4} {4,3^1,1} = $\left\{4,{3 \atop 3}\right\}$ { $\left\{4,{3 \atop 3}\right\}$ , $\left\{4,{3 \atop 3}\right\}$ $\left\{4,{3 \atop 3}\right\}$ ${\$ 3 $}\right\}}}$	{5,3,4} {5,3^1,1} = $\left\{5,{3 \atop 3}\right\}$ { $\left\{5,{3 \atop 3}\right\}$ , $\left\{5,{3 \atop 3}\right\}$ $\left\{5,{3 \atop 3}\right\}$ ${\$ 3 $}\right\}}}}$	{6,3,4} {6,3^1,1} = $\left\{6,{3 \atop 3}\right\}$ { $\left\{6,{3 \atop 3}\right\}$ , $\left\{6,{3 \atop 3}\right\}$ $\left\{6,{3 \atop 3}\right\}$ $\left\{6,{3 \atop 3}\right\}$ ${\$ 3 $}\right\}}}$
콕시터 도표를 만들다	=	=	=	=
이미지
세포 {p,3}

수정 순서-4 육각 타일링 벌집

수정 순서-4 육각 타일링 벌집
유형	파라콤팩트 균일 벌집
슐레플리 기호	r{6,3,4} 또는 t₁{6,3,4}
콕시터 도표	↔ ↔ ↔
세포	{3,4} r{6,3}
얼굴	삼각형 {3} 육각형 {6}
정점수	사각 프리즘
콕시터 그룹	${\overline {BV}}_{3}$ ${\overline {BV}}_{3}$ 3 ${\$ [4,3,6] ${\overline {BP}}_{3}$ ${\overline {BP}}_{3}$ 3 ${\$ [4,3^[3]] ${\overline {DV}}_{3}$ ${\overline {DV}}_{3}$ 3 ${\$ [6,3^1,1] ${\overline {DP}}_{3}$ ${\overline {DP}}_{3}$ 3 ${\$ [3^[]×[]]
특성.	정점 변환, 에지 변환

수정 순서-4 육각 타일링 벌집, t₁{6,3,4}는 정사각형 프리즘 정점 형상을 가진 팔각형 및 삼각형 타일링 면을 가지고 있다.

이는 2D 쌍곡선 4각형 타일링, r{{196,4}과 유사하며, 이는 양각면과 사각면이 번갈아 나타난다.

잘린 순서-4 육각형 타일링 벌집

잘린 순서-4 육각형 타일링 벌집
유형	파라콤팩트 균일 벌집
슐레플리 기호	t{6,3,4} 또는 t_0,1{6,3,4}
콕시터 다이어그램	↔
세포	{3,4} t{6,3}
얼굴	삼각형 {3} 도데카곤 {12}
정점수	사각 피라미드
콕시터 그룹	${\overline {BV}}_{3}$ ${\overline {BV}}_{3}$ 3 ${\$ [4,3,6] ${\overline {DV}}_{3}$ ${\overline {DV}}_{3}$ 3 ${\$ [6,3^1,1]
특성.	정점 변환

잘린 순서-4 육각형 타일링 벌집, t_0,1{6,3,4}은 팔면체와 잘린 육각 타일링 면에 사각 피라미드 정점 모양을 하고 있다.

이는 2D 쌍곡선 절단 순서-4 apirogonal tiling, t{piogonal,4}와 유사하며, apirogonal 및 squareface:

비트런드 오더-4 육각형 타일링 벌집

비트런드 오더-4 육각형 타일링 벌집
유형	파라콤팩트 균일 벌집
슐레플리 기호	2t{6,3,4} 또는 t_1,2{6,3,4}
콕시터 다이어그램	↔ ↔ ↔
세포	t{4,3} t{3,6}
얼굴	정사각형 {4} 육각형 {6}
정점수	디지탈 디스페노이드
콕시터 그룹	${\overline {BV}}_{3}$ ${\overline {BV}}_{3}$ 3 ${\$ [4,3,6] ${\overline {BP}}_{3}$ ${\overline {BP}}_{3}$ 3 ${\$ [4,3^[3]] ${\overline {DV}}_{3}$ ${\overline {DV}}_{3}$ 3 ${\$ [6,3^1,1] ${\overline {DP}}_{3}$ ${\overline {DP}}_{3}$ 3 ${\$ [3^[]×[]]
특성.	정점 변환

bitrunclated order-4 육각 타일링_1,2 벌집, t{6,3,4}은 팔면체와 육각 타일링 셀이 잘려 있으며, 분해 정점 형상이 있다.

알 수 있는 순서-4 육각형 타일링 벌집

알 수 있는 순서-4 육각형 타일링 벌집
유형	파라콤팩트 균일 벌집
슐레플리 기호	rr{6,3,4} 또는 t_0,2{6,3,4}
콕시터 다이어그램	↔
세포	r{3,4} {}x{4} rr{6,3}
얼굴	삼각형 {3} 정사각형 {4} 육각형 {6}
정점수	쐐기를 박다
콕시터 그룹	${\overline {BV}}_{3}$ ${\overline {BV}}_{3}$ 3 ${\$ [4,3,6] ${\overline {DV}}_{3}$ ${\overline {DV}}_{3}$ 3 ${\$ [6,3^1,1]
특성.	정점 변환

쐐기정점자형 4개의 육각형 타일링 벌집, t_0,2{6,3,4}에는 큐빅타헤드론, 큐브, 쐐기정점형 타일링 셀이 있다.

캔트런커트 오더-4 육각형 타일링 벌집

캔트런커트 오더-4 육각형 타일링 벌집
유형	파라콤팩트 균일 벌집
슐레플리 기호	tr{6,3,4} 또는 t_0,1,2{6,3,4}
콕시터 다이어그램	↔
세포	t{3,4} {}x{4} tr{6,3}
얼굴	정사각형 {4} 육각형 {6} 도데카곤 {12}
정점수	거울에 비친 스페노이드
콕시터 그룹	${\overline {BV}}_{3}$ ${\overline {BV}}_{3}$ 3 ${\$ [4,3,6] ${\overline {DV}}_{3}$ ${\overline {DV}}_{3}$ 3 ${\$ [6,3^1,1]
특성.	정점 변환

칸티트런으로 절단된 순서-4 육각형 타일링 벌집, t_0,1,2{6,3,4}은 8각형 타일링 셀, 입방체 및 잘린 3각 타일링 셀을 가지고 있으며, 미러링된 스페노이드 정점 형상을 가지고 있다.

런케이티드 오더-4 육각형 타일링 벌집

런케이티드 오더-4 육각형 타일링 벌집
유형	파라콤팩트 균일 벌집
슐레플리 기호	t_0,3{6,3,4}
콕시터 다이어그램	↔
세포	{4,3} {}x{4} {6,3} {}x{6}
얼굴	정사각형 {4} 육각형 {6}
정점수	불규칙한 삼각 항정신병
콕시터 그룹	${\overline {BV}}_{3}$ ${\overline {BV}}_{3}$ 3 ${\$ [4,3,6]
특성.	정점 변환

런케이트 오더-4 육각형 타일링 벌집_0,3, t{6,3,4}}에는 큐브, 육각 타일링, 육각 프리즘 셀이 있으며, 불규칙한 삼각 항정신병 정점 형상이 있다.

여기에는 사각형 및 육각형 면의 2D 쌍곡선 회전각 타일링, rr{4,6}이(가) 포함되어 있다.타일링은 또한 절반의 대칭 구조를 가지고 있다.

	=

런시티런티드 오더-4 육각형 타일링 벌집

런시티런티드 오더-4 육각형 타일링 벌집
유형	파라콤팩트 균일 벌집
슐레플리 기호	t_0,1,3{6,3,4}
콕시터 다이어그램
세포	rr{3,4} {}x{4} {}x{12} t{6,3}
얼굴	삼각형 {3} 정사각형 {4} 도데카곤 {12}
정점수	이소체-트라페지오이드의 피라미드를 짓다
콕시터 그룹	${\overline {BV}}_{3}$ ${\overline {BV}}_{3}$ 3 ${\$ [4,3,6]
특성.	정점 변환

런시트가 잘린 순서-4 육각형 타일링 벌집, t_0,1,3{6,3,4}은(는) 롬비쿠보옥타헤드론, 큐브, 도십각 프리즘 및 잘린 육각 타일링 셀을 가지고 있으며, 이소체-트라페조이드 피라미드 꼭지 형상을 가지고 있다.

런시컨텔링 오더-4 육각형 타일링 벌집

런시컨텔링 오더-4 육각형 타일링 벌집합은 런시터드 6입방 벌집합과 동일하다.

잡동사니발주 순서-4 육각형 타일링 벌집

잡동사니발주 순서-4 육각형 타일링 벌집
유형	파라콤팩트 균일 벌집
슐레플리 기호	t_0,1,2,3{6,3,4}
콕시터 다이어그램
세포	tr{4,3} tr{6,3} {}x{12} {}x{8}
얼굴	정사각형 {4} 육각형 {6} 팔각형 {8} 도데카곤 {12}
정점수	불규칙 사면체
콕시터 그룹	${\overline {BV}}_{3}$ ${\overline {BV}}_{3}$ 3 ${\$ [4,3,6]
특성.	정점 변환

allitrunculared order-4 육각형 타일링 벌집, t_0,1,2,3{6,3,4}}은 자른 사각형 타일링, 잘린 삼각형 타일링, 도십각형 프리즘, 팔각 프리즘 셀을 가지며, 불규칙한 사면체 정점 형상을 가지고 있다.

교대 순서-4 육각 타일링 벌집

교대 순서-4 육각 타일링 벌집
유형	파라콤팩트 균일 벌집 반정형 벌집
슐레플리 기호	h{6,3,4}
콕시터 도표	↔
세포	{3^[3]} {3,4}
얼굴	삼각형 {3}
정점수	잘린 팔면체
콕시터 그룹	${\overline {BP}}_{3}$ ${\overline {BP}}_{3}$ 3 ${\$ [4,3^[3]]
특성.	정점 변환, 에지 변환, 정점 변환

교번 순서-4 육각 타일링 벌집, 파운드 는 잘린 팔면 정점 모양으로 삼각 타일링과 팔면체 세포로 구성되어 있다.

캔틱 순서-4 육각 타일링 벌집

캔틱 순서-4 육각 타일링 벌집
유형	파라콤팩트 균일 벌집
슐레플리 기호	h₂{6,3,4}
콕시터 도표	↔
세포	h₂{6,3} t{3,4} r{3,4}
얼굴	삼각형 {3} 정사각형 {4} 육각형 {6}
정점수	쐐기를 박다
콕시터 그룹	${\overline {BP}}_{3}$ ${\overline {BP}}_{3}$ 3 ${\$ [4,3^[3]]
특성.	정점 변환

통조림 순서-4 육각형 타일링 벌집, 파운드 는 3헥각형 타일링, 잘린 옥타헤드론, 큐옥타헤드론 세포로 구성되어 있으며, 쐐기 꼭지점이 있다.

런치 오더-4 육각형 타일링 벌집

런치 오더-4 육각형 타일링 벌집
유형	파라콤팩트 균일 벌집
슐레플리 기호	h₃{6,3,4}
콕시터 도표	↔
세포	{3^[3]} rr{3,4} {4,3} {}x{3}
얼굴	삼각형 {3} 정사각형 {4}
정점수	삼각 큐폴라
콕시터 그룹	${\overline {BP}}_{3}$ ${\overline {BP}}_{3}$ 3 ${\$ [4,3^[3]]
특성.	정점 변환

런치 오더-4 육각형 타일링 벌집, 파운드 는 삼각 타일링, 롬비큐옥타헤드론, 큐브, 삼각 프리즘 셀로 구성되어 있으며, 삼각 큐폴라 정점 모양을 하고 있다.

런시칸틱 오더-4 육각형 타일링 벌집

런시칸틱 오더-4 육각형 타일링 벌집
유형	파라콤팩트 균일 벌집
슐레플리 기호	h_2,3{6,3,4}
콕시터 도표	↔
세포	h₂{6,3} tr{3,4} t{4,3} {}x{3}
얼굴	삼각형 {3} 정사각형 {4} 육각형 {6} 팔각형 {8}
정점수	직사각형의 피라미드를 짓다
콕시터 그룹	${\overline {BP}}_{3}$ ${\overline {BP}}_{3}$ 3 ${\$ [4,3^[3]]
특성.	정점 변환

런시코믹 오더-4 육각 타일링 벌집, 파운드 는 3헥각형 타일링, 잘린 큐빅, 잘린 큐브, 삼각 프리즘 셀로 구성되어 있으며, 직사각형의 피라미드 꼭지점 형상을 가지고 있다.

쿼터 순서-4 육각형 타일링 벌집

쿼터 순서-4 육각형 타일링 벌집
유형	파라콤팩트 균일 벌집
슐레플리 기호	q{6,3,4}
콕시터 다이어그램	↔
세포	{3^[3]} {3,3} t{3,3} h₂{6,3}
얼굴	삼각형 {3} 육각형 {6}
정점수	삼각 큐폴라
콕시터 그룹	${\overline {DP}}_{3}$ ${\overline {DP}}_{3}$ 3 ${\$ [3^[]x[]]
특성.	정점 변환

쿼터 순서-4 육각형 타일링 벌집, q{6,3,4} 또는 는 삼각 타일링, 삼각형 타일링, 사면체 및 잘린 사면체 세포로 구성되며, 삼각 큐폴라 정점 형상이 있다.

참고 항목

참조

^ 콕시터 기하학의 아름다움, 1999, 10장 표 III

Coxeter, 일반 폴리토페즈, 3번째, Dover Publishments, 1973. ISBN0-486-61480-8. (테이블 I 및 II: 일반 폴리탑 및 허니컴, 페이지 294–296)
기하학의 아름다움: 12개의 에세이(1999), 도버 출판물, LCCN 99-35678, ISBN 0-486-40919-8 (10장, 쌍곡 공간의 일반 허니컴) 표 III
제프리 R. Weeks The Shape of Space, 제2판 ISBN 0-8247-0709-5 (16-17장: 3-manifolds I,II)
노먼 존슨유니폼 폴리토페스, 원고
- N.W. 존슨:균일다각체와 허니컴의 이론, 박사학위.1966년 토론토 대학교의 논문
- N.W. 존슨: 기하학과 변환, (2018) 13장: 쌍곡선 콕시터 그룹

[1] 콕시터 기하학의 아름다움, 1999, 10장 표 III

[1]

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