정점수

Vertex figure
큐브의 "반쪽 가장자리" 꼭지점 그림

기하학에서 정점 도형은, 넓게 말하면, 다면체나 다면체의 모서리가 잘려나갈 때 노출되는 도형이다.

정의

큐브의 "가장자리" 꼭지점 그림
큐브의 구형 정점 그림
큐브의 점 집합 정점 그림

다면체의 모서리나 꼭지점을 취한다. 연결된 각 가장자리를 따라 어딘가에 점을 표시하십시오. 연결된 면에 선을 긋고 면 주위에 인접한 점을 연결하십시오. 완료되면 이 선들은 정점 주위에 완전한 회로, 즉 다각형을 형성한다. 이 다각형은 꼭지점이다.

좀 더 정확한 공식 정의는 상황에 따라 상당히 광범위하게 달라질 수 있다. 예를 들어, Coxeter (예: 1948, 1954년)는 현재의 논의 영역에 편리하다고 그의 정의를 다양화한다. 다음의 정점 수치의 대부분의 정의는 무한 틸링에 동등하게 적용되거나, 더 나아가 폴리토프 세포와 다른 고차원 폴리토페스로 공간을 채우는 테셀레이션에도 동일하게 적용된다.

평편한 슬라이스로서

정점에 연결된 모든 가장자리를 자르고 다면체의 모서리를 통해 슬라이스를 만든다. 잘린 표면은 꼭지점 그림이다. 이것은 아마도 가장 일반적인 접근법일 것이고, 가장 쉽게 이해될 것이다. 다른 작가들이 다른 장소에서 슬라이스를 만든다. Wenninger(2003)는 Coxeter(1948)와 마찬가지로 각 가장자리를 꼭지점으로부터 단위 거리만큼 절단한다. 균일한 다면체의 경우 도만 루크 구조는 각각의 연결된 가장자리를 중간점에서 절단한다. 다른 작가들은 각 가장자리의 반대쪽 끝에 있는 꼭지점을 통해 절단을 한다.[1][2]

불규칙적인 다면체의 경우, 정점으로부터 동일한 거리에서 주어진 정점에 입사하는 모든 가장자리를 절단하면 평면에 놓여 있지 않은 형상을 만들 수 있다. 임의 볼록 다면체에 유효한 보다 일반적인 접근방식은 주어진 정점을 다른 모든 정점으로부터 분리하는 평면을 따라 절단을 만드는 것이지만, 그렇지 않으면 임의적이다. 이 구조는 연결된 꼭지점 집합(아래 참조)과 유사하지만 정확한 기하학적 구조는 아닌 정점 형상의 결합 구조를 결정하며, 어떤 차원에서도 볼록한 폴리토프로 일반화될 수 있다. 단, 비콘벡스 다면체의 경우, 정점 부근에 입사하는 모든 얼굴을 정점으로 절단하는 평면이 존재하지 않을 수 있다.

구면 다각형으로서

크롬웰(1999)은 다면체와 정점을 중심으로 한 구를 교차시켜 정점 형상을 형성하는데, 이는 가장자리만 교차하고 정점까지 충돌할 정도로 작다. 이것은 정점을 중심으로 구면 절단이나 스쿱을 만드는 것으로 시각화할 수 있다. 따라서 절단 표면 또는 정점 그림은 이 구체에 표시된 구형 다각형이다. 이 방법의 한 가지 장점은 정점 형상의 모양이 고정되어 있는 반면(구체의 눈금까지) 평면과 교차하는 방법은 평면의 각도에 따라 다른 모양을 만들 수 있다는 것이다. 또한 이 방법은 비콘벡스 다면체에도 효과가 있다.

연결된 정점 집합으로

많은 조합 및 계산 접근법(예: 스킬링, 1975년)은 정점 수치를 주어진 정점에 연결된 모든 인접(가장자리를 통해 연결) 정점의 정렬된(또는 부분적으로 정렬된) 점 집합으로 처리한다.

추상적 정의

추상 다상피 이론에서, 주어진 정점 V에서의 정점 수치는 정점에 발생하는 모든 요소, 가장자리, 얼굴 등으로 구성된다. 보다 공식적으로 F가 가장 위대한n 얼굴인 (n-1)-섹션n F/V이다.

이 원소 집합은 다른 곳에서 정점 항성으로 알려져 있다. 기하학적 정점 수치와 정점 별은 동일한 추상 단면의 뚜렷한 실현으로 이해될 수 있다.

일반 속성

n-폴리토프의 꼭지점은 (n-1) 폴리토프다. 예를 들어 다면체의 꼭지점은 다각형이고, 4면체의 꼭지점은 다면형이다.

일반적으로 꼭지점 수치는 평면형이 될 필요가 없다.

비콘벡스 다면체의 경우 정점 수치는 비콘벡스일 수도 있다. 예를 들어, 균일한 폴리탑은 얼굴 및/또는 꼭지점 형상에 대해 별 폴리곤을 가질 수 있다.

등각형수

정점 수치는 한 꼭지점 그림이 전체 폴리토프를 정의할 수 있기 때문에 유니폼과 다른 이등변형(Vertex-transvertive) 폴리토페에 특히 중요하다.

정점이 있는 다면체의 경우 정점 주위에 얼굴을 순서대로 나열하여 정점 구성 표기법으로 정점 수치를 나타낼 수 있다. 예를 들어 3.4.4는 하나의 삼각형과 3개의 정사각형을 가진 정점이며, 균일한 롬비큐옥타헤드론을 정의한다.

폴리토프가 등각인 경우, 꼭지점 수치는 n-공간의 하이퍼플레인 표면에 존재할 것이다.

시공

인접 정점으로부터

이러한 인접 정점의 연결을 고려하여 폴리토프의 각 정점에 대해 정점 수치를 구성할 수 있다.

  • 정점 도형의 각 꼭지점은 원래 폴리토프의 꼭지점과 일치한다.
  • 정점 형상의 각 가장자리는 원래 얼굴에서 두 개의 다른 정점을 연결하는 원래 폴리토프의 면 위 또는 내부에 존재한다.
  • 정점 형상의 각 면은 원래의 n-폴리토프(n > 3)의 셀 위 또는 내부에 존재한다.
  • 더 높은 순서의 폴리토피에 순서가 더 높은 요소까지...

도만 루크 공사

균일한 다면체의 경우, 이중 다면체의 얼굴은 "도먼 루크" 구조를 사용하는 원래의 다면체의 꼭지점에서 찾을 수 있다.

일반 폴리토페스

대 아이코사헤드론의 꼭지점은 정규 펜타그램 또는 별 폴리곤 {5/2}이다.

폴리토프가 규칙적인 경우 슐레플리 기호로 나타낼 수 있으며, 셀과 정점 수치는 이 표기법에서 사소한 방법으로 추출할 수 있다.

일반적으로 Schléfli 기호가 {a,b,c,...,y,z}인 일반 폴리토프는 {a,b,c,...,y}인 세포가 있고, 꼭지점 수치는 {b,c,...,y,z}인 세포가 있다.

  1. 일반 다면체 {p,q}의 경우 정점 수치는 {q}, q-곤입니다.
    • 예: 큐브 {4,3}의 정점 그림은 삼각형 {3}입니다.
  2. 일반 4 폴리토프 또는 공간을 채우는 테셀레이션 {p,q,r}의 경우 꼭지점 수치는 {q,r}이다.
    • 예: 하이퍼큐브 {4,3,3}의 정점 그림은 정규 4면체 {3,3}입니다.
    • 또한 입방형 벌집 {4,3,4}의 정점 수치는 정규 팔면체 {3,4}이다.

일반 폴리토프의 이중 폴리토프도 규칙적이고 슐래플리 기호지수가 역전되어 나타나기 때문에 정점수치의 이중성이 이중 폴리토프의 셀임을 쉽게 알 수 있다. 일반 다면체의 경우 도만 루크 건축의 특별한 경우다.

벌집모양의 꼭지점 그림

잘린 입방체 벌집(벌집)

잘린 입방형 벌집의 꼭지점은 균일하지 않은 사각형 피라미드다. 각 꼭지점마다 8각형 1개와 잘린 4개의 정육면체가 만나 공간을 채우는 테셀레이션을 이룬다.

꼭지점 그림: 균일하지 않은 사각 피라미드 Truncated cubic honeycomb verf.png
슐레겔 도표 		VF-truncated cubic.png
원근법
팔면체에서 정사각형 베이스로 제작 Octahedron vertfig.png
(3.3.3.3)
그리고 잘린 정육면체에서 삼각형 면 4개 Truncated cube vertfig.png
(3.8.8)

에지 피겨

잘린 입방형 벌집에는 두 개의 가장자리 유형이 있는데 하나는 네 개의 잘린 정육면체, 다른 하나는 팔면체, 그리고 두 개의 잘린 정육면체 등이 있다. 이것들은 두 종류의 가장자리 그림으로 볼 수 있다. 이것들은 꼭지점 그림의 정점으로 보인다.

정점 그림과 관련하여 가장자리 그림은 정점 그림의 정점 그림이다.[3] 가장자리 수치는 규칙적이고 균일한 폴리토피 내의 요소들 사이의 관계를 표현하는 데 유용하다.

가장자리 그림은 주어진 가장자리 주위의 면 배치를 나타내는 (n-2) 폴리토프일 것이다. 일반 및 단일 링 콕시터 다이어그램 균일한 폴리토페에는 단일 에지 유형이 있다. 일반적으로, 각 활성 거울은 기본 영역에서 하나의 가장자리를 생성하기 때문에 균일한 폴리토프는 구성에서 활성 미러만큼 많은 가장자리 유형을 가질 수 있다.

일반 폴리에스테르(및 허니컴)는 하나의 가장자리 형상을 가지며, 또한 규칙적이다. 일반 폴리토프 {p,q,r,s,...,z}의 경우 에지 수치는 {r,s,...,z}이다.

4차원에서는 4-폴리토프 또는 3-허니콤의 가장자리 그림은 가장자리 주위에 면 세트를 배열하는 것을 나타내는 다각형이다. 예를 들어 일반 입방형 벌집 {4,3,4}의 가장자리 그림은 사각형이고, 일반 4-폴리토프 {p,q,r}의 경우 폴리곤 {r}이다.

덜 사소한 것은 잘린 입방체 벌집 t0,1{4,3,4}는 정사각형의 피라미드 꼭지점을 가지고 있으며, 잘린 입방체와 팔면체 세포가 있다. 여기 가장자리 그림에는 두 가지 유형이 있다. 하나는 피라미드의 정점에 있는 정사각형의 가장자리 형상이다. 이것은 가장자리 둘레에 있는 네 개의 잘린 정육면체를 나타낸다. 다른 네 개의 가장자리 그림은 피라미드의 꼭지점에 있는 등각 삼각형이다. 이것들은 다른 가장자리 둘레에 잘린 두 개의 정육면체와 한 개의 팔면체의 배열을 나타낸다.

참고 항목

참조

메모들

  1. ^ Coxeter, H. 외 연구진(1954년).
  2. ^ 스킬링, J. (1975)
  3. ^ 클라이칭: 꼭지점 수치 등

참고 문헌 목록

  • H. S. M. Coxeter, 일반 폴리토페스, Hbk(1948), ppbk(1973).
  • H.S.M. Coxeter (et al.), Uniform Polyedra, Phil. Trans. 246 A(1954) 페이지 401~450.
  • P. Cromwell, Polyedra, CUP PBk. (1999년)
  • H.M. Cundy와 A.P. 롤렛, 수학 모델, 옥스포드 유니브. (1961년)을 누른다.
  • J. 스킬링, The Complete Set of Comiform Polyedra, Phil. Trans. 278 A(1975) 페이지 111–135.
  • M. Wenninger, Dual Models, CUP hbk (1983) ppbk (2003)
  • The Symmetries of Things 2008, John H. Conway, Hidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN978-1-56881-220-5(p289 정점 그림)

외부 링크