카라테오도리의 정리(준거 매핑)

수학에서 카라테오도리의 정리(Carathéodory)는 리만 매핑 정리를 확장한 콘스탄틴 카라테오도리의 이름을 딴 복소해석학의 정리이다.1913년에 ^{[citation needed]}처음 증명된 이 정리는 단위 원반을 조던 곡선으로 둘러싸인 복소평면의 영역으로 보내는 등각 매핑이 단위 원에서 조던 곡선으로 동형사상으로 연속적으로 확장된다는 것을 말한다.그 결과 카라테오도리의 프라임 엔드와 일가의 정형함수의 경계 거동에 대한 결과 중 하나이다.

카라테오도리의 정리 증명

여기에 제시된 카라테오도리의 정리에 대한 첫 번째 증거는 가넷과 마샬(2005년, 페이지 14-15년)의 짧은 자기 완결 계정에 대한 요약이다. 폰메렌케(1992년)와 크란츠(2006년)에 관련된 증거가 있다.

카라테오도리의 정리f가 오픈 유닛 디스크 D를 C의 경계 도메인 U에 적합하게 매핑하는 경우, f는 θU가 조던 곡선일 경우에만 클로즈드 유닛 디스크에 대해 일대일 연속 확장을 가진다.

f가 동형사상에 대한 확장을 허용하는 경우, θU는 조던 곡선이어야 한다.

반대로 δU가 조던 곡선일 경우 첫 번째 단계는 f가 D의 폐색까지 연속적으로 연장됨을 증명하는 것이다.실제로 이것은 f가 D에서 균일하게 연속적인 경우에만 유지된다: 이것은 D의 폐쇄에 대한 연속적인 확장이 있는 경우 사실이며, f가 균일하게 연속적인 경우 f가 단위 원에 한계를 가지고 있고 D의 폐쇄에 대한 균일한 연속성을 유지하기 위해 동일한 부등식을 갖는 것을 쉽게 확인할 수 있다.

f가 균일하게 연속적이지 않다고 가정합니다.이 경우 단위원 및 시퀀스_n z에는 f(z) - f(w_n_n) ≥ 2 ≥ 2 f의_n with 경향의 > 0과 점 on이 있어야 한다.이것은 모순으로 이어지기 때문에 f는 균일하게 연속적이어야 하며, 따라서 D의 폐쇄까지 연속적으로 확장되어야 한다.

0 < r < 1에 대하여, θ는_r D 내에 있는 원 z - θ = r의 호에서 주어진 곡선이다.그럼 f ㄹ게요는_r 조던 곡선입니다.길이는 코시-슈바르츠 부등식을 사용하여 추정할 수 있다.

\displaystyle{\ell(f\circ \gamma_{r})=\int_{\gamma_{r}}f^ᆯ(z)),dz \leq \left(\int_{\gamma_{r}}), dz \right)^{1/2}\cdot \left(\int_{\gamma_{r}}f^{\prime}(z)^{2}\,dz \right)^{1/2}\leq(2\pi r)^{1/2}\cdot \left(\int_{){\theta:\zeta +re^{i\theta}<>1\}}f^{\prime}(\zeta +re^{i\theta})^{2}\,r\,d\theta \rig.ht)^{1/2}.}

따라서 "길이 영역 추정"이 있습니다.

\displaystyle \displaystyle {int _{0}^{r}^2}, {dr \over r}\leq 2\pi \int_{2}, dy=2\pi \cdotrm {Area}, f(D)\fty.in.}}

왼쪽의 적분의 정밀도는 0으로 감소하는_n 시퀀스r이 있음을 의미합니다 $\ell (f\circ \gamma _{r_{n}})$ $\ell (f\circ \gamma _{r_{n}})$ 0으로 향하는 $\ell (f\circ \gamma _{r_{n}})$ 경향이 $\ell (f\circ \gamma _{r_{n}})$ .{ $displaystyle \ell ( f$ \ $circ$ \ $gamma$ _ { r _ { $r$ n $\ell (f\circ \gamma _{r_{n}})$ } $\ell (f\circ \gamma _{r_{n}})$ 。그러나 (a, b)의 t에 대한 곡선 g(t)의 길이는 다음과 같이 주어진다.

{\displaystyle\displaystyle\ell(g)=\sup_{a<t_{1}<\cdots<t_{k}<b}\sum_{i=1}^{k-1}g(t_i+1})-g(t_{i}).}}

$\ell (f\circ \gamma _{r_{n}})$ θ ( $\ell (f\circ \gamma _{r_{n}})$ $\ell (f\circ \gamma _{r_{n}})$ $\ell (f\circ \gamma _{r_{n}})$ $r$ $\ell (f\circ \gamma _{r_{n}})$ $){$ $displaystyle$ \ $ell$ $( f$ \ $circ$ \ $gamma$ $\ell (f\circ \gamma _{r_{n}})$ _ { r _ { r _ { $r$ _ { $\ell (f\circ \gamma _{r_{n}})$ n $\ell (f\circ \gamma _{r_{n}})$ $\ell (f\circ \gamma _{r_{n}})$ 의 $\ell (f\circ \gamma _{r_{n}})$ $\ell (f\circ \gamma _{r_{n}})$ 는 곡선의 양끝에 한계점_n a_n, b가 $\ell (f\circ \gamma _{r_{n}})$ , 이 거리도 $마찬가지입니다$ f는 D와 U 사이의 동형사상이고, 따라서 U로 수렴하는 시퀀스는 D로 수렴하는 시퀀스의 f 아래 이미지여야 하기 때문에 이 두 한계점은 δU에 있어야 합니다.동그라미 β와 βU 사이에는 동형성 β가 존재한다고 가정하면 β는 균일하게 연속적이므로⁻¹ βU의 a와_n b에 대응하는_n 두 점 β와_n β_n 사이의 거리는 0이 되어야 한다.따라서 최종적으로 'D접속_n'과_n 'D접속'에서 가장 작은 원호가 정의된다.β 아래에 이 아크의 δ_n 이미지를 나타냅니다.β의 균일한 연속성에 의해 δU 내의 θ의_n 직경은 0이 되는 경향이 있다.①과_n f ②가_{r_n} 함께 단순한 조던 곡선을 이룬다.그것의 내부 모습 U의 ∂U과 ∂Un의 요르단 곡선 정리에 의해:고 연결했지만 ∂U의 정원에 폐점은 열려 있어 다스릴 수 있는 통지 ∂U의 U가 문 안쪽, 이것을 볼 것이다;그래서 ∂U의 외부 지역, 연결되고 따라서 그것의 폐쇄는 exte의 폐쇄에 포함되어 있∂Un 교차하지 않는 끌려가는 사람들이 포함되어 있다.리또는 uU의_n 경우, 보정을 하면 원하는 포함을 얻을 수 있습니다.and과_n f ∘의_{r_n} 지름은 0이 되기 때문에 uU의_n 지름은 0이 되는 경향이 있다.따라서 U의_n 지름은 0인 경향이 있다.( ${\bar {U}}_{n}\times {\bar {U}}_{n}$ ${\bar {U}}_{n}\times {\bar {U}}_{n}$ × ${\bar {U}}_{n}\times {\bar {U}}_{n}$ n ${\bar {U}}_{n}\times {\bar {U}}_{n}$ { $displaystyle { U$ } $_$ { $n$ } \ times { $bar { U$ } $_$ { $n$ } )는 ${\bar {U}}_{n}\times {\bar {U}}_{n}$ ${\bar {U}}_{n}$ 하게 설정되어 있으므로 U ${\bar {U}}_{n}$ n \ $display$ style { $U$ } _ { U $} _$ { $n$ } _ ${\bar {U}}_{n}$ { n } } ） and and and and and and and and and and and and and and and and and and and and and and and and and and and andu와 v는 반드시 )U 내에 있어야 하며 U와 )U $|u-v|$ 의 직경이 동일해야 함을 $|u-v|$ 알 수 있습니다({ $displaystyle u-v$

이제 만약 Vn, rn, 그러면 모든 충분히 큰 nf(Vn)하기 위한 김정은 D의 디스크 z− ζ<>의 교차점을 나타낸다.실제로, 아크 γrn Vn에 지역 Vn′{\displaystyle V_{n}'}보완, 공형 유질 동상. 아래 f∘ γrn은 곡선 f(Vn){\displaystyle f(V_{n})}에 U을 나누f와 보완 r. D을 나누Egion f(Vn′){\displaystyle f(V_{n}')};U의 f∘ γrn 김정은은 연결된 구성 요소),고 둘 다 열려 있고 이번 세트에서 닫혀 연결되므로 Un{\displaystyle U_{n}}어느(Vn){\displaystyle f(V_{n})}또는 f(Vn′){\displaystyle f(V_{n}')}. f(Vn′의 지름 f와 같다. ) 이후 김정은의 직경 0에 n무한대에 간다, 그것은 결국 f(Vn′){\displaystyle f(V_{n}')}과 월의 지름보다 적은 있습니다{\displaystyle f(V_{n}')}n이 높아지면서 n<>;n′{\displaystyle n<, n'}Vn을 내포한다.′⊂ Vn′′{\displaystyle V_{n}'\subset V_{n'}의}. 줄지 않는다.en necessally f(V_n) = U_n.

따라서 f_n(V)의 지름은 0이 되는 경향이 있습니다.한편, 필요에 따라 (z_n)와 (w_n)의 후속으로 넘어가면, z와_n w는 둘 다 V에 있다고_n_n 가정할 수 있다.단, f(z_n) - f(w_n) ≥ f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f

따라서 f는 D의 폐쇄까지 연속적으로 확장됩니다.f(D) = U이므로 압축성 f는 U의 폐색에 D의 폐색을 수반하며, 따라서 θD의 폐색에 대해 θD의 폐색을 수반한다. f가 1이 아닐 경우 θD 위에 u θv 및 f(u) = f(v)의 점 u가 존재한다.X와 Y를 0에서 u 및 v까지의 반경선이라고 합니다.f(X y Y)는 조던 곡선입니다.앞에서 설명한 바와 같이 그 내부 V는 U에 포함되어 U \ f(X arguing Y)의 연결 성분이다.한편, D \(X yY)는 2개의 오픈 섹터₁ W와 W의₂ 분리 결합이다.따라서 이들 중 하나에 대해₁ W라고 하면 f₁(W) = V. Z는 단위원상의 W의₁ 부분이며, Z는 닫힌 호이고 f(Z)는 δU와 V의 닫힌 호의 부분 집합이다.그러나 이들의 교차는 단일점이므로 f는 Z에서 일정하다.슈바르츠 반사 원리에 의해 원호를 가로지르는 등각 반사에 의해 해석적으로 f를 계속할 수 있다.비정수 정칙함수는 분리된 0을 가지기 때문에, 이것은 f가 일정하게, 모순이 되도록 강요한다.그래서 f는 1:1이고,^[1]^[2] 따라서 D의 폐쇄에 대한 동형사상입니다.

카라테오도리의 정리에 대한 두 가지 다른 증명은 카라테오도리(1954년)와 카라테오도리(1998년)에 기술되어 있다.첫 번째 증명은 1913년 카라테오도리의 원상에서의 르베그 측정의 특성을 이용한 최초의 증명 방법을 따른다: f의 역함수 g의 연속적인 확장은 단위 원반에서의 유계 고조파 함수의 경계 거동에 대한 파투의 정리에 의해 정당화된다.두 번째 증거는 린델뢰프(1914)의 방법에 기초한다. 린델뢰프(1914)에서는 유계 영역 V에 정의된 유계 정형 함수 h에 대해 최대 계수 부등식의 첨예화가 확립되었다.

h(a) m^t m m^{1 − t} M,

여기서 M은 U에서의 순차적 한계에 대한 h의 최대 계수이며, m은 ^[3]A에서의 각도 2µt의 서브텐딩을 중심으로 하는 섹터에 있는 U에서의 순차적 한계에 대한 h의 최대 계수이다.

연속연장과 카라테오도리-토르스트 정리

정리의 확장은 등각 동형이

g\colon \mathbb {D} \to U

:

g\colon \mathbb {D} \to U

g\colon \mathbb {D} \to U

{\

displaystyle

g

\display\mathbb {D}

\

to

U

g\colon \mathbb {D} \to U

$U$ 서U {\ $displaystyle$ U $}$ 는 $U$ 단순히 연결된 리만 구의 하위 집합이며U {\ $displaystyle$ U $}$ 의 $U$ 경계가 로컬로 연결된 경우에만 단위 원까지 연속적으로 확장됩니다.

이 결과는 종종 카라테오도리에 기인하지만, 마리 토르스트가 1918년 ^[4]한스의 감독 아래 카라테오도리의 주요 종말론을 사용하여 처음으로 진술하고 증명했다.좀 더 정확히 말하면, Torhorst는 로컬 접속이 제1종류의 프라이머리 엔드만을 가지는 도메인과 동등하다는 것을 증명했습니다.프라임 엔드 이론에 따르면 후자의 특성은 연속적인 확장을 갖는 $\displaystyle$ g와 $g$ 동등합니다.

메모들

^ 크랜츠 2006, 116~117페이지
^ Garnett & Marshall 2005, 15페이지
^ 알포스 2010, 37-40페이지
^ Torhorst, Marie (1921), "Über den Rand der einfach zusammenhängenden ebenen Gebiete", Mathematische Zeitschrift, 9 (1–2): 44–65, doi:10.1007/BF01378335, S2CID 120418797

레퍼런스

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Whyburn, Gordon T. (1942), Analytic Topology, American Mathematical Society Colloquium Publications, vol. 28, American Mathematical Society

[1] 크랜츠 2006, 116~117페이지

[2] Garnett & Marshall 2005, 15페이지

[3] 알포스 2010, 37-40페이지

[4] Torhorst, Marie (1921), "Über den Rand der einfach zusammenhängenden ebenen Gebiete", Mathematische Zeitschrift, 9 (1–2): 44–65, doi:10.1007/BF01378335, S2CID 120418797

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