후르비츠의 정리(복잡한 분석)

수학, 특히 복잡한 분석의 분야에서 허위츠의 정리는 일련의 홀로모르픽, 콤팩트한 국소적으로 균일하게 수렴함수의 0과 그에 상응하는 한계의 0을 결부시키는 정리다.이 정리는 아돌프 후르비츠의 이름을 따서 명명되었다.

성명서

적인. 기능의 연결된 개집합 G은 한결같이 G의 콤팩트한 하위 집합에 사정이라면 fz0 모든 작은 충분히ρ 을을 위해 m0가 있는이 계속 G에 0이 아닌 적인. 함수 f에 모이에{fk} 시퀀스, 0과 충분히 큰 k을 바라며 ∈ N(ρ에 따라), fk다 정확하게 m개의 0에 디스크를 defin.교육에 의해z₀ - z < ρ (다중성 포함)나아가 이러한 0은 k → ∞^[1]으로 z에₀ 수렴한다.

언급

그 정리는 결과가 임의의 디스크에 대해 유지된다는 것을 보장하지 않는다.실제로 f가 경계에 0을 갖는 원반을 선택하면 정리가 실패한다.명시적인 예로는 유닛 디스크 D와 다음에 의해 정의된 순서를 고려하는 것이다.

${\displaystyle f_{n}(z)=z-1+{\frac {1}{n},\qquad z\in \mathb {C}}$

f(z) = z - 1로 균일하게 수렴한다.함수 f(z)는 D에 0을 포함하지 않지만, 각_n f는 실제 값 1 - (1/n)에 해당하는 디스크에서 정확히 1개의 0을 가진다.

적용들

후르비츠의 정리는 리만 지도 정리 증명에 사용되며,^[2] 즉각적인 결과로서 다음과 같은 두 개의 코롤리를 가지고 있다.

• G를 개방된 연결형 집합으로 하고, G의 콤팩트 서브셋에서 홀모픽 함수 f로 균일하게 수렴하는 일련의 홀모픽 함수를 {f_n}한다.만약 각 f가_n G의 모든 곳에서 0이 아니라면, f는 똑같이 0이거나 어디에서도 0이 아니다.
• {f_n}이(가) G의 콤팩트 하위 집합에서 홀모픽 함수 f로 균일하게 수렴되는 연결된 오픈 집합 G의 단발성 함수 시퀀스라면 f는 단발성 또는 상수다.^[2]

증명

f를 z에₀ 순서 m이 0인 복잡한 평면의 열린 부분 집합에서 분석 함수가 되게 하고, {f_n}이(가) 콤팩트 서브셋에서 f로 균일하게 수렴되는 일련의 함수라고 가정한다.f(z) 0 0이 0 < z - z ≤ ρ에 오도록₀ 일부 ρ > 0을 고정한다.δ가 f(z)>원 z에 z− z0)ρ에 δ. fk(z)한결같이 우리가 선택한 디스크에 전진, 우리도 찾을 수 있을 N이 모든 k에 ≥ fk(z)≥ δ/2 N과 동그라미에 모든 z도록 하면 몫이 fk′(z)(z)은 원 z− z0)ρ에 모든 z. 바이어 슈트라스 정리까지 우리는 f다 정의된다 k′을 선택합니다. → f′$디스크$ 위에 균일하게$$올려놓았으니 또 $다른$ 균일한 수렴을 할 수 있을 겁니다$.$

${\displaystyle {\f_{k}'(z)}{f_{k}(z)}}\to {\frac {f'(z)}{f(z)}}.}$

디스크에서 f_k(z)의 0의 수를_k N으로 나타냄으로써, 우리는 인수의 원칙을 적용하여 찾을 수 있다.

${\displaystyle m={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\vert z-z_{0}\vert =\rho }{\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz=\lim _{k\to \infty }{\frac {1}{2\pi i}}\int _{\vert z-z_{0}\vert =\rho }{\frac {f'_{k}(z)}{f_{k}(z)}}\,dz=\lim _{k\to \infty }N_{k}}$

위의 단계에서는 통합과 통합의 일률적인 융합이 이루어졌기 때문에 통합과 한계를 상호 교환할 수 있었다.N_k → m as k → ∞. N은_k 정수 값이기 때문에_k N은 충분히 큰 k에 대해 m과 같아야 한다.^[3]

참고 항목

• 루제의 정리

참조

• Ahlfors, Lars V. (1966), Complex analysis. An introduction to the theory of analytic functions of one complex variable, International Series in Pure and Applied Mathematics (2nd ed.), McGraw-Hill
• Ahlfors, Lars V. (1978), Complex analysis. An introduction to the theory of analytic functions of one complex variable, International Series in Pure and Applied Mathematics (3rd ed.), McGraw-Hill, ISBN 0070006571
• 존 B. 콘웨이단일 복합 변수 I의 함수.스프링거-베를라크, 뉴욕, 1978.
• E. C. Titchmarsh, Theory of Functions, 2판 (Oxford University Press, 1939; 재인쇄 1985),
• Solomentsev, E.D. (2001) [1994], "Hurwitz theorem", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press