단위 디스크

수학에서 P 주위에 있는 열린 단위 디스크(또는 디스크)는 P로부터의 거리가 1: 미만인 점의 집합이다.

${\displaystyle D_{1}(P)=\{Q:\vert P-Q\vert <1\}\,}$

P 주변의 폐쇄 단위 디스크는 P로부터의 거리가 1보다 작거나 같은 점들의 집합이다.

${\displaystyle {\D}_{1}(P)=\{Q: P-Q \leq 1\}\,}$

유닛 디스크는 유닛 서클의 내부와 닫힌 유닛 디스크의 경우 유닛 서클 자체를 포함하는 특별한 경우다.null

추가 사양이 없는 경우 표준 유클리드 메트릭과 ${\displaystyle {관련}_{}}$하여 원점 $D{\displaystyle {}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle 0}$) ${\displaystyle D_{1}(0$에 대한 오픈 유닛 디스크에 단위 디스크라는 용어가 사용된다.원점을 중심으로 반지름 1의 원 안쪽이다.이 집합은 1보다 작은 절대값의 모든 복잡한 숫자의 집합으로 식별할 수 있다.복합 평면(C)의 하위 집합으로 볼 때 단위 $디스크$는 D$${\$displaystyle \mathb {D} }$로 표시되는 경우가 많다$.$

오픈 유닛 디스크, 평면 및 상부 하프 평면

함수

${\displaystyle f(z)={\frac {z}{1- z ^{2}}:$

오픈 유닛 디스크에서 평면까지의 실제 분석 및 생체적 함수의 예로서, 역 함수도 분석적이다.실제 2차원 분석 다지관으로 간주되는 오픈 유닛 디스크는 따라서 평면 전체에 이형성이 있다.특히 오픈 유닛 원반은 평면 전체에 동형이다.null

그러나 오픈 유닛 디스크와 평면 사이에는 순응적 생체 지도가 없다.리만 표면으로 간주되는 오픈 유닛 디스크는 따라서 복잡한 평면과 다르다.null

오픈 유닛 디스크와 오픈 상부 하프 평면 사이에는 정합성 비주사 지도가 있다.이리하여 리만 표면으로 간주되는 오픈 유닛 디스크는 상부 하프 평면에 이형체("비홀로모르픽" 또는 "적합하게 동등한")이며, 이 두 개를 서로 교환하여 사용하는 경우가 많다.null

훨씬 더 일반적으로 리만 매핑 정리는 복잡한 평면 자체와 다른 복잡한 평면의 간단히 연결된 모든 오픈 서브셋은 오픈 유닛 디스크에 대한 순응적이고 비주사적인 지도를 인정한다고 명시하고 있다.null

오픈 유닛 디스크에서 오픈 하프 평면으로 이어지는 한 개의 생체적 순응 맵은 뫼비우스 변환이다.

${\displaystyle g}$( ${\displaystyle z}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle i\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle 1\frac{}{}}$+ ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{1}{}}$ -${\displaystyle \frac{z}{}}$ ${\$ 이것은$$ Cayley 변환의 역행이다.

기하학적으로 실제 축이 구부러지고 축소되어 상부 하프 평면이 디스크의 내부가 되고 실제 축이 디스크의 둘레를 형성하여 상단 1점, "무한도 지점"을 위해 절약되는 것을 상상할 수 있다.열린 장치 원반에서 열린 상부 반면에 이르는 두 개의 입체 투영 구성으로, 먼저 장치 원반을 위쪽으로 입체 투영하여 장치 구의 "남극"을 투영 중심지로 삼은 다음 이 반쪽 도면이 프로지(proj)이다.구를 만지는 수직 반면에 측면으로 돌출부로써 접촉점에 반대되는 반쪽 숄더에 점을 찍는다.null

유닛 디스크와 상부 하프 평면은 하디 공간의 도메인으로 교환할 수 없다.이러한 차이에 기여하는 것은 단위 원은 유한(1차원) 르베그 측정이 있는 반면 실제 선은 그렇지 않다는 사실이다.null

쌍곡면

오픈 유닛 디스크는 쌍곡면의 푸앵카레 디스크 모델의 포인트 세트를 형성한다.단위 원에 수직인 원형 호는 이 모델에서 "선"을 형성한다.단위 원은 Cayley-Klein 미터법 스타일로 크로스 레이티오를 사용하여 디스크의 미터법을 결정하는 Cayley 절대값이다.미분 기하학의 언어에서, 단위 원에 수직인 원형 호는 모델에서 점 사이의 최단 거리를 보여주는 지질학이다.모델은 특수 단일 그룹 SU(1,1)로 표현되는 동작을 포함한다.디스크 모델은 위에 주어진 매핑 g에 의해 푸앵카레 반평면 모델로 변환될 수 있다.null

푸앵카레 원반과 푸앵카레 반평면은 모두 쌍곡면의 정합 모델로서 교차 곡선 사이의 각도는 등거리 그룹의 움직임에 의해 보존된다는 것을 의미한다.null

또 다른 쌍곡선 공간 모델은 오픈 유닛 디스크인 Beltrami-Klein 모델에도 내장되어 있다.그것은 일치하지는 않지만 지오디컬이 직선이라는 속성을 가지고 있다.null

다른 메트릭과 관련하여 Disk 단위

다른 지표와 관련해서도 단위 디스크를 고려한다.예를 들어, 택사브 메트릭과 체비셰프 메트릭 디스크는 정사각형처럼 보인다(기본 토폴로지가 유클리드 디스크와 동일하더라도).null

유클리드 유닛 원반의 면적은 π이고 둘레는 2π이다.대조적으로, 택사브 기하학에서 단위 디스크의 둘레(택시캡 메트릭과 상대적)는 8이다.1932년 스타니스와프 고우브(Staniswowf Gowłb)는 규범에서 발생하는 측정기준에서 단위 디스크의 둘레는 6~8 사이의 값을 취할 수 있으며, 단위 디스크가 각각 정규 6각형 또는 평행사변형인 경우에만 이러한 극단값을 얻을 수 있다는 것을 증명하였다.null

참고 항목

• 단위 디스크 그래프
• 단위구
• 비버바흐 추측

참조

• S. Golab, "Quelkes problemes métrique de la géometrie de Minkowski", Trav. de l'Academy.광산 크라코비 6호(1932년), 179호

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Unit disk". MathWorld.
• J.C. 알바레즈 파비아와 A.C.에 의한 유닛 디스크의 둘레와 면적.톰프슨