양자 미적분학

한계 없는 미적분학이라고도 불리는 양자 미적분은 한계 개념이 없는 전통적인 미적분학과 맞먹는다. "q-미적분"과 "h-미적분"을 정의하는데, 여기서 h는 표면적으로는 플랑크의 상수를, q는 양자(퀀텀)를 의미한다. 두 파라미터는 공식에 의해 관련된다.

${\displaystyle q=e^{ih}=e^{2\pi i\hbar }}}}$

여기서 $\hslash$= $h\frac{}{}$ $\frac{\mathrm{2\pi }}{}$ ${\$ {$h}{2\pi$}}}}은$($는) 축소된 Plank 상수다.

차별화

q-미적분과 h-미적분에서 함수의 차이는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle d_{q}(f(x)=f(qx)-f(x)}$

그리고

${\displaystyle d_{h}(f(x)=f(x+h)-f(x)}$

각각 함수 파생상품은 q-파생물에 의해 분수로 정의된다.

${\displaystyle D_{q}(f(x))={\frac {d_{q}(f(x))}{d_{q}(x)}={\frac {f(qx)-f(x)}{{(q-1)x}}}}$

그리고 에 의해

${\displaystyle D_{h}(f(x))={\frac {d_{h}(f(x))}}{d_{h}(x)}}={\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}}$

한계에서 h가 0으로 갈 때, 또는 q가 1로 갈 때, 이러한 표현은 고전 미적분의 파생 형태를 취한다.

통합

q-message

함수 F(x)는 DF_q(x) = f(x)일 경우 f(x)의 q-antiative이다. The q-antiderivative (or q-integral) is denoted by ${\textstyle \int f(x)\,d_{q}x}$ and an expression for F(x) can be found from the formula ${\textstyle \int f(x)\,d_{q}x=(1-q)\sum _{j=0}^{\infty }xq^{j}f(xq^{j})}$ which is called the Jackf(x)의 아들 0 < q < 1의 경우, f(x)x가^α 약 0 α < 1의 간격 (0, A)에 대해 경계 (0, A)에 있는 경우, 시리즈는 간격 (0,A)에 F(x)로 수렴된다.

q-integral은 q^jj 지점에서의 점프를 q^j 지점에서의 점프를 q 지점에서의 점프를 무한히 많이 갖는 스텝 함수와 관련하여 리만-스티엘트제스 통합이다. 이 스텝 함수를 g_q(t)라고 부르면 dg_q(t) = dt_q.^[1]

h-11

함수 F(x)는 DF_h(x) = f(x)일 경우 f(x)의 h-항작용이다. The h-antiderivative (or h-integral) is denoted by ${\textstyle \int f(x)\,d_{h}x}$. If a and b differ by an integer multiple of h then the definite integral ${\textstyle \int _{a}^{b}f(x)\,d_{h}x}$ is given by a Riemann sum of f(x) on the interval [a, b] partitioned into subintervals 폭 h의

예

고전적 미적분학에서 함수 ${\displaystyle x^{}}$ n ${\$일부 양의 정수 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n$의 파생형은 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{n}}^{}}$- 1 ${\$이다$.$ q-미적분과 h-미적분의 상응하는 표현은 다음과 같다.

${\displaystyle D_{q}(x^{n})={\frac {q^{n1}-1}{q-1}{q-1}{n-1}}{n-1}=[n]_{q}\ x^{n-1}$

q-ray와 함께

${\displaystyle [n]_{q}={\frac {q^{n1}-1}{q-1}}$

그리고

${\displaystyle D_{h}(x^{n})=nx^{n-1}+{\frac {n(n-1)}{2}}:hx^{n-2}+\cdots +h^{n-1}$

각각 $[{\displaystyle n}$ ${\displaystyle {}_{}{}^{}}$ x ${\displaystyle n^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$라는 표현은 양의 적분력에 대한 단순 전력 규칙의 q-미적분 아날로그가 된다$$. In this sense, the function ${\displaystyle x^{n}}$ is still nice in the q-calculus, but rather ugly in the h-calculus – the h-calculus analog of ${\displaystyle x^{n}}$ is instead the falling factorial, ${\displaystyle (x)_{n}:=x(x-1)\cdots (x-n+1).}$$$ 하나는 더 나아가서, 예를 들어, 테일러 팽창의 등가 개념들을 발전시킬 수 있으며, 심지어 q-분열제가 코사인(cosine)에 적합한 아날로그인 사인함수에 대한 아날로그와 같이, 자신이 갖고 싶어할 모든 일반적인 기능에 대한 q-미적분 유사점에 도달할 수도 있다.

역사

h-미적분은 조지 불 등이 연구해 온 유한차이의 미적분일 뿐이며, 그 중에서도 조합학, 유체역학 등 여러 분야에서 유용하다는 것이 증명되었다. q-미적분은 어떤 의미에서 레온하르트 오일러와 칼 구스타프 자코비로 거슬러 올라가면서, 최근에 와서야 비로소 양자역학에서 더 유용성을 보이기 시작하며, 동시성 관계와 리 대수학과의 긴밀한 관계를 맺고 있다.

참고 항목

• 비확정 기하학
• 양자 미분학
• 시간 척도 미적분학
• q-message

참조

• Jackson, F. H. (1908). "On q-functions and a certain difference operator". Transactions of the Royal Society of Edinburgh. 46 (2): 253–281. doi:10.1017/S0080456800002751.
• Exton, H. (1983). q-Hypergeometric Functions and Applications. New York: Halstead Press. ISBN 0-85312-491-4.
• Kac, Victor; Cheung, Pokman (2002). Quantum calculus. Universitext. Springer-Verlag. ISBN 0-387-95341-8.