이린형

수학에서 필드 K(스칼라라고 하는 원소) 위에 있는 벡터 공간 V(벡터라고 하는 원소)에 있는 이선형식은 이선형 지도 V × V → K이다. 즉, 이선형태는 각 주장에서 별도로 선형인 함수 B : V × V → K이다.

• B(u + v, w) = B(u, w) + B(v, w) 및 B(λu, v) = λB(u, v)
• B(u, v + w) = B(u, v) + B(u, w) 및 B(u, λv) = λB(u, v)

${\displaystyle {}^{}}$ ${\$에 있는 도트 제품은 이선형 형태의 예다$$.^[1]

이선형 형태의 정의는 링 위에 모듈을 포함하도록 확장될 수 있으며, 선형 지도가 모듈 동형성으로 대체된다.

K가 복잡한 숫자 C의 분야일 때, 사람들은 종종 이선형 형태와 유사하지만 하나의 주장에서 선형 결합되는 sesquilinar 형태에 더 관심을 갖는다.

좌표 표현

V ≅ K를ⁿ 기본이 {e₁, …, e_n}인 n차원 벡터 공간이 되게 하라.

A_ij = B(e_i, e_j)에 의해 정의된 n × n 행렬 A는 {e₁, …, e_n}에 근거하여 이선형식의 행렬이라고 불린다.

n × 1 행렬 x가 이 기초와 관련하여 벡터 v를 나타내고, 유사하게 y가 또 다른 벡터 w를 나타내는 경우, 다음 중 하나를 나타낸다.

이선형 형태는 기초마다 행렬이 다르다. 그러나 서로 다른 베이스에 있는 이선형의 행렬은 모두 일치한다. 더 정확히 말하자면, {f₁, …, f_n}이(가) V의 또 다른 기반이라면,

여기서 ${\displaystyle {Si}_{}}$, ${\displaystyle j_{}}$ ${\$는 반전성 행렬S를 형성한다$$. 그 다음, 새로운 기반에 있는 이선형식의 매트릭스는 SAS이다^T.

이중 스페이스로 매핑

V의 모든 이선형 형태 B는 V에서 그것의 이중 공간 V까지^∗ 한 쌍의 선형 지도를 정의한다. 다음을 기준으로₁ B₂, B: V^∗ → V 정의

이것은 흔히 로서 표현된다.

여기서 점(⋅)은 결과 선형 기능에 대한 인수가 배치될 슬롯을 나타낸다(Curring 참조).

유한차원 벡터 공간 V의 경우, B₁ 또는₂ B 중 하나가 이형성이라면 둘 다이며, 이형성형 B는 비감성형이라고 한다. 보다 구체적으로 말하면, 유한차원 벡터 공간의 경우 비감소란 0이 아닌 모든 원소가 일부 다른 원소와 비경쟁적으로 짝을 이룬다는 것을 의미한다.

${\displaystyle }$${\displaystyle B}$${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$, y${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{모든}}$ $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ V ${\displaystyle y\in V}$에 대한 0 ${\displaystyle B(x,y)=0}$은 x = 0과

${\displaystyle }$${\displaystyle B}$${\displaystyle (}$ ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{모든}}$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ V ${\displaystyle x\in V}$에 대한 0 ${\displaystyle B(x,y)=0}$은 y = 0임을 의미한다$$.

정류 링 위에 있는 모듈에 상응하는 개념은 V → V가^∗ 이형성일 경우 이형성 형태는 단형성이라는 것이다. 교환 링 위에 정밀하게 생성된 모듈이 있는 경우, 페어링은 주입식(위의 의미에서는 "비분해")일 수 있지만, 비정형(unimodular)은 아닐 수 있다. 예를 들어, 정수에 대해 쌍 B(x, y) = 2xy는 비감소적이지만 비변형적이지 않다. V = Z에서 V^∗ = Z로 유도된 지도가 2 곱하기 때문이다.

V가 유한한 차원이라면 이중 듀얼 V로^∗∗ V를 식별할 수 있다. 그런 다음 B가₂ 선형 지도₁ B의 전치물임을 보여줄 수 있다(V가 무한대일 경우 B는₂ V의^∗∗ 이미지로 제한된 B의₁ 전치물이다). B가 주어진다면 B의 전치형을 b가 준 이선형이라고 정의할 수 있다.

B형식의 왼쪽 과격파와 오른쪽 과격파는 각각 B형과₁ B형의₂ 알맹이로,^[2] 왼쪽과 오른쪽 공간 전체에 직교하는 벡터다.^[3]

V가 유한한 차원이라면 B의₁ 등급은 B의₂ 등급과 같다. 만약 이 숫자가 딤(V)과 같다면, B와₁ B는₂ V에서 V까지의^∗ 선형 이형성이다. 이 경우 B는 퇴화되지 않는다. 계급-영원성 정리로는 이것은 좌익과 동등하게 우익 급진주의자가 하찮다는 조건과 동등하다. 유한 차원 공간의 경우 이는 흔히 비감소성의 정의로 간주된다.

선형 지도 A : V → V를^∗ 통해 V에서 B를 얻을 수 있다.

이 형태는 A가 이형성일 경우에만 퇴화되지 않을 것이다.

V가 유한 차원일 경우, V에 대한 어떤 근거에 상대적으로, 관련 행렬의 결정 인자가 0일 경우에만 이선형식이 퇴화된다. 마찬가지로, 비감소형 형태는 관련 행렬의 결정요인이 0이 아닌 형태(매트릭스는 비음반이다)인 형태다. 이러한 진술은 선택된 근거와 무관하다. 정류 링 위에 있는 모듈의 경우, 단변형 형태는 연관 행렬의 결정요인이 단위(예: 1)인 경우, 따라서 용어; 단변형 결정요소가 0은 아니지만 단위가 아닌 형태의 경우, 예를 들어 B(x, y) = 정수에 대해 2xy가 될 것이라는 점에 유의한다.

대칭, 스큐 대칭 및 교대형

우리는 이선형태를 정의한다.

• 대칭: 모든 V에 대해 B(v, w) = B(w, v)일 경우, W(V)
• B(v, v)가 V의 모든 V에 대해 0인 경우 교대;
• 모든 V에 대해 B(v, w) = -B(w, v)일 경우 비대칭 또는 스큐 대칭;

  프로포지션

  모든 교대 형태는 스큐 대칭이다.

  증명

  이는 B(v + w, v + w)를 확장함으로써 알 수 있다.

K의 특성이 2가 아니라면 역도 역시 참이다: 모든 스큐 대칭 형태는 교대로 이루어진다. 그러나 char(K) = 2인 경우, 스큐 대칭 형태는 대칭 형태와 동일하며 교대하지 않는 대칭/스큐 대칭 형태가 존재한다.

이선형식은 좌표 행렬(어떤 기초에 상대적)이 대칭인 경우에만 대칭(존경하는 스큐-대칭)이다. 이선형식은 좌표 행렬이 스큐 대칭이고 대각선 입력이 모두 0인 경우에만 교대형이다(문자(K) ≠ 2의 스큐 대칭에서 따옴).

이선형식은 맵 B₁, B₂: V → V가^∗ 같을 경우에만 대칭이고, 서로 음수일 경우에는 대칭대칭이다. 만약 char(K) 2 2가 있다면 다음과 같이 이선형(bilinar)을 대칭 및 스큐 대칭부분으로 분해할 수 있다.

여기서 B는 B의 전치(위에서 정의함)이다.

파생 2차 형태

B : V × V → K의 경우 Q : V → K에 의해 정의된 관련 2차 형태 Q : V → K가 존재한다.

char(K) ≠ 2일 때 2차 형태 Q는 이선형 형태 B의 대칭 부분에 의해 결정되며 대칭형 부분과는 독립적이다. 이 경우 이선형식의 대칭 부분과 이선형 사이에는 일대일 일치성이 있으며, 이선형과 연관된 대칭 이선형을 말하는 것이 타당하다.

문자(K) = 2이고 희미한 V > 1일 때, 2차 형태와 대칭 이선형 사이의 이 대응은 분해된다.

반사율과 직교성

이선형식 B는 대칭이거나 교대할 경우에만 반사적이다.^[4] 반사율이 없을 때 우리는 좌우직교성을 구별해야 한다. 반사적인 공간에서 좌우익 급진주의자들은 동의하고 이선형식의 낟알 또는 급진주의라고 불리는데, 이는 다른 모든 벡터와 직교하는 모든 벡터의 하위 공간이다. 행렬 표현 x를 가진 벡터 v는 행렬 표현 A가 있는 이선형 형태의 래디컬(Ax = 0 ⇔ xA^T = 0인 경우에만)이다. 급진파는 언제나 V의 아공간이다. 행렬 A가 비정형일 경우에만, 따라서 이선형일 경우 및 비정형일 경우에만 사소한 것이다.

W가 하위 공간이라고 가정합시다. 직교 보어^[5] 정의

유한차원 공간에 있는 비탈진 형태의 경우, 지도 V/W → W는^⊥ 비주사적이며, W의^⊥ 치수는 어둑어둑하다(V) - 어둑어둑하다.

서로 다른 공간

이론의 대부분은 동일한 베이스 필드의 두 벡터 공간에서 그 필드까지의 이선형 매핑에 사용할 수 있다.

여기서 우리는 여전히 V에서 W로^∗ 그리고 W에서 V로^∗ 선형 매핑을 유도했다. 이러한 매핑은 이형성일 수도 있다; 한정된 치수를 가정하면, 한 치수가 이형성일 경우, 다른 치수는 반드시 이형성일 것이다. 이럴 때 B는 완벽한 짝짓기라고 한다.

유한 치수에서 이는 쌍이 비감속(공간의 치수가 반드시 동일해야 함)인 것과 같다. 모듈(벡터 공간 대신)의 경우 비감소형 형태가 비감소형 형태보다 약한 것처럼, 비감소형 쌍은 완벽한 쌍 구성보다 약한 개념이다. 페어링은 완벽한 페어링이 되지 않고 비디제너레이션이 될 수 있다. 예를 들어 (x, y)를 통한 (x, y) → Z는 비디제너레이션이지만 지도 Z → Z에서^∗ 2만큼 곱셈을 유도한다.

용어는 이선형식의 적용범위에 따라 다양하다. 예를 들면 F. 리스 하베이는 "8가지 종류의 이너 제품"에 대해 논한다.^[6] 이를 정의하기 위해 그는 0이 아닌 원소에 대해 +1 또는 -1만 갖는 대각 행렬_ij A를 사용한다. "내부 제품" 중 일부는 공통적인 형태고 일부는 세스퀼린 형태 또는 에르미트 양식이다. 일반 필드 K보다는 실제 번호 R, 복잡한 번호 C, Quaternions H를 가진 인스턴스들이 철자되어 있다. 이선형식

실제 대칭 케이스라고 하며, 여기서 p + q = n이라는 라벨이 붙은 R(p, q)이라고 한다. 그리고 그는 전통 용어와 연관성을 다음과 같이 표현한다.^[7]

몇몇 진짜 대칭적인 사례들은 매우 중요하다. 양의 확정사례 R(n, 0)은 유클리드 공간이라고 하고, 단 하나의 마이너스, R(n-1, 1)의 경우는 로렌츠 공간이라고 한다. n = 4이면 로렌츠 공간은 민코프스키 공간 또는 민코프스키 스페이스타임이라고도 한다. 특수 케이스 R(p, p)은 분할 케이스라고 한다.

텐서 제품과의 관계

텐서 제품의 보편적 특성에 의해 V의 이선형식과 선형지도 V ⊗ V → K 사이에 표준적인 일치성이 있다. 만약 B가 V의 이선형이라면 그에 상응하는 선형지도는 다음과 같이 주어진다.

다른 방향에서 F : V ⊗ V → K가 선형 지도일 경우, (v, w)를 v tow로 보내는 이선형 지도 V × V → V ⊗ V로 F를 합성하여 해당 이선형태를 부여한다.

모든 선형 지도 V ⊗ V → K의 집합은 V ⊗ V의 이중 공간이기 때문에 이선형 형태는 (V가 유한차원일 때) V may V에^∗∗ 대해 시론적으로 이형화된 (V ⊗ V)^∗의 원소로 생각할 수 있다.

마찬가지로 대칭 이선형식은 Sym²(V^∗)의 요소(V의^∗ 두 번째 대칭형 힘)로, 교번 이선형은 alternatingV의^2∗ 요소^∗(V의 두 번째 외부 힘)로 생각할 수 있다.

표준 벡터 공간

정의: 정규 벡터 공간(V, ‖⋅‖)의 이선형 형태는 모든 u, v ∈ V와 같은 상수 C가 있으면 경계된다.

정의: 규범 벡터 공간(V, ⋅‖‖)의 이선형식은 타원형 또는 강압형이며, 모든 v V에 대해 c > 0의 상수가 있는 경우,

모듈 일반화

링 R과 우측 R-모듈 M과 그 이중 모듈 M을^∗ 주어, 지도 B : M^∗ × M → R은 다음과 같은 경우 이선형이라고 한다.

모든 u, v ∈ M^∗, 모든 x, y ∈ M 및 모든 α, β ∈ R에 대하여.

맵핑 ⟨⋅,⋅⟩ : M^∗ × M → R : (u, x) ↦ u(x)는^∗ M × M에 표준 이선형이라고도 한다.^[8]

A linear map S : M^∗ → M^∗ : u ↦ S(u) induces the bilinear form B : M^∗ × M → R : (u, x) ↦ ⟨S(u), x⟩, and a linear map T : M → M : x ↦ T(x) induces the bilinear form B : M^∗ × M → R : (u, x) ↦ ⟨u, T(x))⟩.

반대로 B : M^∗ × M → R 형식은 R-선형 지도 S : M → M^∗ : u^∗ ↦ (x ↦ B(u, x))와 T′ : M → M^∗∗ : x ↦ (u u B, x)를 유도한다. 여기서 M은^∗∗ M의 이중성을 나타낸다.

참고 항목

• 이린린 지도
• 바이린린 연산자
• 내부 제품 공간
• 선형형식
• 다선형
• 이차형
• 세실린형
• 극공간

인용구

참조

• Adkins, William A.; Weintraub, Steven H. (1992), Algebra: An Approach via Module Theory, Graduate Texts in Mathematics, vol. 136, Springer-Verlag, ISBN 3-540-97839-9, Zbl 0768.00003
• Bourbaki, N. (1970), Algebra, Springer
• Cooperstein, Bruce (2010), "Ch 8: Bilinear Forms and Maps", Advanced Linear Algebra, CRC Press, pp. 249–88, ISBN 978-1-4398-2966-0
• Grove, Larry C. (1997), Groups and characters, Wiley-Interscience, ISBN 978-0-471-16340-4
• Halmos, Paul R. (1974), Finite-dimensional vector spaces, Undergraduate Texts in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90093-3, Zbl 0288.15002
• Harvey, F. Reese (1990), "Chapter 2: The Eight Types of Inner Product Spaces", Spinors and calibrations, Academic Press, pp. 19–40, ISBN 0-12-329650-1
• Popov, V. L. (1987), "Bilinear form", in Hazewinkel, M. (ed.), Encyclopedia of Mathematics, vol. 1, Kluwer Academic Publishers, pp. 390–392.또한: 구글 북스 390 페이지 바이린어 양식
• Jacobson, Nathan (2009), Basic Algebra, vol. I (2nd ed.), ISBN 978-0-486-47189-1
• Milnor, J.; Husemoller, D. (1973), Symmetric Bilinear Forms, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, vol. 73, Springer-Verlag, ISBN 3-540-06009-X, Zbl 0292.10016
• Porteous, Ian R. (1995), Clifford Algebras and the Classical Groups, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 50, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55177-9
• Shafarevich, I. R.; A. O. Remizov (2012), Linear Algebra and Geometry, Springer, ISBN 978-3-642-30993-9
• Shilov, Georgi E. (1977), Silverman, Richard A. (ed.), Linear Algebra, Dover, ISBN 0-486-63518-X
• Zhelobenko, Dmitriĭ Petrovich (2006), Principal Structures and Methods of Representation Theory, Translations of Mathematical Monographs, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-3731-1

외부 링크

위키미디어 커먼즈에는 바이린어 형식과 관련된 미디어가 있다.

• "Bilinear form", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• "Bilinear form". PlanetMath.

이 글에는 크리에이티브 커먼스 귀속/공유 앨리케 라이센스에 따라 라이센스가 부여된 PlanetMath 상의 Unimodular의 자료가 통합되어 있다.