대수 K이론

대수학 K 이론은 기하학, 위상, 고리 이론, 숫자 이론에 대한 연결이 있는 수학의 과목 영역이다. 기하학적, 대수학적, 산술적 객체에 K-그룹이라는 객체가 할당된다. 이들은 추상 대수학이라는 의미에서 집단이다. 그것들은 원래 개체에 대한 자세한 정보를 포함하고 있지만 계산하기 어렵기로 악명 높다. 예를 들어, 중요한 미결 문제는 정수의 K-그룹을 계산하는 것이다.

K-이론은 1950년대 후반 알렉산더 그로텐디크가 대수적 변종에 대한 교차이론을 연구하면서 발명한 것이다. 현대 언어에서 그로텐디크는 제로₀ K 그룹만을 정의했지만, 이 단일 그룹도 그로텐디크-리만-로치 정리처럼 응용이 풍부하다. 교차로 이론은 동기식 코호몰로지, 특히 차우 그룹과의 연계를 통해 (높은) 대수학 K 이론의 발전에 여전히 동기부여력이다. 이 주제는 또한 2차 상호주의 같은 고전적인 숫자-이론적 주제와 숫자 필드를 실제 숫자와 복잡한 숫자에 포함시키고 상위 규제기관의 구성과 L-기능의 특별한 가치와 같은 현대적 관심사를 포함한다.

다른 대수적 구조 측면에서 이들 그룹에 대한 적절한 설명이 발견되었다는 의미에서 하위 K-그룹을 먼저 발견했다. 예를 들어 F가 필드인 경우₀ K(F)는 정수 Z에 이형성이며 벡터 공간 차원의 개념과 밀접하게 관련되어 있다. 정류 링 R의 경우, 그룹₀ K(R)는 R의 피카르 그룹과 관련되며, R이 숫자 분야의 정수 링일 때, 이것은 클래스 그룹의 고전적 구조를 일반화한다. 그룹₁ K(R)는 유닛^× R의 그룹과 밀접한 관계가 있으며, R이 필드라면 정확히 유닛 그룹이다. 숫자 필드 F의 경우, 그룹₂ K(F)는 클래스 필드 이론, 힐버트 기호 및 2차 방정식의 보완성과 관련이 있다. 이와는 대조적으로, 더 높은 K-그룹 반지들의 정확한 정의를 찾아낸 것은 다니엘 퀼렌의 어려운 업적이었고, 더 높은 K-그룹에 대한 많은 기본적인 사실들은 로버트 토마슨의 작업이 있기 전까지는 알려지지 않았다.

역사

K-이론의 역사는 찰스 와이벨이 상세히 기술했다.^[1]

그로텐디크 그룹₀ K

19세기에, 베른하르트 리만과 그의 제자 구스타프 로치는 현재 리만-로치 정리라고 알려진 것을 증명했다. X가 Riemann 표면인 경우, X 형태 벡터 공간에 meromorphic 함수와 meromorphic differential의 집합이 형성된다. X의 선다발은 이러한 벡터 공간의 서브스페이스를 결정하며, X가 투영적이라면 이 서브스페이스를 유한한 치수라고 할 수 있다. 리만-로치 정리에서는 이들 서브 스페이스 간의 치수 차이가 선다발 정도(비틀림의 척도)에 X의 속 1을 뺀 정도와 동일하다고 기술하고 있다. 20세기 중반에 리만-로치 정리는 프리드리히 히르제브루치에 의해 모든 대수적 품종으로 일반화되었다. 히르제브루흐의 공식화인 히르제브루흐-리만-로흐 정리에서는 그 정리가 오일러 특성에 관한 진술이 되었다. 대수적 다양성의 벡터 번들의 오일러 특성(이것은 그것의 동족학 그룹의 치수의 교대합)은 사소한 번들의 오일러 특성과 벡터 번들의 특성 등급에서 오는 보정 계수를 더한 것과 같다. 투사 리만 표면에서 선다발의 오일러 특성은 앞에서 언급한 치수 차이와 같으며, 사소다발 오일러 특성은 1에서 속은 빼며, 유일한 비유전적 특성 등급은 정도이기 때문에 일반화된다.

K-이론의 주제는 1957년 알렉산더 그로텐디크(Alexander Grotendieck)의 건설에서 그 이름을 따온 것으로, 그가 히르체브루흐의 정리를 일반화한 것이다.^[2] X를 매끄러운 대수적 다양성이 되게 하라. X의 각 벡터 번들에 그로텐디크는 불변성, 즉 그 부류를 연관시킨다. X에 관한 모든 수업의 집합은 독일 클라세로부터 K(X)라고 불렸다. 정의상 K(X)는 X에 있는 벡터 번들의 이소모르피즘 등급에 대한 자유 아벨리아 집단의 지수로, 그래서 아벨리아 집단이 된다. 벡터 번들 V에 해당하는 기본 요소가 [V]로 표시되어 있는 경우, 벡터 번들의 각 짧은 순서에 대해 다음 작업을 수행하십시오.

$V'에 0\to V'\to V'\to 0,}$

그로텐디크는 관계 [V] = [V]] + [V″]를 부과했다. 이러한 발전기와 관계는 K(X)를 정의하며, 정확한 순서와 호환되는 방식으로 벡터 번들에 불변제를 할당하는 보편적인 방법임을 암시한다.

그로텐디크는 리만-로치 정리가 품종 그 자체가 아니라 품종의 형태에 대한 진술이라는 관점을 취했다. 그는 K(X)에서 X의 차우 그룹까지 체른 캐릭터와 X의 토드 계급에서 오는 동형식이 있음을 증명했다. 덧붙여, 그는 부드러운 품종 Y에 대한 적절한 형태론 f : X → Y가 푸시포워드라고 불리는 동형성 f* : K(X) → K(Y)를 결정한다는 것을 증명했다. 이것은 X의 벡터 번들에서 Y의 차우 그룹의 요소를 결정하는 두 가지 방법을 제공한다: X에서 시작하여 K-이론에서 먼저 푸시포워드를 계산한 다음 Y의 체른 문자와 토드 클래스를 적용하거나, X의 체른 문자와 토드 클래스를 먼저 적용한 다음 차우 그룹에 대한 푸시포워드를 계산할 수 있다. 그로텐디크-리만-로치 정리는 이것들이 동등하다고 말한다. Y가 점일 때 벡터 번들은 벡터 공간이고, 벡터 공간의 클래스는 그 차원이며, 그로텐디크-리만-로치 정리는 히르체브루치의 정리를 전문으로 한다.

그룹 K(X)는 현재 K₀(X)로 알려져 있다. 투영 모듈로 벡터 번들을 대체하자, K는₀ 또한 표기를 그룹화하는 응용 프로그램이 있는 비전속 링에 대해 정의되었다. 아티야와 히르제브루치는 그로텐디크의 건축물을 위상학으로 신속하게 운반해 위상학 K 이론을 정의하는 데 사용했다.^[3] 위상학 K 이론은 비범한 코호몰로지 이론의 첫 번째 예 중 하나이다. 그것은 정규화 공리를 제외한 모든 에일렌베르크-스테인로드 공리를 만족시키는 일련의_n 그룹 K(X)를 각 위상학적 공간 X(일부 가벼운 기술적 제약조건 충족)와 연관시킨다. 그러나 대수적 변종들의 설정은 훨씬 더 견고하며, 위상에 사용된 유연한 구조는 이용할 수 없었다. K군은₀ 대수적 품종과 비전속적 고리의 코호몰로지 이론의 시초가 되기 위해 필요한 성질을 만족시키는 것처럼 보였지만, 더 높은_n K(X)에 대한 명확한 정의는 없었다. 그러한 정의가 개발되었음에도 불구하고, 제한과 접착을 둘러싼 기술적 문제들은 대개 K를_n 품종이 아닌 링에 대해서만 정의하도록 강요했다.

K₀₁₂, K, K

앞서 J.H.C는 그룹 링을 위해 K와₁ 밀접한 관련이 있는 그룹을 소개했다. 흰머리. 앙리 푸앵카레는 삼각측량 측면에서 다지관의 베티 숫자를 정의하려고 시도했었다. 그러나 그의 방법에는 심각한 차이가 있었다: 푸앵카레는 다지관의 두 삼각측정이 항상 같은 베티 숫자를 산출한다는 것을 증명할 수 없었다. 삼각측량을 세분화하여 베티 숫자가 변하지 않는 것은 분명했고, 따라서 공통분할을 공유하는 어떤 두 삼각측량도 동일한 베티수를 가지고 있는 것이 분명했다. 알려지지 않은 것은 어떤 두 삼각측량도 공통분할을 인정했다는 것이다. 이 가설은 Hauptvermutung(거의 "주요 추측")으로 알려진 추측이 되었다. 분할하에서는 삼각측량이 안정적이라는 사실이 J.H.C.를 이끌었다. 단순한 호모토피 타입의 개념을 소개하는 화이트헤드.^[4] 단순 호모토피 동등성은 단순 복합체나 셀 복합체에 단순체 또는 셀을 추가하는 관점에서 정의되며, 각각의 추가 단순체 또는 셀 변형이 구 공간의 하위 분할로 수축된다. 이 정의의 동기의 일부는 삼각형의 구획이 원래 삼각형과 동등한 단순 호모토피이므로 공통 구획을 공유하는 두 개의 삼각형은 단순 호모토피 등가여야 한다는 것이다. 화이트헤드는 토션이라고 불리는 불변제를 도입함으로써 단순한 호모토피 동등성이 호모토피 동등성보다 더 미세한 불변성임을 증명했다. 호모토피 동등성의 비틀림은 현재 화이트헤드 그룹이라고 불리는 그룹의 값을 취하며, 여기서 π은 두 단지의 기본 그룹인 Wh(Wh)를 가리킨다. 화이트헤드는 비독점적 비틀림의 예를 발견했고 따라서 일부 호모토피 동등성이 단순하지 않다는 것을 증명했다. 화이트헤드 집단은 후에 Zπ이 of의 일체형 집단 고리인₁ K(Zπ)의 몫으로 밝혀졌고, 이후 존 밀너는 화이트헤드 비틀림과 관련된 불변제인 레이데마이스터 토르시온을 이용해 하우프베르무퉁을 반증했다.

반지의 K에₁ 대한 첫 번째 적절한 정의는 하이만 바스와 스티븐 샤누엘에 의해 만들어졌다.^[5] 위상학 K 이론에서₁ K는 공간의 중단에 벡터 번들을 사용하여 정의된다. 그러한 벡터 묶음은 모두 두 개의 절반의 공간에 있는 두 개의 사소한 벡터 묶음들이 공간의 공통 띠를 따라 접착되어 있는 움켜잡는 구조에서 나온다. 이 접착 데이터는 일반 선형 그룹을 사용하여 표현되지만, 기본 행렬(기본 행 또는 열 연산에 해당하는 행렬)에서 나오는 해당 그룹의 요소들은 동등한 글루잉을 정의한다. 이것에 자극받아, 링 R의 K에₁ 대한 Bass-Schanuel 정의는 GL(R) / E(R)이며, 여기서 GL(R)은 무한 일반 선형 그룹(모든 GL_n(R)의 결합, E(R)는 초등 행렬의 하위 그룹이다. 그들은 또한 고리 동형성의 K에₀ 대한 정의를 제공했고₀ K와₁ K가 상대 동질학의 정확한 순서와 유사한 정확한 순서에 함께 들어맞을 수 있다는 것을 증명했다.

이 시기부터 K-이론에서의 작업은 Bass의 저서 Algebertic K-이론으로 절정에 달했다.^[6] 당시 알려진 결과에 대한 일관성 있는 설명을 제공하는 것 외에도, 바스는 이론의 많은 진술들을 개선했다. 특히 주목해야 할 것은 머시와의 초기 작업을 바탕으로 한 바스가 ^[7]현재 대수학 K 이론의 근본적인 정리라고 알려진 것에 대한 최초의 증거를 제공했다는 점이다. 이것은 R의 R과₀ R의₁ K, 다항 링 R[t], 국산화 R[t, t⁻¹]와 관련된 4개월의 정확한 순서다. 바스는 이 정리가 전적으로₁ K의 관점에서 K에₀ 대한 설명을 제공한다는 것을 인식했다. 이 설명을 재귀적으로 적용함으로써 마이너스 K-그룹_−n K(R)를 배출했다. 독립된 작업에서 막스 카루비는 특정 범주에 대해 부정적인 K-그룹에 대한 또 다른 정의를 내렸고 그의 정의가 바스의 그것과 같은 집단을 산출했다는 것을 증명했다.^[8]

그 다음으로 그 과목의 주요한 발전은 K의₂ 정의와 함께 왔다. 스타인버그는 한 분야에 걸쳐 체벌리 집단의 보편적인 중심 확장을 연구했고 발전기와 관계 측면에서 이 집단을 명시적으로 제시했다.^[9] 초등 매트릭스 그룹 E_n(k)의 경우, 현재 보편적 중앙 확장자는 St_n(k)라고 쓰여져 있으며 스타인버그 그룹이라고 불린다. 1967년 봄, 존 밀너(John Milnor)는 K₂(R)를 동형성 St(R) → E(R)의 알맹이로 정의했다.^[10] K₂ 그룹은 K와₁ K로₀ 알려진 정확한 시퀀스 일부를 더 확장했고, 숫자 이론에 놀라운 응용을 했다. 마츠모토 히데야의 1968년 논문은^[11], 필드 F의 경우₂, K(F)가 다음과 같은 이형성이 있다는 것을 보여주었다.

${\displaystyle F^{\time }\otimes _{\mathbf {Z}}{\time }/\langle x\otimes (1-x)\colon x\in F\setminus \{0,1\}\nangle .}$

이 관계도 힐버트 기호에 의해 충족되는데, 힐버트 기호는 국지적인 분야에 걸쳐 2차 방정식의 해결 가능성을 표현한다. 특히 존 테이트는 K₂(Q)가 본질적으로 이차적 상호주의 법칙을 중심으로 구조화되어 있다는 것을 증명할 수 있었다.

상위 K-그룹

1960년대 후반과 1970년대 초반에는 고등 K-이론에 대한 몇 가지 정의가 제안되었다. 스완과^[12] 게르스텐은^[13] 둘 다 모든 n에 대해_n K의 정의를 내렸고, 게르스텐은 자신과 스완의 이론이 동등하다는 것을 증명했지만, 두 이론이 기대되는 모든 성질을 만족시키는 것으로 알려져 있지는 않았다. 노빌레와 빌라마요르도 더 높은 K-그룹에 대한 정의를 제안했다.^[14] 카루비와 빌라마요르는 모든 n에 대해 얌전한 K그룹을 정의했지만,^[15] 그들의₁ K에 상당하는 것이 때로는 베이스-샤누엘 K의₁ 적절한 인용구였다. 그들의 K-그룹들은 현재_n KV라고 불리며 K-이론의 호모토피-인바리우스 수정과 관련이 있다.

부분적으로 마츠모토의 정리로부터 영감을 받아, 밀노르는 밭의 상위 K그룹에 대한 정의를 내렸다.^[16] 그는 자신의 정의를 "순수하게 특별하다"^[17]고 언급했고, 그것은 모든 반지에 일반화되는 것처럼 보이지도 않았고 더 높은 K 이론의 정확한 정의로 보이지도 않았다. 훨씬 후에 네스테렌코와 수슬린에^[18] 의해 그리고 토타로에 의해^[19] 밀노르 K-이론이 실제로 그 분야의 진정한 K-이론의 직접적인 요약이라는 것을 알게 되었다. 구체적으로는 K-groups는 중량 여과라는 여과가 있으며, 필드의 Milnor K-이론은 K-이론 중에서 가장 높은 중량 등급의 작품이다. 또한, 토마슨은 일반적인 품종에 대해 밀너 K 이론과 유사한 것이 없다는 것을 발견했다.^[20]

더 높은 K 이론에 대한 첫 번째 정의는 대니얼 퀼렌의 것이었다.^[21] 위상에서의 아담스 추측에 관한 퀼렌의 연구의 일환으로, 그는 분류 공간 BGL(F_q)에서 ψ^q - 1의 호모토피 섬유에 이르는 지도를 만들었는데, 여기서 ψ은^q 분류 공간 BU에 작용하는 q번째 아담스 작업이다. 이 지도는 반복적이며, 새로운 공간 BGL(F_q)을 만들기 위해 BGL(F_q)을 약간 수정한 후,⁺ 이 지도는 동종복피 동등성이 되었다. 이 수정은 플러스 구조라고 불렸다. 애덤스 작전은 그로텐디크의 작업 때부터 체른 계급과 K 이론과 관련이 있는 것으로 알려져 있었기 때문에 퀼렌은 R의 K 이론을 BGL(R)의 호모토피 그룹으로 규정하게 되었다.⁺ 이로 인해₁ K와₂ K가 회복되었을 뿐만 아니라, K-이론의 애덤스 작전과의 관계는 퀼렌이 유한 분야의 K-그룹을 계산할 수 있게 했다.

분류공간 BGL이 연결되어 있어서 퀼렌의 정의는 K에₀ 대한 정확한 값을 제시하지 못했다. 또한 부정적인 K-그룹도 주지 않았다. K는₀ 알려져 있고 수용된 정의를 가지고 있었기 때문에 이 난관을 회피하는 것이 가능했지만, 기술적으로는 여전히 어색했다. 개념적으로 문제는 그 정의가 고전적으로 K의₁ 근원이었던 GL에서 생겨난 것이었다. GL은 벡터 번들 자체에 대해서가 아니라 접착 벡터 번들에 대해서만 알고 있기 때문에 K를₀ 기술하는 것은 불가능했다.

퀼렌과의 대화에서 영감을 받은 시걸은 곧 γ-객체라는 이름으로 대수학 K-이론을 구성하는 또 다른 접근법을 도입했다.^[22] 시걸의 접근법은 그로텐디크의 K 건설을₀ 호모토피 아날로그로 표현한 것이다. 그로텐디크가 이소몰피즘 계급의 묶음으로 작업한 곳에서, 시걸은 그 묶음들을 직접 가지고 작업했고, 그의 데이터의 일부로 묶음의 이소몰피즘을 사용했다. 따라서 호모토피 그룹이 더 높은 K 그룹(K₀ 포함)인 스펙트럼이 발생한다. 그러나 시걸의 접근법은 일반적 정확한 순서가 아닌 정확한 순서가 분할된 것에 대해서만 관계를 부과할 수 있었다. 링 위의 투사 모듈 범주에서, 모든 짧은 정확한 시퀀스가 분할되므로, object-개체는 링의 K 이론을 정의하는 데 사용될 수 있다. 그러나 품종의 벡터 번들 범주와 링 위의 모든 모듈의 범주에 비분할적인 짧은 정확한 순서가 있으므로, 시걸의 접근법이 모든 관심 사례에 적용되는 것은 아니었다.

1972년 봄, 퀼렌은 더 높은 K 이론의 건설에 대한 또 다른 접근법을 발견했는데, 그것은 엄청난 성공을 증명하는 것이었다. 이 새로운 정의는 정확한 범주, 즉 모듈이나 벡터 번들의 범주에 의해 충족되는 속성과 유사하지만 약간 약한 어떤 형식 속성을 만족시키는 범주로 시작되었다. 이로부터 그는 "Q-구축"이라고 불리는 새로운 장치를 사용하여 보조 범주를 구성했다. 시걸의 γ-객체처럼 Q구축은 그로텐디크의 K의₀ 정의에 그 뿌리를 두고 있다. 그러나 Grotendieck의 정의와는 달리 Q-구축은 아벨 그룹이 아닌 범주를 형성하며, Segal의 γ-객체와는 달리 Q-구축은 짧은 정확한 시퀀스로 직접 작업한다. C가 아벨 범주인 경우 QC는 C와 물체는 동일하지만 형태는 C의 짧은 정확한 순서에 따라 정의되는 범주다. 정확한 범주의 K 그룹은 기하학적 실현의 루프 공간인 ΩBQC의 호모토피 그룹이다(루프 공간을 차지하면 인덱싱이 수정된다). 퀼렌은 K 이론에 대한 그의 두 가지 정의가 서로 일치했다는 자신의 "+ = Q 정리"를 추가로 증명했다. 이것은 정확한 K를₀ 산출하고 더 간단한 증거로 이어졌지만, 여전히 부정적인 K-그룹을 산출하지는 않았다.

모든 아벨 범주들이 정확한 범주들이지만, 모든 정확한 범주들이 아벨 범주인 것은 아니다. 퀼렌은 이 보다 일반적인 상황에서 일할 수 있었기 때문에, 정확한 범주를 그의 교정쇄에 도구로 사용할 수 있었다. 이 기법은 그가 대수학 K 이론의 많은 기본 이론들을 증명할 수 있게 해주었다. 또한, 스완과 게르스텐의 초기 정의가 특정 조건 하에서 퀼렌과 동일하다는 것을 증명할 수 있었다.

K-이론은 이제 반지에 대한 호몰로지 이론과 품종에 대한 호몰로지 이론으로 나타났다. 그러나, 그것의 많은 기본 이론들은 문제의 고리나 다양성이 규칙적이라는 가설을 실었다. 기본적인 기대 관계 중 하나는 버라이어티 X와 오픈 서브셋 U의 K 이론과 관련된 긴 정확한 순서("지역화 순서"라고 불림)이었다. 퀼렌은 완전한 일반성으로 지역화 순서의 존재를 증명할 수 없었다. 그러나 그는 G-이론(혹은 K-이론)이라고 불리는 관련 이론에 대해 그 존재를 증명할 수 있었다. G-이론은 Grotendieck에 의해 주제의 개발 초기에 정의되었다. Grotendieck는 다양한 X에 대해 G(X₀)를 X 상의 일관성 있는 깎기의 이형성 등급에 대한 자유 아벨리아 집단으로 정의했다. X 상의 모듈로 관계는 정합성된 깎기의 정확한 배열에서 오는 모듈로 관계. 후기 저자들이 채택한 범주형 체계에서, 변종의 K-이론은 벡터 번들 범주의 K-이론인 반면, 그것의 G-이론은 일관성 있는 피복 범주의 K-이론이다. 퀼렌은 G 이론에 대한 정확한 국산화 순서의 존재를 증명할 수 있을 뿐만 아니라, 일반 링이나 품종의 경우 K 이론이 G 이론과 동일하다는 것을 증명할 수 있었고, 따라서 일반 품종의 K 이론은 국산화 순서가 정확하다는 것을 증명할 수 있었다. 이 순서는 그 주제의 많은 사실들에 기초하였기 때문에, 규칙성 가설들은 더 높은 K 이론에 대한 초기 연구에 널리 퍼졌다.

위상에서의 대수 K 이론의 응용

대수학 K 이론이 위상에 가장 먼저 적용된 것은 화이트헤드의 화이트헤드 비틀림 건설이었다. C에 의해 밀접하게 연관된 건축물이 발견되었다. 1963년 T. C. Wall.^[23] 월은 유한 콤플렉스가 지배하는 공간 π은₀ K(Zπ)의 몫의 값을 취하며 일반화된 오일러 특성을 가지고 있다는 것을 발견했는데, 여기서 π은 공간의 기본 집단이다. 이 불변성 장애물은 불변성이 소멸할 경우에만 X가 유한복합체와 동등한 호모토피이기 때문에 월의 미세성 장애라고 불린다. Laurent Siebenmann은 그의 논문에서 경계를 가진 콤팩트 다지관의 내부가 되는 열린 다지관을 방해하는 월스와 유사한 불변성을 발견했다.^[24] 경계 M과 N을 가진 두 다지관이 (적절한 경우 TOP, PL 또는 DIF) 이형성 내부를 갖는 경우, 이들 사이의 이형성은 M과 N 사이의 h-코보르디즘을 정의한다.

화이트헤드 비틀림은 결국 K-테오틱 방식으로 더 직접적으로 재해석되었다. 이러한 재해석은 h-코보르디즘의 연구를 통해 이루어졌다. 두 개의 n차원 다지관 M과 N은 경계선이 M과 N의 절연 결합이고, M과 N을 W에 포함시키는 (n + 1)차원 다지관이 존재하는 경우 h-코보던트다지관이다(TOP, PL 또는 DIF 범주에서). Stephen Smale의 h-코보르디즘 정리에서는^[25] n ≥ 5, W가 콤팩트하고 M, N, W가 단순하게 연결되면 W가 실린더 M × [0, 1] (TOP, PL 또는 DIF에서 해당 시)에 이형성이 있다고 주장했다. 이 정리는 n ≥ 5에 대한 푸앵카레 추측을 증명했다.

M과 N이 단순히 연결되어 있다고 가정하지 않는다면 h-코보르디즘은 실린더가 될 필요가 없다. 마주르, ^[26]스털링스, 바덴에게 독립적으로 기인하는 s-코보르드주의 정리는 일반적인 상황을 다음과 같이 설명한다.^[27] h-코보르디즘은 포함 M ⊂ W의 화이트헤드 비틀림이 사라지는 경우에만 실린더다. 이것은 h-코보르디즘의 정리를 일반화한다. 왜냐하면 단순한 연결성 가설들은 관련 화이트헤드 집단이 사소한 것이라는 것을 암시하기 때문이다. 사실 s-코보르디즘의 정리는 h-코보디즘의 이소모피즘 계급과 화이트헤드 집단의 요소들 사이에 생체적 일치성이 있음을 암시한다.

h-코보르디즘의 존재와 관련된 분명한 질문은 그들의 독특함이다. 등가성의 자연적인 개념은 동위원소다. Jean Cerf는 최소 5차원의 매끄러운 다지관 M에 대해 h-코보르디즘의 동위원소 복제는 의사 이소토피라고 불리는 약한 개념과 동일하다는 것을 증명했다.^[28] 해처와 마차너는 사이비 이소토피 공간의 구성요소를 연구하여 그것을₂ K(Z of)의 지수와 연관시켰다.^[29]

s-코보르디즘 정리의 적절한 문맥은 h-코보디즘의 분류 공간이다. M이 CAT 다지관이라면 H^CAT(M)는 M에 h-코보디즘 묶음을 분류하는 공간이다. s-코보르디즘 정리는 이 공간의 연결된 요소 집합이 π₁(M)의 화이트헤드 그룹이라는 진술로 재해석할 수 있다. 이 공간은 화이트헤드 그룹보다 엄격히 더 많은 정보를 포함하고 있다. 예를 들어, 사소한 거미줄의 연결된 구성요소는 M에서 가능한 실린더를 설명하고 특히 다지관과 M × [0, 1] 사이에 있는 호모토피의 고유성을 방해하는 것이다. 이러한 질문들에 대한 고려는 발트하우젠이 그의 대수학 K 이론을 소개하도록 이끌었다.^[30] M의 대수 K-이론은 공간₁ A(M)로, K(Zπ₁(M)가 M에 대해 하는 것과 본질적으로 동일한 역할을 하도록 정의되어 있다. 특히 발트하우젠은 지도₁ K(Zπ₁(M)→Wh(M₁)를 일반화하고 호모토피 섬유가 동질학 이론인 공간 Wh(M)에 대한 지도가 A(M)에서 있다는 것을 보여줬다.

A이론을 완전히 발전시키기 위해 발트하우젠은 K이론의 기초에서 상당한 기술적 진전을 이루었다. 발트하우젠은 발트하우젠 카테고리를 소개했고, 발트하우젠 카테고리 C의 경우 C의 코피케이션 체인으로 정의된 단순 카테고리 SC_⋅(S는 시걸을 위한 것이다)를 소개했다.^[31] 이것은 K 이론의 기초를 정확한 시퀀스의 아날로그를 호출할 필요에서 해방시켰다.

대수 K 이론의 대수 위상 및 대수 기하학

퀼렌은 그의 제자 케네스 브라운에게 K-이론이 예를 들어줄 스펙트럼의 층 이론을 만드는 것이 가능할지도 모른다고 제안했다. K-이론 스펙트럼의 피복은 각 품종의 열린 부분 집합에 해당 열린 부분 집합의 K-이론을 연관시킬 것이다. 브라운은 그의 논문을 위해 그런 이론을 발전시켰다. 동시에 게르스텐도 같은 생각을 했다. 1972년 가을 시애틀 회의에서 그들은 함께 X에 있는 K-그룹들의_n 피복인$$${\displaystyle {Kn}_{}}$ ${\$의 피복합체에서 전체 공간의 K-그룹으로 수렴되는 스펙트럼 시퀀스를 발견했다. 이를 브라운-제르스텐 스펙트럼 시퀀스라고 부른다.^[32]

게르스텐의 K-그룹 덩어리 작업에 영향을 받은 스펜서 블로치는 정규 표면에서 코호몰로지 그룹 ${\displaystyle {H\mathrm{}}^{}}$ $2{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}X}$, ${\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle 2_{\mathrm{}}}$ )${\displaystyle H^{2}(X,{\mathcal{K}_{2})$가 X의 코다이멘션 2 사이클의 차우 그룹 CH²(X)에 이형체임을$$ 증명했다.^[33] 이에 영감을 받아 게르스텐은 부분 필드 F, K_n(R)가 있는 일반 국부 링 R의 경우 모든 n에 대해 K_n(F)에 주입한다고 추측했다. 곧 퀼렌은 R에 필드가 들어 있을 때 이것이 사실임을 증명했고,^[34] 이를 이용하여 그 사실을 증명했다.

${\displaystyle H^{p}(X, {\mathcal {K}_{p})\cong \operatorname {CH}^{p}(X)}$

완전히 이것은 Bloch의 공식으로 알려져 있다. 그 이후 게르스텐의 추측에 진전이 있었지만, 일반적인 사례는 아직 공개되지 않았다.

리히텐바움은 숫자 필드의 제타 함수의 특별한 값이 필드 정수 링의 K-그룹 단위로 표현될 수 있다고 추측했다. 이 특별한 값들은 정수의 고리(etal cohomology)와 관련이 있는 것으로 알려져 있었다. 따라서 퀼렌은 위상학적 K-이론에서 아티야-히르제브루흐 스펙트럼 시퀀스와 같은 스펙트럼 시퀀스의 존재를 예측하면서 리히텐바움의 추측을 일반화했다.^[35] Quillen의 제안된 스펙트럼 시퀀스는 링 R의 에테일 코호몰로지로부터 시작되며, R의 초기 l 변환불능에서 완료한 후 R의 K 이론의 l-adic 완료에 따른다. 리히텐바움이 연구한 사례에서 스펙트럼 시퀀스는 퇴화하여 리히텐바움의 추측을 낳게 된다.

프라임 l에서 국소화의 필요성은 브라우더에게 계수가 유한한 K 이론의 변형이 있어야 한다는 것을 시사했다.^[36] 그는 Z/LZ-벡터 공간인 K-이론 그룹_n K(R; Z/lZ)를 소개하면서 위상 K-이론에서 Bott 원소의 아날로그를 찾아냈다. 수울은 이 이론을 에탈 코호몰로지 수업으로 대수학 K 이론의 요소를 가져간 위상학 체른 수업의 아날로그인 "에탈 체른 수업"을 구성하기 위해 사용했다.^[37] 대수학 K-이론과 달리 에테일 코호몰로지(Etale cohomology)는 계산성이 높기 때문에 에테일 체르누스 계급은 K-이론에 원소가 존재한다는 것을 탐지하는 효과적인 도구를 제공했다. 윌리엄 G. 드와이어와 에릭 프리드랜더는 그 후 에테일 K-이론이라 불리는 에테일 위상에 대한 K-이론의 아날로그를 발명했다.^[38] 복잡한 숫자에 걸쳐 정의되는 변종의 경우, 에테일 K 이론은 위상 K 이론에 대해 이형성이 있다. 게다가, 퀼렌이 추측한 것과 비슷한 스펙트럼 시퀀스를 인정하였다. 토마손은 1980년경 Bottle 원소를 뒤집은 후 유한계수를 갖는 대수학 K 이론이 ettal K 이론에 대해 이소모르픽이 되었다는 것을 증명했다.^[39]

1970년대와 1980년대 초반에 걸쳐, K 이론은 여전히 적절한 기초가 부족했다. 퀼렌의 K-이론이 정확한 집단을 주었다고 믿었지만, 이들 집단이 모든 예상된 재산을 가지고 있다는 사실은 알려져 있지 않았다. 이를 위해 대수학 K이론을 개편해야 했다. 이것은 토마슨이 죽은 친구 토마스 트로보에게 보낸 긴 일기에서 한 것인데, 토마슨은 꿈속에서 그에게 중요한 아이디어를 주었다고 말했다.^[40] 토마손은 발트하우젠의 K이론 구축과 그로텐디크의 세미나레르 드 게오메트리 알제브리크 뒤 보이스 마리 6권에 기술된 교차로 이론의 기초를 결합시켰다. 그곳에서 K는₀ 대수품종에 관한 단지의 측면에서 서술되었다. 토마손은 한 사람이 셰이브의 파생된 범주에서 작업했다면, 셰이브의 콤플렉스가 어떤 종류의 오픈 서브셋에서 전체 품종으로 확장될 수 있는지에 대한 간단한 설명이 있다는 것을 발견했다. 발트하우젠의 K이론 구축을 파생된 범주에 적용함으로써 토마슨은 대수학 K이론이 코호몰로지 이론의 모든 예상 특성을 가지고 있다는 것을 증명할 수 있었다.

1976년 키스 데니스는 Hochschild homology에 기초한 K-이론을 계산하는 완전히 새로운 기술을 발견했다.^[41] 이는 K-이론에서 헉차일드 호몰로지까지의 동형성인 데니스 추적 지도의 존재를 중심으로 한 것이었다. 데니스 추적 맵은 계수가 유한한 K 이론의 계산에는 성공하는 것처럼 보였지만, 합리적인 계산에는 성공적이지 못했다. 굿윌리는 그의 "환자의 미분"에 동기부여를 받아 K이론과 헉차일드 호몰로지(Hochschild homology)에 매개되는 이론의 존재를 추측했다. 그는 이 이론을 위상학적 호치차일드 호몰로지라고 불렀다. 왜냐하면 그 지상고리는 구 스펙트럼이어야 하기 때문이다(호모토피까지만 연산이 정의되는 링으로 간주된다). 1980년대 중반, 복스테트는 위상학 헉샤일드 호몰로지(Topological Hochschild homology)에 대한 정의를 내려 굿윌리의 추측 성질을 거의 모두 만족시켰고, 이로 인해 K-그룹에 대한 추가 연산이 가능해졌다.^[42] 보크스테트의 데니스 트레이스 맵 버전은 스펙트럼 K → THH의 변형이었다. 이 변환은 주기적 동질학과의 관계를 제안하는 THH에 대한 원 작용의 고정된 지점을 통해 고려되었다. 노비코프 추측의 대수학 K이론적 아날로그를 증명하는 과정에서 복스테트, 흐샹, 마드센은 위상학 순환동원리를 도입하였는데, 위상학 호치차일드 호몰로지와의 관계도 헉차일드 호몰로지(Hochschild homology)^[43]와 동일하다. 데니스 추적 맵은 위상학적 주기적 호몰로지(hochschild homology)를 통해 위상학적 호몰로지 인자에 대한 지도로, 계산에 훨씬 더 상세한 도구를 제공한다. 1996년 던다스, 굿윌리, 매카시 등은 위상학적 순환 동질학이 대수학 K 이론과 동일한 국소 구조를 가지고 있다는 것을 증명하여 K 이론이나 위상학적 순환 동질학의 계산이 가능하다면 다른 많은 "근거" 계산이 뒤따른다.^[44]

하위 K-그룹

하위 K-그룹들이 먼저 발견되었고, 다양한 특별 설명이 주어졌는데, 이는 여전히 유용하다. 전체적으로 A를 링이 되게 한다.

K₀

Functor K는₀ 정확히 생성된 투사 모듈들의 이형성 등급 집합의 그로텐디크 그룹에 A를 가져가는데, 이는 직접 합계로 단노이드로 간주된다. 임의의 링 동형성 A → B는 투사성 A-모듈 M을 M _Ab B에 매핑(클래스)하여₀₀ 지도 K(A) → K(B)를 주어 K를 공변성 functor로 만든다₀.

링 A가 역류적인 경우, K₀(A)의 부분군을 집합으로 정의할 수 있다.

${\displaystyle {\tilde {K}_{0}\왼쪽(A\오른쪽)=\빅캡 \limits _{\mathfrak{p}{{\text}{{}}}}}A}\mathrm {Ker}의 프라임 이상 \dim_{\mathfak{p},},}$

여기서:

${\displaystyle \cHB_{\mathfrak{p}}:K_{0}\왼쪽(A\right)\\to \mathbf {Z}}$

정밀하게 생성된 투사형 A-모듈 M의 각 (class of a)을 자유 A ${\displaystyle {p\mathfrak{}}_{}}$ ${\$ -모듈$$ M ${\displaystyle {p\mathfrak{}}_{}}$ ${\$의 등급으로 전송하는 맵이다($$로컬 링 위에서 정밀하게 생성된 투사형 모듈은 무료임). ${\displaystyle {이}_{\mathrm{}}}$ $부분군{\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ K${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$~ ${\displaystyle 0{}_{}}$( A${\displaystyle }$) ${\$오른쪽$)$은 A의 축소된 제롯 K 이론으로 알려져$$ 있다.

B가 신분 요소가 없는 고리라면 다음과 같이 K의₀ 정의를 확장할 수 있다. Let A = B⊕Z는 정체성 요소(0,1)에 결합하여 얻은 단결성을 가진 링에 B를 확장하는 것이다. B → A → Z의 짧은 정확한 순서가 있으며, 우리는₀ K(B)를 해당 지도₀ K(A) → K(Z₀) = Z의 커널로 정의한다.^[45]

예

• (투사형) 필드 k 위의 모듈은 벡터 공간이며, K₀(k)는 치수에 의해 Z에 이형이다.
• 로컬 링 A에 대해 정밀하게 생성된 투영 모듈은 무료이므로 이 경우 K₀(A)는 등급별로 Z에 이형이다.^[46]
• A a Dedekind 도메인의 경우, K₀(A) = Pic(A) z Z, 여기서 Pic(A)는 A의 Picard 그룹이다.^[47]

이 구조의 알헤브로-기하학적 변종은 대수적 변종 범주에 적용되며, X에 있는 국소적 자유 껍질(또는 일관적인 껍질) 범주의 Grotendieck의 K-그룹과 연관된다. 콤팩트한 위상학적 공간 X를 주어진다면 X를 넘는 (실제) 벡터 번들의 위상학적 K-이론 K^top(X)는 X의 연속적 실질 가치 함수 링의 K와₀ 일치한다.^[48]

상대₀ K

내가 A의 이상이 되게 하고 "double"을 카트리지 제품 A×A의 서브링으로 정의한다.^[49]

$[\displaystyle D(A,I)=\{(x,y)\in A:x-y\in I\}\}$

상대적인 K 그룹은 "double"^[50]의 관점에서 정의된다.

${\displaystyle K_{0}(A,I)=\ker \left({K_{0}(D(A,I))\오른쪽 화살표 K_{0}\.}$

첫 번째 인자를 따라 투영하여 지도를 유도하는 경우.

상대적인 K₀(A,I)는 K₀(I)와 이형이며, I를 신분 없는 링으로 간주한다. A로부터의 독립은 호몰로지에서의 Excision 정리를 아날로그화한 것이다.^[45]

K₀ as a ring

만약 A가 정류 링이라면, 투사 모듈의 텐서 제품은 다시 투사적이기 때문에, 텐서 제품은 K를₀ 클래스 [A]를 정체성으로 하는 정류 링으로 바꾸도록 유도한다.^[46] 외관 제품도 마찬가지로 λ링 구조를 유도한다. Picard 그룹은 단위₀ K(A) 그룹의 하위 그룹으로 편입된다.^∗[51]

K₁

하이먼 바스는 이 정의를 제공했는데, 이 정의는 링의 단위 그룹을 일반화하는 것이다: K₁(A)는 무한 일반 선형 그룹의 아벨리안화다.

${\displaystyle K_{1}(A)=\operatorname {GL}(A)^{\mbox{ab}}=\operatorname {GL}/[\operatorname {GL}(A),\operatorname {GL}(A)]}$

여기

${\displaystyle \operatorname {GL}(A)=\operatorname {colim} \operatorname {GL}(n,A)}$

왼쪽 상단 블록 매트릭스로 GL(${\displaystyle n}$ + 1)에 포함된 GL(n)의 직접 한계로,${\displaystyle }$[ ${\displaystyle \mathrm{GL})}$ (${\displaystyle }$A ) , ${\displaystyle \mathrm{GL}}$ ${\displaystyle }$( A${\displaystyle }$) ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle[\operatorname {GL}(A)],\operatorname {GL}(A)}$이(가)}의 정류자 하위군이다. 기본 행렬을 ID 행렬과 단일 대각선 원소의 합으로 정의한다(이것은 선형 대수에서 사용되는 기본 행렬의 부분 집합이다). 화이트헤드의 보조정리기는 기본 매트릭스에 의해 생성된 그룹 E(A)가 정류자 하위 그룹 [GL(A), GL(A)]과 동일하다고 말한다. 실제로 그룹 GL(A)/E(A)는 화이트헤드에 의해 처음 정의되고 연구되었으며,^[52] 링 A의 화이트헤드 그룹으로 불린다.

상대₁ K

상대적인 K 그룹은 "double"^[53]의 관점에서 정의된다.

${\displaystyle K_{1}(A,I)=\ker \left({K_{1}(D(A,I))\오른쪽 화살표 K_{1}$

자연적으로 정확한 순서가^[54] 있다.

${\displaystyle K_{1}(A,I)\오른쪽 화살표 K_{1}(A)\오른쪽 화살표 K_{1}{1}(A/I)\오른쪽 화살표 K_{0}(A,I)\오른쪽 화살표 K_{0}(A)\오른쪽 화살표 K_{0}(A/I)\.$

정류 링 및 필드

교감 링의 경우 A의 단위 그룹에 결정요인 디트로 GL(A) → A*를 정의할 수 있으며, 이는 E(A)에서 소멸되어 지도 디트로 내려간다. K₁(A) → A*. E(A) ◅ SL(A)로서 특수 화이트헤드 그룹 SK₁(A) := SL(A)/E(A)를 정의할 수도 있다. 이 지도는 지도 A* → GL(1, A) → K₁(A) (왼쪽 상단 모서리에 있는 단위)를 통해 분할되며, 따라서 위에 있으며, 다음과 같이 분할된 짧은 정확한 순서를 산출하는 특수 화이트헤드 그룹을 커널로 가지고 있다.

${\displaystyle 1\to SK_{1}(A)\to K_{1}(A)\to A^{*}\to 1,}$

즉, 특수 선형 그룹을 정의하는 일반적인 분할된 짧은 정확한 시퀀스의 몫이다.

${\displaystyle 1\to \operatorname {SL}(A)\to \operatorname {GL}to A^{*}\to 1.}$

A* = GL₁(A) 단위 그룹을 일반 선형 그룹 GL(A)에 포함시켜 결정 인자를 분할하므로₁ K(A) 단위 그룹과 특수 화이트헤드 그룹: K₁(A) ≅ A* ⊕ SK₁(A)의 직접 합으로 분할한다.

A가 유클리드 도메인(예: 필드, 또는 정수)일 때₁ SK(A)는 소멸하고, 결정요인 지도는₁ K(A)에서^∗ A로 이형화된다.^[55] 이것은 PID의 경우 일반적으로 거짓이므로 모든 PID에 일반화되지 않는 유클리드 영역의 희귀한 수학 특성 중 하나를 제공한다. SK가₁ 0이 아니라는 노골적인 PID는 1980년 이스체벡이, 1981년 그레이슨이 각각 부여했다.^[56] A가 지수장이 대수적 수 필드(합리성의 유한한 확장자)인 데데킨드 도메인이라면 밀너(1971, 코롤리 16.3)는 SK₁(A)가 사라지는 것을 보여준다.^[57]

SK의₁ 소멸은 GL의 GL 이미지에 의해₁ K가₁ 생성된다는 뜻으로 해석할 수 있다. 이것이 실패하면 GL의₂ 이미지에 의해 K가₁ 생성되는지 여부를 물을 수 있다. 디데킨드 도메인의 경우, 실제로 K는₁ GL의 GL과₁ SL의₂ 영상에 의해 생성된다.^[56] SL에₂ 의해 생성된 SK의₁ 부분군은 메니키 기호로 연구될 수 있다. 최대 이상에 의한 모든 인수가 유한한 데데킨드 도메인의 경우 SK는₁ 비틀림 그룹이다.^[58]

비전향 링의 경우 일반적으로 결정 인자를 정의할 수 없지만, 지도 GL(A) → K₁(A)는 결정 인자의 일반화다.

중앙단순알헤브라스

필드 F에 대한 중앙 단순 대수 A의 경우, 축소된 규범은 지도 K₁(A) → F^∗(A₁) 및 SK(A)를 커널로 정의할 수 있는 결정 인자의 일반화를 제공한다. 왕씨의 정리에는 A씨가 프라임학위를 갖고 있다면₁ SK(A)는 사소하며,^[59] 이는 정사각형 자유학위까지 확대될 수 있다고 명시돼 있다.^[60] 왕 교수는 또 SK₁(A)가 숫자 분야보다 어떤 중앙 단순 대수학에도 시시콜콜하다는 점을 보여줬지만 플라토노프는₁ SK(A)가 비교가 안 되는 학위 프라임 스쿼드의 알헤브라를 예로 들었다.^[61][60]

K₂

존 밀너(John Milnor)는 K의₂ 올바른 정의를 찾아냈다: 그것은 A의 스타인버그 그룹 St(A)의 중심이다.

지도 커널로도 정의할 수 있다.

${\displaystyle \varphi \colon \operatorname {St}(A)\mathrm {GL}(A),}$

또는 기초 행렬 그룹의 슈르 승수로서.

한 분야의 경우, K는₂ 스타인베르크 기호에 의해 결정되는데, 이것은 마츠모토의 정리를 이끈다.

유한한 어떤 분야에 대해서도 K는₂ 0이라고 계산할 수 있다.^[62][63] K₂(Q)의 계산은 다음과 같이 복잡하다. 테이트가 증명했다^[63][64].

${\displaystyle K_{2}(\mathbf {Q} )=(\mathbf {Z} /4)^{*}\time \prod _{p{\text{홀수 premy}}}(\mathbf {Z} /p)^{*}\}\}}}}}}}}}}}$

그리고 그 증거가 가우스의 이차적 상호주의 법칙의 첫 번째 증거를 따랐다고 말했다.^[65][66]

비 아르키메데스 지역 필드의 경우, 그룹₂ K(F)는 순서 m의 유한 순환 그룹과 분할 그룹 K₂(F)의 직접 합이다.^m[67]

우리는₂ K(Z) = Z/2를 가지고 있으며,^[68] 일반적으로 K는₂ 숫자 필드의 정수 링에 대해 유한하다.^[69]

n을 4로 나누면 K₂(Z/n) = Z/2가 되고, 그렇지 않으면 0이 된다.^[70]

마츠모토의 정리

마츠모토의 정리에는 필드 k의 경우, 제2의 K 그룹은 에 의해^[71][72] 주어진다.

${\displaystyle K_{2}(k)=k^{\time }\otimes _{\mathbf {Z}{}k^{\time }/\langle a\otimes (1-a)\mid =0,1\nangle .}$

마츠모토의 본래의 정리는 한층 더 일반적이다. 어떤 루트 시스템에 대해서도 불안정한 K 이론에 대해 발표한다. 이 프리젠테이션은 여기에 제시된 동시적 뿌리 시스템에 대해서만 제시된 것과 다르다. 비증상적 루트 시스템의 경우, 루트 시스템과 관련하여 불안정한 두 번째 K 그룹은 정확히 GL(A)을 위한 안정적인 K 그룹이다. 불안정한 두 번째 K-그룹(이 맥락에서)은 주어진 루트 시스템에 대해 범용 유형의 Chevalley 그룹의 범용 중앙 확장인 커널을 취함으로써 정의된다. 이 구조는 루트 시스템 A_n(n > 1) 및 한계에 안정적인 두 번째 K-그룹에 대한 스타인버그 확장자의 커널을 산출한다.

긴 정확 시퀀스

A가 분수 F의 필드가 있는 데데킨드 도메인이라면, 정확한 순서가 길다.

${\displaystyle K_{2}F\rightarrow \oplus _{\mathbf {p}{{1}A/{\mathbf {p}\rightarrow K_{1}A\rightarrow K_{1}F\rightarrow \oplus _{\mathbf {p}A/{\mathbf {p}\rightarrow K_{0}A\오른쪽 화살표 K_{0}F\오른쪽 화살표 0\ }$

여기서 p는 A의 모든 주요한 이상에 걸쳐 있다.^[73]

상대 K와₁ K₀:^[74]에 대한 정확한 순서의 연장도 있다.

${\displaystyle K_{2}(A)\오른쪽 화살표 K_{2}(A/I)\오른쪽 화살표 K_{1}(A,I)\오른쪽 화살표 K_{1}(A)\cdots.}$

페어링

K에는₁₂ K의 값이 있는 페어링이 있다. A에 대한 통근 행렬 X와 Y를 볼 때, X,Y를 이미지로 하는 스타인버그 그룹의 요소 X와 Y를 취한다. 정류자 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{y}}^{}}$- 1 ${\$^{-1}y$^{-1}$는 K의₂ 원소다$$.^[75] 그 지도가 항상 허탈한 것은 아니다.^[76]

밀너 K이론

필드 k의 K에₂ 대한 위의 표현은 Milnor를 "높은" K-그룹에 대한 다음과 같은 정의로 이끌었다.

${\displaystyle K_{*}^{M}(k):=T^{*}(k^{\times }}/(a\otimes (1-a),})$

따라서 양면 이상에 의해 생성된 승수 그룹^× k의 텐서 대수의 점수의 등급화된 부분으로서

$\displaystyle \left\{a\otimes (1-a):\ a\neq 0,1\right\}.}$

n = 0,1,2의 경우 이 값은 아래의 값과 일치하지만, n 3 3의 경우 일반적으로 다르다.^[77] 예를 들어, n ≧ 2의 경우 K^M
_n(F_q) = 0이 있지만, 홀수 n의 경우 KF가_nq 0이 아니다(아래 참조).

The tensor product on the tensor algebra induces a product ${\displaystyle K_{m}\times K_{n}\rightarrow K_{m+n}}$ making ${\displaystyle K_{*}^{M}(F)}$ a graded ring which is graded-commutative.^[78]

The images of elements ${\displaystyle a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{n}}$ in ${\displaystyle K_{n}^{M}(k)}$ are termed symbols, denoted ${\displaystyle \{a_{1},\ldots ,a_{n}\}}$. For integer m invertible in k there is a map

${\displaystyle \partial :k^{*}\오른쪽 화살표 H^{1}(k,\mu _{m})$

여기서 ${\displaystyle {\mu m}_{}}$ ${\$은 k의 어떤 분리 가능한 확장에서 통일의 m-th 뿌리 그룹을 의미한다$$. 까지 확장된다.

${\displaystyle \partial ^{n}}k^{*}\time \cdots \time k^{*}\오른쪽 화살표 H^{k,\mu _{m}^{\otime n}\right)\}}}}}}}$

Milnor K-group의 정의로운 관계를 만족시키는 것. 따라서 ∂${\displaystyle {\mathrm{}}^n}$ ${\$$}}}$은(는)^[79] Kn${\displaystyle {}_{}^{}}$M ( k )${\$displaystyle K_{$n}^{M}(k)}$에 있는 지도로 간주할$$ 수 있다$.$

이 분야의 에탈 (또는 갈루아) 코호몰로지(Cohomology)와 밀노르 K-이론모듈로 2의 관계는 블라디미르 보보드스키에 의해 증명된 밀노르 추측이다.^[80] 홀수 프라임의 유사성 진술은 보에보드스키, 로스트 등에 의해 증명된 블로흐-카토 추측이다.

고등 K이론

상위 K-그룹에 대한 허용 정의는 퀼렌(1973년)에 의해 제시되었으며, 그 기간 동안 몇 가지 호환되지 않는 정의가 제시되었다. The object of the program was to find definitions of K(R) and K(R,I) in terms of classifying spaces so that R ⇒ K(R) and (R,I) ⇒ K(R,I) are functors into a homotopy category of spaces and the long exact sequence for relative K-groups arises as the long exact homotopy sequence of a fibration K(R,I) → K(R) → K(R/I).^[81]

퀼렌은 "플러스 건설"과 "Q 건설"이라는 두 가지 공정을 주었고, 후자는 이후 다른 방식으로 수정되었다.^[82] 두 시공은 동일한 K-그룹을 산출한다.^[83]

+구축

더 높은 대수학 K 이론에 대한 하나의 가능한 정의는 퀼렌에 의해 주어졌다.

${\displaystyle K_{n}(R)=\pi _{n}(B\operatorname {GL}(R)^{+}),}$

여기서 π은_n 호모토피 그룹이고, GL(R)은 무한에 이르는 매트릭스 크기에 대한 R 이상의 일반 선형 그룹의 직접 한계, B는 호모토피 이론의 분류 공간 구성이며, 퀼렌 플러스 구조다. 그는 원래 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle L_{}}$ n ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ q${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle GL_{n}(\mathb {F} _{q})$의 그룹 코호몰리를 연구하다가 이 아이디어를 발견했으며, 자신의$$^[84] 계산 중 일부가 $K{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle K_{1}(\mathb {F} _{q})$과 관련이 있다고 언급했다$.$

이 정의는 n > 0만을 유지하므로 종종 다음과 같은 방법으로 더 높은 대수 K 이론을 정의한다.

${\displaystyle K_{n}(R)=\pi _{n}(B\operatorname {GL}(R)^{+}\time K_{0}(R))}$

BGL(R)⁺은 경로가 연결되고 K₀(R)가 분리되기 때문에 이 정의는 더 높은 도에서 차이가 없고 n = 0으로 유지된다.

Q-구축

Q-구축은 +구축과 같은 결과를 주지만 더 일반적인 상황에서는 적용된다. 더욱이, 이 정의는 Q구성을 통해 정의되는 K-그룹들이 정의에 의해 functorial이라는 점에서 더 직접적으로 정의된다. 이 사실은 플러스 구조에 있어서 자동적으로 이루어지는 것이 아니다.

$P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$이(가) 정확한 범주라고 가정하십시오. $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$과(와) 관련된 새로운$$ 범주 $Q{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle QP}$이($가{\displaystyle }$) 정의되었으며$$, 개체는 P ${\displaysty P}$이며 M′에서 M″까지의 형태는 다이어그램의 이형성 등급이라고 가정하십시오.

${\displaystyle M'\long 왼쪽 화살표 N\longrightarrow M')}$

여기서 첫 번째 화살표는 허용 가능한 경구형이고 두 번째 화살표는 허용 가능한 단구형이다. $Q{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle QP}$의 형태론은 동기의 범주에 있는 형태론의 정의와 유사하며$$, ${\displaystyle \mathrm{여기}}$서 형태론은 $다음$과 같이$$ Z ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \times }$ Y ${\displaystyle Z\subset X\time Y}$에 대응되는 것으로 주어진다.

$(\displaystyle X\왼쪽 화살표 Z\오른쪽 화살표 Y}$

왼쪽의 화살표가 피복지도(피복추적)이고 오른쪽의 화살표가 주입된 다이어그램이다. ${\displaystyle 이}$ 범주는 Q P ${\displaystyle QP}$의 신경의 기하학적 실현으로 정의되는 분류 공간 $구성{\displaystyle }$ B ${\displaystyle Q}$ P ${\displaystyle BQP}$을 사용하여 위상학적 공간으로 전환할 수 있다$.$ 그런 다음, 정확한 범주 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$의 i번째 K-그룹이 정의된다$$.

${\displaystyle K_{i}(P)=\pi _{i+1}(\mathrm {BQ} P,0)}$

고정 제로 객체 $0{\displaystyle }$ {\$displaystyle$ 0$}$과(${\displaystyle 와\mathcal{}}$$)$ 함께 그룹형 B G ${\$ B${\mathcal{G}$의 분류 공간은 호모토피 그룹을 1도 위로 이동하므로$$ ${\displaystyle {Ki}_{}}$ ${\$의 이동은 공간의 ${\displaystyle {space}_{}}$ i + ${\$이다.

이 정의는 위의 K₀(P)의 정의와 일치한다. 만약 P가 정밀하게 생성된 투영 R-모듈의 범주라면, 이 정의는 위의 모든 n에 대한 K_n(R)의 BGL⁺ 정의와 일치한다. 더 일반적으로, 체계 X의 경우, 상위 K-그룹 X는 지역적으로 자유로운 (정확한 범주의) X의 K-그룹으로 정의된다.

또한 다음과 같은 변형도 사용된다: 미세하게 생성된 투영 모듈(= 국소적으로 무료) 대신 미세하게 생성된 모듈을 취한다. 결과 K 그룹은 대개 G_n(R)로 표기된다. R이 노메트리안 일반 반지일 때 G-와 K-이론이 일치한다. 실제로 일반 링의 글로벌 치수는 유한하다. 즉, 미세하게 생성된 모든 모듈은 유한한 투사 분해능_* P → M을 가지며, 간단한 논거로 표준 지도 K₀(R) → G₀(R)가 [M]=σ ± [P_n]와 함께 이형성임을 알 수 있다. 이러한 이형성은 더 높은 K그룹에도 확장된다.

S-구축

월트하우젠에 의해 세 번째 K-이론 집단의 건설은 S-건설이다.^[85] 그것은 공동체가 있는 범주(발트하우젠 범주라고도 한다)에 적용된다. 이것은 정확한 범주보다 더 일반적인 개념이다.

예

퀼렌 대수학 K-이론이 대수 기하학 및 위상의 다양한 측면에 대한 깊은 통찰력을 제공했지만, K-그룹들은 몇 가지 고립되어 있지만 흥미로운 경우를 제외하고는 특별히 계산하기 어려운 것으로 입증되었다. (또한: 필드의 K-그룹을 참조하십시오.)

유한장 대수 K-군

링의 상위 대수 K 집단에 대한 첫 번째와 가장 중요한 계산 중 하나는 유한한 장의 경우를 위해 퀼렌 자신이 만들었다.

F가_q q 원소를 갖는 유한한 필드인 경우:

• K₀(F_q) = Z,
• K_2i(F_q) = i ≥1의 경우 0,
• K_2i–1(F_q) = i ≥ 1의 경우 Z/(q ⁱ - 1)Z.

릭 자딘(1993)은 다른 방법을 사용하여 퀼렌의 계산을 비난했다.

대수 K-정수의 링 그룹

퀼렌은 A가 대수적 숫자 필드 F(합리성의 유한 확장)에서 대수적 정수의 링이라면 A의 대수적 K-그룹들이 미세하게 생성된다는 것을 증명했다. Armand Borel은 이를 사용하여_i K(A)와_i K(F) 모듈로 비틀림을 계산했다. 예를 들어, 정수 Z에 대해 보렐은 (모듈로 비틀림)을 증명했다.

• K_i(Z)/토르.==4k+1이고 k+가 아닌 경우 =0 for positive i
• K_4k+1(Z)/토르.= 양의 k에 대한 Z

K_2i+1(Z)의 비틀림 부분군, 그리고 유한집단 K_4k+2(Z)의 순서는 최근에 결정되었지만, 후자의 집단이 순환적인지 여부, K_4k(Z) 집단이 소멸하는지는 사이클로틱 정수의 계급 집단에 대한 밴디버의 추측에 달려 있다. 자세한 내용은 Quillen-Lichtenbaum 추측을 참조하십시오.

애플리케이션 및 개방형 질문

대수 K 그룹은 L-기능의 특별한 가치에 대한 추측과 이와사와 이론의 비확정적 주요 추측의 공식화 및 상위 규제기관의 구축에 사용된다.^[69]

파신의 추측은 유한한 분야에 걸쳐 부드러운 품종에 대한 더 높은 대수적 K-그룹에 관한 것이며, 이 경우 그 집단은 비틀림까지 사라진다고 기술하고 있다.

Hyman Bass (Bass의 추측)에 의한 또 다른 근본적인 추측에 의하면 모든 G_n(A) 그룹은 A가 미세하게 생성된 Z-algebra일 때 미세하게 생성된다. (G_n(A) 그룹은 미세하게 생성된 A-module 범주의 K-그룹이다.)

참고 항목

• 블록 공식
• 대수 K 이론의 기본 정리
• 대수학 K 이론의 기본 이론
• 케이이론
• 범주의 K-이론
• 필드의 K 그룹
• K이론 스펙트럼
• 레드시프트 추측
• 위상 K이론
• 강성(K-이론)

메모들

참조

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추가 읽기

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교육학 참고 문헌

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과거 참조

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외부 링크

• K 이론 프리프린트 아카이브