J동형성

수학에서 J동형성은 특수직교 그룹의 호모토피 그룹에서 구들의 호모토피 그룹까지의 매핑이다.그것은 조지 W에 의해 정의되었다. 화이트헤드(1942년), 하인츠 홉프(1935년)의 건설을 연장했다.

정의

화이트헤드의 원래 동형성은 기하학적으로 정의되며, 동형성을 부여한다.

${\displaystyle J\colon \pi _{r}(\mathrm {SO}(q))\pi _{r+q}(S^{q})\,\!}$

정수 q $및{\displaystyle }$r {$$2 {\$displaystyle r\geq$ 2$\}$의 아벨 그룹(Hopf는 특수 $사례{\displaystyle q}$= ${\displaystyle \mathrm{r}}$ +$$1 {\$displaystyle q=r$+1$}$에 대해 이를 정의했다.)$$

J동형성은 다음과 같이 정의할 수 있다.특수 직교 그룹 SO(q)의 요소는 지도로 간주할 수 있다.

${\displaystyle S^{q-1}\오른쪽 화살표 S^{q-1}$

호모토피 그룹 ${\displaystyle {\pi r}_{}\mathrm{SO}}$ ${\displaystyle }$ (${\displaystyle q}$ ) ${\displaystyle \pi _{r}(\operatorname {SO} (q$은 r-sphere에서 SO(q)에 이르는 지도의 호모토피 클래스로 구성된다.따라서 $\pi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle r_{}}$( ${\displaystyle \mathrm{SO}}$ ${\displaystyle }$ (${\displaystyle q}$ ) ${\displaystyle \pi _{r}(\operatorname$ {$SO}$ $(q)})$의 요소를 지도로 나타낼 수 있다$$.

${\displaystyle S^{r}\time S^{q-1}\오른쪽 화살표 S^{q-1}$

여기에 Hopf 구조를 적용하면 지도가 제공됨

${\displaystyle S^{r+q}=S^{r}*S^{q-1}\오른쪽 화살표 S(S^{q-1})=S^{q}}}$

${\displaystyle {head}_{}}$ r +${\displaystyle {}_{}}q{\displaystyle {}_{}}$ ( S ${\displaystyle q^{}{}_{}}$ {\$displaystyle \pi _{r+q$${\displaystyle \}(}$$S^{q$에서 화이트헤드는 J-homorphism 아래$$ ${\displaystyle {\pi }_{}}$ r${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle \mathrm{SO}}$)${\displaysty \pi _{r}(\operatorname {SO}q)}$의 이미지로 정의했다.

q가 무한의 경향이 있기 때문에 한계를 갖는 것은 안정된 호모토피 이론에서 안정된 J-호모형성을 준다.

${\displaystyle J\colon \pi _{r}(\mathrm {SO})\pi _{r}^{S}\!}$

여기서 SO는 무한 특수 직교 그룹이고, 오른쪽은 구들의 안정적인 호모토피 그룹의 r번째 안정 줄기다.

J동형주의 이미지

J동형주의의 이미지는 다니엘 퀼렌(1971)이 입증한 아담스(1963년)의 아담스 추측을 가정해 프랭크 아담스(1966년)가 기술한 것이다.그룹 $\pi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle r_{}}$(${\displaystyle \mathrm{SO}}$ )$${\$displaystyle \pi _{r}(\operatorname {SO}$ )은 Bott periodicity에 의해 주어진다.항상 순환하며, r이 양이면 순서 2가 되고, r이 0이나 1모드 8이면 무한이 되며, r이 3모드 4이면 순서 1이 된다(1975년, 페이지 488).특히 안정적 J동형주의 이미지는 순환적이다.The stable homotopy groups ${\displaystyle \pi _{r}^{S}}$ are the direct sum of the (cyclic) image of the J-homomorphism, and the kernel of the Adams e-invariant (Adams 1966), a homomorphism from the stable homotopy groups to ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$. If r is 0 or 1 mod 8 and positive, the or이미지의 der는 2. (그러므로 이 경우 J-호모형성은 주입형이다.)r이 3모드 4인 경우, 이미지는 $B{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{2n}}_{}}$/ ${\displaystyle \mathrm{4n}}$ ${\displaystyle B_{2n}/4n}$의 분모와 동일한 순환 순서 그룹이며$,$ 여기서 $B{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{2n}}_{}}$ ${\$는 베르누이 숫자다.r이 2, 4, 5, 6 mod 8인 나머지 경우에는 $the{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle r_{}}$(${\displaystyle \mathrm{SO}}$) ${\displaystyle \pi _{r}(\operatorname {SO}$ )}이$($가) 사소한 것이기$$ 때문에 이미지가 사소한 것이다.

r	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
πr(SO)	1	2	1	Z	1	1	1	Z	2	2	1	Z	1	1	1	Z	2	2
임(J)	1	2	1	24	1	1	1	240	2	2	1	504	1	1	1	480	2	2
πrS	Z	2	2	24	1	1	2	240	22	23	6	504	1	3	22	480×2	22	24
B2n				1⁄6				−1⁄30				1⁄42				−1⁄30

적용들

아티야(1961년)는 공간 X의 그룹 J(X)를 도입했는데, X에게 구(區)는 적절한 차원의 J-호모형성의 이미지다.

J-호모폴리즘의 코커넬은 이국적인 구체의 그룹에 나타난다(Kosinski(1992) harvtxt error: no target: CATEREFKosinski1992 (도움말).

참조

• Atiyah, Michael Francis (1961), "Thom complexes", Proceedings of the London Mathematical Society, Third Series, 11: 291–310, doi:10.1112/plms/s3-11.1.291, MR 0131880
• Adams, J. F. (1963), "On the groups J(X) I", Topology, 2 (3): 181, doi:10.1016/0040-9383(63)90001-6
• Adams, J. F. (1965a), "On the groups J(X) II", Topology, 3 (2): 137, doi:10.1016/0040-9383(65)90040-6
• Adams, J. F. (1965b), "On the groups J(X) III", Topology, 3 (3): 193, doi:10.1016/0040-9383(65)90054-6
• Adams, J. F. (1966), "On the groups J(X) IV", Topology, 5: 21, doi:10.1016/0040-9383(66)90004-8. "Correction", Topology, 7 (3): 331, 1968, doi:10.1016/0040-9383(68)90010-4
• Hopf, Heinz (1935), "Über die Abbildungen von Sphären auf Sphäre niedrigerer Dimension", Fundamenta Mathematicae, 25: 427–440
• Kosinski, Antoni A. (1992), Differential Manifolds, San Diego, CA: Academic Press, pp. 195ff, ISBN 0-12-421850-4
• Milnor, John W. (2011), "Differential topology forty-six years later" (PDF), Notices of the American Mathematical Society, 58 (6): 804–809
• Quillen, Daniel (1971), "The Adams conjecture", Topology, 10: 67–80, doi:10.1016/0040-9383(71)90018-8, MR 0279804
• Switzer, Robert M. (1975), Algebraic Topology—Homotopy and Homology, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-06758-2
• Whitehead, George W. (1942), "On the homotopy groups of spheres and rotation groups", Annals of Mathematics, Second Series, 43 (4): 634–640, doi:10.2307/1968956, JSTOR 1968956, MR 0007107
• Whitehead, George W. (1978), Elements of homotopy theory, Berlin: Springer, ISBN 0-387-90336-4, MR 0516508