대수학 K 이론의 기본 이론

부가성 정리^[1] — $B{\displaystyle }$, ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle B,C}$을(를) 정확한 범주(또는 다른 변형$$)가 되도록 한다.Given a short exact sequence of functors ${\displaystyle F'\rightarrowtail F\twoheadrightarrow F''}$ from ${\displaystyle B}$ to ${\displaystyle C}$, ${\displaystyle F_{*}\simeq F'_{*}+F''_{*}}$ as ${\displaystyle H}$-space maps; consequently, ${\displaystyle F_{\ast }=F_{\ast }^{}}$${\displaystyle F_{*}=F'_{*}+F'_{*}:$$K_{i}(B)\to K_{i}(C)}$.

Waldhausen Localization Theorem^[2] — Let ${\displaystyle A}$ be the category with cofibrations, equipped with two categories of weak equivalences, ${\displaystyle v(A)\subset w(A)}$, such that ${\displaystyle (A,v)}$ and ${\displaystyle (A,w)}$ are both Waldhausen categories.$({\displaystyle A}$, ${\displaystyle w}$) ${\displaystyle (A,w)}$에 실린더 Axiom을 만족하는 실린더 펑터가 있고, w ($A$ ) ${\displaystyle w(A)}$이(${\displaystyle 가}$) 포화 및 확장 Axioms를 만족한다고$$ 가정하십시오.그러면

${\displaystyle K(A^{w})\to K(A,v)\to K(A,w)}$

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분해능 ${\displaystyle \mathrm{정리<sup\; class="reference"\; id="cite\_ref-3"><a\; href="\#cite\_note-3">[3]</a></sup>}}$ — $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subset }$ D ${\displaystyle C\subset D}$을(를) 정확한 범주로 한다$$.가정하다

• (i) C는 D의 확장과 D의 허용 가능한 거절의 커널 아래에 닫힌다.
• (ii) D의 모든 물체는 C의 물체에 의한 유한한 길이의 분해능을 인정한다.

${\displaystyle {그러면}_{}}$ $Ki{\displaystyle }$ ( C${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {Ki}_{}}$(${\displaystyle D}$) ${\displaystyle K_{i}(C)=K_{i}(D)}$ 모든 i ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle i\geq$ 0$}$에 대해$$ $.$

Cofinality 정리^[4] — Let${\displaystyle }$(${\displaystyle A}$, ${\displaystyle v}$) ${\displaystyle (A,v)}$은 실린더 Axiom을 만족하는 실린더 펑터가 있는 월트하우젠 범주가 된다$$.Suppose there is a surjective homomorphism ${\displaystyle \pi :K_{0}(A)\to G}$ and let ${\displaystyle B}$ denote the full Waldhausen subcategory of all ${\displaystyle X}$ in ${\displaystyle A}$ with ${\displaystyle \pi [X]=0}$ in ${\displaystyle G}$. Then ${\displaystyle v.s.}$${\displaystyle v.s.$$B\to v.s.$$A\to BG}$과(와) 그 $델루핑{\displaystyle }$ K${\displaystyle (B)}$→ ${\displaystyle K(A)}$→ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K(B)\to K(A)\to G}$은 균일성 섬유다.