토드급

수학에서 토드 수업은 이제 특성계급의 대수적 위상학에서 이론의 한 부분으로 여겨지는 어떤 구성이다.벡터 번들의 토드 클래스는 체르누스 클래스의 이론에 의해 정의될 수 있으며 체르누스 클래스가 존재하는 곳, 특히 미분위상, 복합 다지관 및 대수 기하학 이론에 접하게 된다.대략적으로 토드 계급은 체르누스 계급의 역수처럼 행동하거나, 가마니 다발이 보통 다발에 하는 것처럼 그것과 관련하여 서 있다.

토드 계급은 고전적인 리만-로치 정리를 더 높은 차원으로 일반화하는 데 근본적인 역할을 하며, 히르체브루치-로치 정리와 그로텐디크-히르체브루치-리만-로치 정리가 있다.

역사

그것은 J. A의 이름을 따서 지어졌다. 체르누스 계급이 규정되기 전인 1937년 대수 기하학에서 이 개념의 특별한 경우를 소개한 토드.관련된 기하학적 사상을 토드-에거 클래스라고 부르기도 한다.더 높은 차원의 일반적인 정의는 프리드리히 히르제브루치 때문이다.

정의

$E$ $E$ 이 $\operatorname {td} (E)$ $E$ (가) 위상학적 $공간$ X $X$ 에 복합 벡터 번들인 Todd $클래스$ $\operatorname {td} (E)$ $⁡($ ) ${\d}(E)$ 을 정의하려면 일반적으로 특성 클래스 이론의 일반 디바이스를 사용하여 Whitney 선다발의 합으로 정의를 제한할 수 있다 $X$ 체르누스의 뿌리 사용(일명, 분열 원리).정의를 위해 다음과 같이 하십시오.

Q(x)={\frac {x}{1-e^{-x}}}=1+{\dfrac {x}{2}}+\sum _{i=1}^{i-1}B_{2i}{{{{{2i)!}}}x^{2}i}=1+{\dfrac {x}{2}}+{\dfrac {x^{2}}-{12}-{\dfrac {x^{4}}}{x^}}+\cdots }}}

$Q(x)^{n+1}$ )의 $x^{n}$ $x^{n}$ $x^{n}$ ${\$ $x$ $^{n}$ 계수 + 1 ${\$ Q $(x)^{n+1}$ 가 1인 $Q(x)^{n+1}$ 공식 파워 시리즈가 되며, $B_{i}$ 서 $B_{i}$ ${\\$ 는 $B_{i}$ i{\ $displaysty$ i} -th $i$ Bernouli 번호를 나타낸다.제품의 $x^{j}$ $x^{j}$ $x^{j}$ ${\$ 계수를 고려하십시오.

\prod _{i=1}^{m}Q(\beta _{i}x)\

모든 $m>j$ > $m>j$ $m>j$ 에 대해 $m>j$ This is symmetric in the $\beta _{i}$ s and homogeneous of weight $j$ : so can be expressed as a polynomial $\operatorname {td} _{j}(p_{1},\ldots ,p_{j})$ in the elementary symmetric functions $p$ of the $\beta _{i}$ $\displaystyle \beta _{i}$ .그런 다음 $\operatorname {td} _{j}$ $\operatorname {td} _{j}$ ${\$ 은 $\operatorname {td} _{j}$ (는) Todd 다항식: Q $Q$ 을(를) 특성 전력 시리즈로 $Q$ 곱셈 시퀀스를 형성한다.

$E$ $E$ 이(가) α $\alpha _{i}$ ${\$ 를 체르누스 뿌리로 가지고 $E$ $\alpha _{i}$ 있다면 Todd 클래스가 그 다음이다.

{\dplaystyle \operatorname {td}(E)=\prod Q(\alpha _{i})}

$X$ $X$ 의 코호몰로지 링( $X$ 또는 무한 차원 다지관을 고려하려는 경우 완료)에서 계산한다.

토드 클래스는 다음과 같이 체른 클래스에서 공식 파워 시리즈로 명시적으로 부여할 수 있다.

\operatorname{td}(E)=1+{\frac{c_{1}{1}:{2}}:00+{c_{1}{12}+{12}+{\frac{c_{1}c_{1}{24}}}}+{\frac {-c_{4}+4c_{1}{1}{1}{1}{1}{1}{1}{1}{1}{1}}}{1}}}{1}{1}}{1}}}}{1}}}{1}^{2}c_{2}+c_{1}c_{1}c_{3}+3c_{2}}}^{2}-c_{4}}}{{115}}+\cdots

where the cohomology classes $c_{i}$ are the Chern classes of $E$ , and lie in the cohomology group $H^{2i}(X)$ . If $X$ is finite-dimensional then most terms vanish and $\operatorname {td} (E)$ is a pol체르누스 계급의 예노미칼.

Todd 클래스의 속성

Todd 클래스는 승수:

{\dplaystyle \operatorname {td}(E\oplus F)=\operatorname {td}(E)\cdot \operatorname {td}(F).}

$\xi \in H^{2}({\mathbb {C} }P^{n})$ $\xi \in H^{2}({\mathbb {C} }P^{n})$ H $\xi \in H^{2}({\mathbb {C} }P^{n})$ ( C $\xi \in H^{2}({\mathbb {C} }P^{n})$ $\xi \in H^{2}({\mathbb {C} }P^{n})$ ) ${\displaystyle \xi \in$ H $^{2}({\mathb {C}$ } $}P^{n})$ 를 하이퍼플레인 섹션의 기본 클래스가 되도록 $\xi \in H^{2}({\mathbb {C} }P^{n})$ 한다. ${\mathbb {C} }P^{n}$ ${\mathbb {C} }P^{n}$ n ${\$ 의 접선 번들에 대한 곱셈과 오일러 정확한 시퀀스로부터

0\to {\mathcal {O}\to {\mathcal {O}(1)^{n+1}\to T{\mathb {C}}}P^{n}\to 0,

획득하다

{\dplaystyle \operatorname {td}(T{\mathb {C}}}}{{}P^{n}}=\좌측({\dfrac {\xi }{1-e^{-\xi }}\오른쪽)^{n+1}.}

토드급 연산

For any algebraic curve $C$ the Todd class is just $\operatorname {td} (X)=1+c_{1}(T_{X})$ . Since $C$ is projective, it can be embedded into some $\mathbb {P} ^{n}$ and we can find ${\d$ 일반 시퀀스를 사용하는 $c_{1}(T_{X})$ $isplaystyle c_{1}(T_{X})$

$0\to T_{X}\to T_{\mathb {P}{}^{n} _{X}\to N_{X/\mathb {P} ^{n}}\to 0$

체른 계급의 소유물들이야예를 들어 $P$ $\mathbb {P} ^{2}$ ${\$ { $P} ^{2}}:$ 도 d $d$ 평면 $d$ 곡선이 있으면 $\mathbb {P} ^{2}$ 총 체르노 클래스가

${\begin}c(T_{C})&={\frac {c(T_{\mathb {P}{C} ^{2}}_{C}}}}{c(N_{C/\mathb{P}}}}}}}}}}}}\&={\frac {1+3[H]{1+d]}}\\&=(1+3[H])(1-d[H])\\&=1+(3-d)[H]\end{aigned}}$