단면(범주 이론)

수학의 한 분야인 범주론에서 단면은 어떤 형태론의 오른쪽 역이다.한 달에 한 번씩, 수축은 어떤 형태론의 왼쪽 역행이다.즉, f : X → Y, g : Y → X가 구성 f o o : Y → Y의 정체성 형태론인 형태론이라면, g는 f의 한 부분이고 f는 g의 수축이다.^[1]

모든 섹션은 단모형(왼쪽 역이 있는 모든 형태론은 왼쪽-취소형), 모든 수축은 경구형(오른쪽 역이 있는 모든 형태론은 오른쪽-취소형)이다.

대수학에서는 절은 분할 단형이라고도 하고, 수축은 분할 인식이라고도 한다.아벨 범주에서 f : X → Y가 분할 단형주의 g : Y → X를 갖는 분할 인식론이라면 X는 Y의 직접 합과 f의 커널에 대해 이형성이다.섹션에 대한 동의어 중심축은 최근 작품에서는 거의 볼 수 없지만 문학에서는 가끔 볼 수 있다.

용어.

범주 이론에서 수축의 개념은 위상에서의 ${\displaystyle \mathrm{수축}}$의 본질적으로 유사한 개념에서 비롯된다: $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ Y ${\displaystyle f:X\to$ Y$}$ 여기서$$ Y ${\displaystyle$ $Y}$은(는) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X}의 하위 공간이며$$, 포함 지도 i : ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \hookrightarrow }$ X $display$$}$의 수축이다$$.$범주$ 이론적 의미에서$$ $tyle$ i$:Y\hookrightarrow X}.$위상에서의 개념은 1931년 카롤 보르수크에 의해 정의되었다.^[2]

보르수크의 제자 사무엘 아일렌베르크(Samuel Eilenberg)는 범주론의 창시자 손더스 맥 레인(Sunders Mac Lane)과 함께 있었는데, 범주 이론에 관한 초기의 출판물들이 다양한 위상학적 공간과 관련되어 있었기 때문에, 이 용어가 처음에 사용되었을 것으로 예상했을지도 모른다.사실, 맥 레인(1963년)의 호몰로지(Homology)에 이르기까지 그들의 초기 출판물들은 오른쪽의 역이라는 용어를 사용했다.1965년에야 에일렌베르크와 존 콜먼 무어가 이중 용어인 'coretraction'을 만들어 보르수크의 용어는 일반적으로 카테고리 이론으로 해제되었다.^[3]coretraction이라는 용어는 1960년대 말까지 용어 부분에 자리를 내주었다.

좌/우 역의 사용과 섹션/수축 모두 문헌에서 흔히 볼 수 있다: 전자의 사용은 세미그룹과 모노이드의 이론으로부터 친숙하다는 장점을 가지고 있다; 후자는 '어느 쪽으로 가느냐'에 대해 생각할 필요가 없기 때문에 일부에 의해 덜 혼란스러운 것으로 간주된다.g∘f의 동의어 f;g의 증가하는 ^[4]인기

예

집합의 범주에서 비빈 영역을 가진 모든 단형성(주사함수)은 섹션이고, 모든 인식성(주사함수)은 수축이다. 후자 진술은 선택의 공리와 같다.

필드 K에 걸친 벡터 공간의 범주에서, 모든 단형성과 모든 인식론은 분리된다. 이는 선형 지도가 그 값을 기초로 지정함으로써 고유하게 정의될 수 있다는 사실에서 온다.

아벨 그룹 범주에서 모든 정수를 나머지 modulo 2에 보내는 경구형 Z → Z/2Z는 분할되지 않는다. 사실 유일한 형태론 Z/2Z → Z는 제로맵이다.마찬가지로 자연적 단동형성 Z/2Z → Z/4Z는 비종교형성 Z/4Z → Z/2Z가 있어도 분리되지 않는다.

단면의 범주적 개념은 호몰로지 대수학에서 중요하며, 위상에서 섬유다발의 단면 개념과도 밀접하게 관련되어 있다: 후자의 경우 섬유다발의 단면은 섬유다발의 번들 투영 맵의 단면이다.

지도가 $X{\displaystyle }$ → ${\displaystyle X\stackrel{}{}}$ ×${\displaystyle \stackrel{}{\times }}$ ${\displaystyle \times }$ × × × × $\pi$ \$colon X$\to {\$bar{X$}}인$$ $지수$의 X $displaystyle \pi}$을(를) 지정하면 $\times$ ${\displaysty \pi}$의 한 부분을 횡단이라고 한다$$.

참고 문헌 목록

• Mac Lane, Saunders (1978). Categories for the working mathematician (2nd ed.). Springer Verlag.
• Barry, Mitchell (1965). Theory of categories. Academic Press.

참고 항목

• 분할 보조정리
• 역 함수#좌우 반전
• 횡단(복합체)

메모들