루빅스 큐브 군

루빅 큐브의 조작은 루빅 큐브 그룹을 형성합니다.

$루빅스$ 큐브 그룹은 루빅스 큐브 기계 퍼즐의 구조를 나타내는 $그룹입니다$ $집합$ G의 각 요소(\ $displaystyle$ G $)$ 는 큐브 면의 회전 시퀀스의 효과인 큐브 이동에 대응합니다 $G$ .이 표현에서는 해결된 큐브를 해당 위치로 회전시키는 데 필요한 큐브 이동을 상세하게 설명함으로써 큐브의 모든 위치뿐만 아니라 큐브의 모든 위치도 나타낼 수 있습니다.말로를 출발점으로 해결 입장으로 각 루빅 큐브의 법적 위치와 G{G\displaystyle}의 요소 사이에 일대일 대응 ⋅면 큐브의{\displaystyle \cdot}은 구성 지난 후 1세제곱 움직임을 수행하는 일개미의 결과에 해당하는 그 그룹 작업 .[1][2] 있다. anoth음.정말.

Rubik's Cube 그룹은 중앙이 아닌 48개의 각 패싯에 1~48의 정수로 레이블을 지정하여 구성됩니다.큐브의 각 구성은 각 패싯의 위치에 따라 라벨 1~48의 순열로 나타낼 수 있다.이 표현을 사용하면, 해결된 큐브는 큐브를 변경하지 않고 그대로 두는 동일성 순열인 반면, 큐브의 층을 90도 회전시키는 12개의 큐브 이동은 각각의 순열로 표현된다.Rubik's Cube 그룹은 6개의 시계 방향 큐브 이동에 대응하는 6개의 순열로 생성된 대칭 $S_{48}$ $S_{48}$ 48 $(\$ 의 $S_{48}$ 하위 그룹입니다.이 구성에서는 일련의 큐브 이동을 통해 도달할 수 있는 큐브의 모든 구성이 그룹 내에 포함됩니다.동작 ${\$ \ $displaystyle$ \ $cdot$ } 、 permutations perm perm perm2개의 순열을 조합한 것으로, 큐브 내에서 2개의 큐브 시퀀스를 연속적으로 동작시키는 것을 말합니다.큐브 이동의 구성이 가환적이지 않기 때문에 Rubik's Cube 그룹은 비벨리안입니다. 큐브 이동의 두 시퀀스를 다른 순서로 실행하면 다른 구성이 될 수 있습니다.

큐브 이동

$3\times 3\times 3$ × $3\times 3\times 3$ × $3 Rubik$ 's Cube는 6개의 $6$ 면으로 $6$ 되어 있으며, 각각9개의 $면$ 이라고 $9$ $불리는$ 9개의 색상의 $9$ 으로 총 $54개의$ 면으로 구성되어 있습니다.해결된 큐브는 각 면에 있는 모든 면이 같은 색을 가지고 있다.

$큐브$ 이동은 $6$ $90^{\circ },180^{\circ }$ $°,$ $180$ °, $180$ °, 180 $°,$ 180°, 180 $-90^{\circ }$ $-90^{\circ }$ $°$ 또는 -90 $°(\$ $})$ $-90^{\circ }$ 중 하나를 회전시킵니다(반회전 메트릭).^[3]중심 패싯은 축을 중심으로 회전하지만 그렇지 않으면 동일한 ^[1]위치에 있습니다.

큐브 이동은 Singmaster ^[4]표기로 설명합니다.

기본 90°	180°	-90°
F{\ $displaystyle$ F $}$ 가 $F$ 전면을 시계 방향으로 돌립니다.	$F^{2}$ 2 $({$ 스타일 $F^{$ 2 $F^{2}$ }}) 전면을 시계 방향으로 두 번 돌립니다.	$F^{\prime }$ ${\$ { \ $displaystyle$ F^ { \ $prime }$ }: 전면을 $F^{\prime }$ 시계 반대 방향으로 돌립니다.
$(디스플레이 스타일$ B $)$ 가 $B$ 뒷면을 시계 방향으로 돌립니다.	$B^{2}$ 2 ({ $디스플레이$ 스타일 $B^{$ 2}}) $뒷면$ 을 시계 방향으로 $B^{2}$ 2회 회전	$(\$ B $^{\prime})$ 뒷면을 시계 $B^{\prime }$ 반대 방향으로 돌립니다.
$(디스플레이$ 스타일 U $)$ 가 상단을 시계 $U$ 방향으로 돌립니다.	$U^{2}$ 2 $({$ U $^{2}})$ 상단을 $U^{2}$ 시계 방향으로 두 번 돌립니다.	$U^{\prime }$ $′$ { \ $display style$ U^ { \ prime $}$ } 상단을 $U^{\prime }$ 시계 반대 방향으로 회전시킵니다.
$(디스플레이 스타일$ D $)$ 가 $D$ 하단을 시계 방향으로 회전시킵니다.	$($ D $^{2})$ : 하단을 $D^{2}$ 시계방향으로 2회 회전	$(\$ D $^{\prime})$ : 하단부를 시계 반대 $D^{\prime }$ 방향으로 돌립니다.
L{\ $displaystyle$ L $}$ 이 $L$ (가) 왼쪽 면을 시계 방향으로 돌립니다.	$($ L $^{2})$ 왼쪽 면을 $L^{2}$ $L^{2}$ 방향으로 2회 회전	$L^{\prime }$ $′$ { \ $display style$ L^ { \ prime $}$ } 왼쪽 $L^{\prime }$ 면을 시계 반대 방향으로 돌립니다.
$R$ \ $displaystyle$ R \ r $R$ clockwise오른쪽 면을 시계 방향으로 돌립니다.	$R^{2}$ 2 $({$ R $^{2}})$ 오른쪽 $R^{2}$ $면$ 을 시계 방향으로 2회 회전	$R^{\prime }$ $′$ { \ $display style$ R^ { \ prime $}$ } 오른쪽 $R^{\prime }$ 면을 시계 반대 방향으로 돌립니다.

빈 $E$ 은 E $(\displaystyle$ E)입니다. $연결$ $L$ $L$ $L$ L L \ $display style$ LLLL $LLLL$ 은E \ $display style$ RR $E$ 은 R $RRR$ ${\$ \ $display style$ R $^$ { \ $prime$ $R^{\prime }$ 와 $R^{\prime }$ .

그룹 구조

다음은 루빅스 큐브를 해결하는 방법에 설명된 표기법을 사용합니다.6개의 중앙 면의 방향이 고정되어 있다.

6개의 면 회전을 각각 중앙이 아닌 면 세트의 대칭 그룹에 있는 요소로 식별할 수 있습니다.구체적으로는 숫자 1~48로 비중앙 패스를 라벨링하고 각 움직임이 다양한 패스를 어떻게 가능하게 하는가에 따라 6개의 페이스 회전을 대칭 그룹₄₈ S의 요소로 식별할 수 있다.그런 다음 Rubik's Cube 그룹 $\{F,B,U,D,L,R\}$ 는 6개의 면 회전 $\{F,B,U,D,L,R\}$ F, B₄₈, U $\{F,B,U,D,L,R\}$ $\{F,B,U,D,L,R\}$ $\{F,B,U,D,L,R\}$ $},$ {displaystyle $\{F, B, U$ , U, U, $D, L,$ R $\{F,B,U,D,L,R\}$ 에 의해 생성된S의 서브그룹으로 정의됩니다.

G의 카디널리티는 다음과 같다.

|G|=43{,}252{,}003{,}274{,}489{,}856{,}000\,\!=12!\cdot 2^{10}\cdot 8!\cdot 3^{7}=2^{27}3^{14}5^{3}7^{2}11

|G|=43{,}252{,}003{,}274{,}489{,}856{,}000\,\!=12!\cdot 2^{10}\cdot 8!\cdot 3^{7}=2^{27}3^{14}5^{3}7^{2}11

|G|=43{,}252{,}003{,}274{,}489{,}856{,}000\,\!=12!\cdot 2^{10}\cdot 8!\cdot 3^{7}=2^{27}3^{14}5^{3}7^{2}11

!

2

|G|=43{,}252{,}003{,}274{,}489{,}856{,}000\,\!=12!\cdot 2^{10}\cdot 8!\cdot 3^{7}=2^{27}3^{14}5^{3}7^{2}11

|G|=43{,}252{,}003{,}274{,}489{,}856{,}000\,\!=12!\cdot 2^{10}\cdot 8!\cdot 3^{7}=2^{27}3^{14}5^{3}7^{2}11

8

|G|=43{,}252{,}003{,}274{,}489{,}856{,}000\,\!=12!\cdot 2^{10}\cdot 8!\cdot 3^{7}=2^{27}3^{14}5^{3}7^{2}11

|G|=43{,}252{,}003{,}274{,}489{,}856{,}000\,\!=12!\cdot 2^{10}\cdot 8!\cdot 3^{7}=2^{27}3^{14}5^{3}7^{2}11

7

|G|=43{,}252{,}003{,}274{,}489{,}856{,}000\,\!=12!\cdot 2^{10}\cdot 8!\cdot 3^{7}=2^{27}3^{14}5^{3}7^{2}11

2

|G|=43{,}252{,}003{,}274{,}489{,}856{,}000\,\!=12!\cdot 2^{10}\cdot 8!\cdot 3^{7}=2^{27}3^{14}5^{3}7^{2}11

3

|G|=43{,}252{,}003{,}274{,}489{,}856{,}000\,\!=12!\cdot 2^{10}\cdot 8!\cdot 3^{7}=2^{27}3^{14}5^{3}7^{2}11

|G|=43{,}252{,}003{,}274{,}489{,}856{,}000\,\!=12!\cdot 2^{10}\cdot 8!\cdot 3^{7}=2^{27}3^{14}5^{3}7^{2}11

|G|=43{,}252{,}003{,}274{,}489{,}856{,}000\,\!=12!\cdot 2^{10}\cdot 8!\cdot 3^{7}=2^{27}3^{14}5^{3}7^{2}11

2

|G|=43{,}252{,}003{,}274{,}489{,}856{,}000\,\!=12!\cdot 2^{10}\cdot 8!\cdot 3^{7}=2^{27}3^{14}5^{3}7^{2}11

{

display

G

|G|=43{,}252{,}003{,}274{,}489{,}856{,}000\,\!=12!\cdot 2^{10}\cdot 8!\cdot 3^{7}=2^{27}3^{14}5^{3}7^{2}11

=

43

{ , }

252

{ ,

003

{ , }

274

{ , }

489

{ ,

856

,

000

= 12

cd !

루빅스 큐브의 신의 숫자는 이만큼 크지만, 즉, 어떤 위치든 20개 이하의^[3] 움직임으로 해결할 수 있습니다. (여기서 반회전수를 한 동작으로 계산하면 반회전수를 2/4회전수로 계산하면, 신의 숫자는^[7] 26입니다.)

G에서 원소의 가장 큰 순서는 1260이다.예를 들어 주문 1260의 요소 중 하나는 다음과 같습니다.

(RU^{2}D^{-1}BD^{-1})

(RU^{2}D^{-1}BD^{-1})

U

(RU^{2}D^{-1}BD^{-1})

D -

(RU^{2}D^{-1}BD^{-1})

(RU^{2}D^{-1}BD^{-1})

-

(RU^{2}D^{-1}BD^{-1})

){

displaystyle (RU^{2}D^{-1}BD^{-1

^[1]

예를 들어 $FR$ 과 $FR$ 은 $같지$ 않기 때문에 G는 비벨리안이 됩니다.즉, 모든 큐브 이동이 ^[2]서로 이동하는 것은 아닙니다.

서브그룹

G의 두 부분군, 먼저 입방체 방향의 부분군_o C를 고려합니다. 이 부분군은 각 블록의 위치를 고정하지만 블록의 방향을 변경할 수 있는 이동입니다.이 그룹은 G의 정규 부분군입니다.이는 몇 개의 모서리를 뒤집거나 몇 개의 모서리를 비틀어 놓는 일부 이동의 정상적인 닫힘으로 나타낼 수 있습니다.예를 들어, 이것은 다음 두 가지 이동의 정상적인 종료입니다.

displaystyle

RB^{\prime}U^{

BR^{\prime}D^{

RB^{\prime }U

^{2

},\!}(

두 모서리 비틀기)

display style

U^{2}B^{\prime}UBB^{2}D^{\prime}R^{\prime}U^{\prime},\!}(

두 모서리 플립).

둘째, 큐브 순열의 서브그룹 C P $(\$ 를 $C_{P}$ 취합니다.이것은 블록의 위치를 변경할 수 있지만 방향은 고정인 움직임입니다.이 부분군의 경우 ^{[note 1]}방향을 정의하는 정확한 방법에 따라 여러 가지 선택 사항이 있습니다.한 가지 선택지는 제너레이터에 의해 주어진 다음 그룹입니다(마지막 제너레이터는 에지의 3 사이클입니다).

C_{p}=[U^{2},D^{2},F,B,L^{2},R^{2}U^{\prime}F^{\prime}BU^{2}F^{\prime}BU^{\prime}R^{2}R^{2}{2}\,\!

C는 정규 부분군이고 C와_p C의_o 교집합은 항등성이고 이들의_o 곱은 전체 입방체기이므로 입방체기 G는 이들 두 개의 반직접 곱이다.그것은

{\displaystyle G=C_{o}\rtimes C_{p},

다음으로 이 두 그룹에 대해 자세히 살펴보겠습니다.C의 구조는_o

\displaystyle \mathbb {Z} _{3}^7} \times \mathbb {Z} _{2}^11} \ }

각 코너의 회전 그룹(resp) 이후.edge) 큐브는 $(\$ 입니다(resp). $\mathbb {Z} _{2}$ 2 $(\$ 및 각 경우 1개를 제외한 모든 것이 자유롭게 회전할 수 있지만, 이러한 회전으로 마지막 1개의 방향이 결정됩니다.8개의 모서리와 12개의 가장자리가 있고 모든 회전 그룹이 아벨리안임을 알면 위의 구조를 알 수 있습니다.

큐브 순열 C는_p 조금 더 복잡합니다.여기에는 모서리₈ A의 짝수 순열 그룹과 모서리₁₂ A의 짝수 순열 그룹, 두 개의 분리된 정규 부분군이 있습니다.이들 2개의 서브그룹을 보완하는 것은 2개의 코너를 스왑하고 2개의 에지를 스왑하는 순열입니다.이것이 가능한 모든 순열을 생성하는 것으로 밝혀졌습니다. 즉,

\displaystyle C_{p}=(A_{8}\times A_{12}),\rtimes \mathbb {Z} _{2}.}

모든 조각을 합치면 입방체 그룹은 다음과 같이 동형이라는 것을 알 수 있다.

\displaystyle (\mathbb {Z} _{3}^7} \times \mathbb {Z} _{2} \rtimes \mathbb {Z} _{2} ).}

이 그룹은 서브다이렉트 제품이라고도 할 수 있습니다.

[(\mathbb {Z} _{3}^{7}\rtimes \mathrm {S} _{8})\times (\mathbb {Z} _{2}^{11}\rtimes \mathrm {S} _{12})]^{\frac {1}{2}}

^{\frac {1}{2

그리스의^{[citation needed]} 표기법으로.

일반화

중심 면 대칭을 고려할 때 대칭 그룹은 다음 하위 그룹이다.

\displaystyle [\mathbb {Z} _{4}^6} \times (\mathbb {Z} _rtimes \mathrm {S} _{8} \times \mathbb {Z} _{2}^11} \rtimes \mathrm {S} _{12} )^{\frac {1}{2}}.}

(이러한 중심면 회전이 중요하지 않은 것은 문제의 물체의 완전한 자기동형성 그룹으로부터 독자를 보호하는, 일하는 비율 그룹의 암묵적인 예입니다.)

분해 및 재조립을 통해 얻은 Rubik's Cube의 대칭군은 약간 더 큽니다. 즉, 직접 생성물입니다.

\displaystyle \mathbb {Z} _{4}^6} \times(\mathbb {Z} _{3} \wr \mathrm {S} _{8} \times(\mathbb {Z} _{2} \wr \mathrm {S} _{12})}

첫 번째 요인은 중앙 조각의 회전만으로 설명되며, 두 번째 요인은 모서리의 대칭으로만 설명되며, 세 번째 요인은 모서리의 대칭으로만 설명된다.후자의 두 인자는 일반화된 대칭 그룹의 예이며, 그 자체가 화환 제품의 예입니다.

표준 큐브 그룹의 구성 시리즈에서 몫으로 발생하는 간단한 그룹(즉, 중앙 조각 회전을 무시함)은 $A_{8}$ 8 $($ A_ ${8$ $\mathbb {Z} _{3}$ $($ A_ ${12$ $\mathbb {Z} _{3}$ 3 $($ 스타일 $\mathbb {Z}_{3$ }}( $\mathbb {Z} _{3}$ 7회) 및 $\mathbb {Z} _{2}$ 2 $($ 스타일 $\mathbbb {12})$

켤레 클래스

루빅스 큐브 그룹에는 81,120개의 켤레 ^[8]클래스가 있는 것으로 보고되었다.이 수는 에지 그룹과 코너 그룹의 짝수 클래스와 홀수 클래스의 수를 개별적으로 카운트한 후 곱함으로써 계산되었으며, 항상 총 패리티가 짝수임을 확인합니다.짝수 요소 대 홀수 ^[9]요소와 결합하면 요소가 항상 달라지는 이른바 패리티 민감 공역 클래스를 세는 데 각별히 주의해야 합니다.

Rubik's Cube 그룹과 다양한^[9] 부분군의 켤레 클래스 수

그룹.	아니, 심지어	아니, 홀수	No. ps	총
모서리 위치	12	10	2	22
가장자리 위치	40	37	3	77
모든 위치				856
모서리	140	130	10	270
가장자리	308	291	17	599
전체 큐브				81,120

「」를 참조해 주세요.

메모들

^ 방향을 정의하는 한 가지 방법은 더글라스 호프스타터의 메타마기컬 테마의 314~315페이지에서 개작한 다음과 같다.블록의 주요 색상과 위치의 주요 면의 두 가지 개념을 정의합니다. 여기서 위치는 블록의 위치를 의미합니다.위치의 주요 패싯은 큐브의 전면 또는 후면에 있는 패싯이 되며, 그렇지 않으면 왼쪽 또는 오른쪽 패싯이 됩니다.F에는 9개의 주요 패스가 있고 B에는 9개, L에는 2개, R에는 2개의 주요 패스가 있습니다.블록의 주요 색상은 블록이 해결된 큐브에서 적절한 위치로 "귀환"되었을 때 블록의 주요 면에 있어야 하는 색상으로 정의됩니다.해결된 큐브에 X $(디스플레이 스타일$ X $)$ 를 $X$ 적용했을 때 $각$ 블록의 주요 색상이 해당 위치의 주요 면에 있을 경우 큐브 $이동$ X $(디스플레이 스타일$ X $)$ 는 $X$ 방향을 유지합니다.

레퍼런스

^ ^a ^b ^c Joyner, David (2002). Adventures in group theory: Rubik's Cube, Merlin's machine, and Other Mathematical Toys. Johns Hopkins University Press. ISBN 0-8018-6947-1.
^ ^a ^b Davis, Tom (2006). "Group Theory via Rubik's Cube" (PDF).
^ ^a ^b Rokicki, Tomas; et al. "God's Number is 20".
^ Singmaster, David (1981). Notes on Rubik's Magic Cube. Penguin Books. ISBN 0907395007.
^ Schönert, Martin. "Analyzing Rubik's Cube with GAP".
^ 톰 데이비스, "루빅 큐브"파트 II", 페이지 23인치, 즈베즈델리나 스탄코바, 톰 라이크(eds), 버클리 수학원 10년, 미국 수학회, 2015 ISBN 9780821849125.
^ 4분의 1 회전 미터법에서 신의 숫자는 26입니다.
^ Garron, Lucas (March 8, 2010). "The Permutation Group of the Rubik's Cube" (PDF). S2CID 18785794. Archived from the original (PDF) on February 22, 2019. Retrieved August 1, 2020. {{cite journal}}:Cite 저널 요구 사항 journal=(도움말)
^ ^a ^b brac37 (October 20, 2009). "Conjugacy classes of the cube". Domain of the Cube Forum. Retrieved August 1, 2020.

[8] 방향을 정의하는 한 가지 방법은 더글라스 호프스타터의 메타마기컬 테마의 314~315페이지에서 개작한 다음과 같다.블록의 주요 색상과 위치의 주요 면의 두 가지 개념을 정의합니다. 여기서 위치는 블록의 위치를 의미합니다.위치의 주요 패싯은 큐브의 전면 또는 후면에 있는 패싯이 되며, 그렇지 않으면 왼쪽 또는 오른쪽 패싯이 됩니다.F에는 9개의 주요 패스가 있고 B에는 9개, L에는 2개, R에는 2개의 주요 패스가 있습니다.블록의 주요 색상은 블록이 해결된 큐브에서 적절한 위치로 "귀환"되었을 때 블록의 주요 면에 있어야 하는 색상으로 정의됩니다.해결된 큐브에 X $(디스플레이 스타일$ X $)$ 를 $X$ 적용했을 때 $각$ 블록의 주요 색상이 해당 위치의 주요 면에 있을 경우 큐브 $이동$ X $(디스플레이 스타일$ X $)$ 는 $X$ 방향을 유지합니다.

[advgroup-1] Joyner, David (2002). Adventures in group theory: Rubik's Cube, Merlin's machine, and Other Mathematical Toys. Johns Hopkins University Press. ISBN 0-8018-6947-1.

[geometer-2] Davis, Tom (2006). "Group Theory via Rubik's Cube" (PDF).

[cube20-3] Rokicki, Tomas; et al. "God's Number is 20".

[Singmaster-4] Singmaster, David (1981). Notes on Rubik's Magic Cube. Penguin Books. ISBN 0907395007.

[GAP-5] Schönert, Martin. "Analyzing Rubik's Cube with GAP".

[6] 톰 데이비스, "루빅 큐브"파트 II", 페이지 23인치, 즈베즈델리나 스탄코바, 톰 라이크(eds), 버클리 수학원 10년, 미국 수학회, 2015 ISBN 9780821849125.

[7] 4분의 1 회전 미터법에서 신의 숫자는 26입니다.

[9] Garron, Lucas (March 8, 2010). "The Permutation Group of the Rubik's Cube" (PDF). S2CID 18785794. Archived from the original (PDF) on February 22, 2019. Retrieved August 1, 2020. {{cite journal}}:Cite 저널 요구 사항 journal=(도움말)

[:0-10] rac37 (October 20, 2009). "Conjugacy classes of the cube". Domain of the Cube Forum. Retrieved August 1, 2020.

[3]

[1]

[4]

[7]

[2]

[note 1]

[8]

[9]

Search

루빅스 큐브 군

네임스페이스

더

목차

큐브 이동

그룹 구조

서브그룹

일반화

켤레 클래스

「」를 참조해 주세요.

메모들

레퍼런스

Search

루빅스 큐브 군

큐브 이동

그룹 구조

서브그룹

일반화

켤레 클래스

「 」를 참조해 주세요.

메모들

레퍼런스

「」를 참조해 주세요.