수학 에서 기초초기하계 시리즈 또는 q-초기하계 시리즈 는 일반화된 초기하계 계열 의 q-아날로그 일반화이며, 차례 로 타원형 초기하계 계열 에 의해 일반화된다.x n +1x 라는n n 의 합리적인 함수 라면 x 를n 연속된 항들의 비율이 q 의n 숫자 q 를 베이스라고 한다.
에두아르 하이네 (1846년 )는 기초초기하학 시리즈 φ1 (q α ,q β ;q γ ;q ,x )을 먼저 고려했다.염기 q가 1일 때 한계에서 초지하 직렬 F (α,β;;;x )가 된다.
정의 기초초기하계 시리즈는 일방적인 기초초기하계 시리즈 φ과 보다 일반적인 양자간 기초초기하계 시리즈 ψ의 두 가지 형태가 있다. 일방적 기본 초기하계 영상 시리즈는 다음과 같이 정의된다.
j ϕ k [ a 1 a 2 … a j b 1 b 2 … b k ; q , z ] = ∑ n = 0 ∞ ( a 1 , a 2 , … , a j ; q ) n ( b 1 , b 2 , … , b k , q ; q ) n ( ( − 1 ) n q ( n 2 ) ) 1 + k − j z n {\displaystyle \;_{j}\phi _{k}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{j}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{k}\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{j};q)_{n}}{(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{k},q;q)_{n}}}\left((-1)^{n}q^{n \choose 2}\right)^{1+k-j}z^{n}} 어디에
( a 1 , a 2 , … , a m ; q ) n = ( a 1 ; q ) n ( a 2 ; q ) n … ( a m ; q ) n {\displaystyle (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{m};q)_{n}=(a_{1};q)_{n}(a_{2};q)_{n}\ldots(a_{m};q)_{n}}}}}} 그리고
( a ; q ) n = ∏ k = 0 n − 1 ( 1 − a q k ) = ( 1 − a ) ( 1 − a q ) ( 1 − a q 2 ) ⋯ ( 1 − a q n − 1 ) {\displaystyle (a;q)_{n}=\prod _{k=0}^{n-1}(1-aq^{k})=(1-a)(1-aq^{2})\cdots(1-aq^{n-1} q-수정 요인 이다.가장 중요한 특수한 경우는 j = k + 1이 될 때 입니다.
k + 1 ϕ k [ a 1 a 2 … a k a k + 1 b 1 b 2 … b k ; q , z ] = ∑ n = 0 ∞ ( a 1 , a 2 , … , a k + 1 ; q ) n ( b 1 , b 2 , … , b k , q ; q ) n z n . {\displaystyle \;_{k+1}\phi _{k}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{k}&a_{k+1}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{k}\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k+1};q)_{n}}{(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{k},q;q)_{n}}}z^{n}. } 이1 k + 1b 1 ...bq이면 k 불린다 .이 시리즈는 aq 1 = ab 2 1 = ...이면 잘 준비 되었다고 불린다. = ab k + 1k 2 = -a3 = qa 가1 1/2 추가될 경우 매우 잘 준비된다. 일방적 기본 초기하계 시리즈는 이후 초기하계 시리즈의 q-아날로그다.
임이 있는 q → 1 j ϕ k [ q a 1 q a 2 … q a j q b 1 q b 2 … q b k ; q , ( q − 1 ) 1 + k − j z ] = j F k [ a 1 a 2 … a j b 1 b 2 … b k ; z ] {\displaystyle \lim _{q\to 1}\;_{j}\phi _{k}\left[{\begin{matrix}q^{a_{1}}&q^{a_{2}}&\ldots &q^{a_{j}}\\q^{b_{1}}&q^{b_{2}}&\ldots &q^{b_{k}}\end{matrix}};q,(q-1)^{1+k-j}z\right]=\;_{j }F_{k}\왼쪽[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{j}\\b_{1}{1}b_{1}\ldots &b_{k}\end{matrix};z\right]}}}}}} holds (Koekoek & Swarttouw (1996) harvtxt 오류: no target: CITREFKoekoekSwarttou1996 (도움말 쌍방기초기하학 계열에 해당하는 쌍방기초기하학 계열 은 다음과 같이 정의된다.
j ψ k [ a 1 a 2 … a j b 1 b 2 … b k ; q , z ] = ∑ n = − ∞ ∞ ( a 1 , a 2 , … , a j ; q ) n ( b 1 , b 2 , … , b k ; q ) n ( ( − 1 ) n q ( n 2 ) ) k − j z n . {\displaystyle \;_{j}\psi _{k}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{j}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{k}\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{j};q)_{n}}{(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{k};q)_{n}}}\left((-1)^{n}q^{n \choose 2}\right) ^{k-j}z^{n}. } 가장 중요한 특수한 경우는 j = k일 때, 그 상태가 되는 경우다.
k ψ k [ a 1 a 2 … a k b 1 b 2 … b k ; q , z ] = ∑ n = − ∞ ∞ ( a 1 , a 2 , … , a k ; q ) n ( b 1 , b 2 , … , b k ; q ) n z n . {\displaystyle \;_{k}\psi _{k}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{k}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{k}\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k};q)_{n}}{(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{k};q)_{n}}}z^{n}. } 일방적 시리즈는 n < 0을 가진 모든 항이 소멸하기 때문에 최소한 어떤 변수도 q 의 힘이 아닐 때 q와 같은 b 변수 중 하나 를 설정함으로써 양자 간의 특수한 경우로서 얻을 수 있다.
심플 시리즈 다음과 같은 간단한 시리즈 표현식
z 1 − q 2 ϕ 1 [ q q q 2 ; q , z ] = z 1 − q + z 2 1 − q 2 + z 3 1 − q 3 + … {\displaystyle {\frac {z}{1-q}}\;_{2}\phi _{1}\left[{\begin{matrix}q\;q\\q^{2}\end{matrix}}\;;q,z\right]={\frac {z}{1-q}}+{\frac {z^{2}}{1-q^{2}}}+{\frac {z^{3}}{1-q^{3}}}+\ldots } 그리고
z 1 − q 1 / 2 2 ϕ 1 [ q q 1 / 2 q 3 / 2 ; q , z ] = z 1 − q 1 / 2 + z 2 1 − q 3 / 2 + z 3 1 − q 5 / 2 + … {\displaystyle {\frac {z}{1-q^{1/2}}}\;_{2}\phi _{1}\left[{\begin{matrix}q\;q^{1/2}\\q^{3/2}\end{matrix}}\;;q,z\right]={\frac {z}{1-q^{1/2}}}+{\frac {z^{2}}{1-q^{3/2}}}+{\frac {z^{3}}{1-q^{5/2}}}+\ldots } 그리고
2 ϕ 1 [ q − 1 − q ; q , z ] = 1 + 2 z 1 + q + 2 z 2 1 + q 2 + 2 z 3 1 + q 3 + … . {\displaystyle \;_{2}\phi _{1}\left[{\begin{matrix}q\;-1\\-q\end{matrix}}\;;q,z\right]=1+{\frac {2z}{1+q}}+{\frac {2z^{2}}{1+q^{2}}}+{\frac {2z^{3}}{1+q^{3 }}}+\ldots .} q 이항 정리 q-이항 정리(1811년 하인리히 아우구스트 로테 가 처음 출판함)[1] [2]
1 ϕ 0 ( a ; q , z ) = ( a z ; q ) ∞ ( z ; q ) ∞ = ∏ n = 0 ∞ 1 − a q n z 1 − q n z {\displaystyle \_{1}\phi _{0}(a;q,z)={\frac {(az;q)_{\inflt }}{n=0}}}}}{n=0}^{n=aq^{n}z}{1-q^{n}z}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} 그 다음엔 반복적으로 정체성을 적용해서
1 ϕ 0 ( a ; q , z ) = 1 − a z 1 − z 1 ϕ 0 ( a ; q , q z ) . {\displaystyle \;_{1}\phi _{0}(a;q,z)={\frac {1-az}{1-z}\;{1}\phi _{0}(a;q,q,z). } a = 0의 특별한 경우는 q-exponential 과 밀접한 관련이 있다.
카우치 이항정리 Cauchy 이항 정리는 q 이항 정리의 특별한 경우다.[3]
∑ n = 0 N y n q n ( n + 1 ) / 2 [ N n ] q = ∏ k = 1 N ( 1 + y q k ) ( q < 1 ) {\displaystyle \sum _{n=0}^{ N}y^{n}q^{n(n+1)/2}{\begin{bmatrix}N\\n\end{bmatrix}_{q}=\prod _{k=1}^{N}\좌측(1+yq^{k}\오른쪽)\qquad (q <1})} 라마누잔의 정체 라마누잔 스리니바사 가 정체를 밝혔다.
1 ψ 1 [ a b ; q , z ] = ∑ n = − ∞ ∞ ( a ; q ) n ( b ; q ) n z n = ( b / a , q , q / a z , a z ; q ) ∞ ( b , b / a z , q / a , z ; q ) ∞ {\displaystyle \;_{1}\psi _{1}\left[{\begin{matrix}a\\b\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(b;q)_{n}}}z^{n}={\frac {(b/a,q,q/az,az;q)_{\infty }}{(b,b/az,q/a,z;q)_{\infty }}}} q < 1과 b/a 6 6 displaystyle \;_{6}\psi _{6}} 그러한 정체성은 q 시리즈를 사용하여 작성할 수 있는 자코비 트리플 제품 정리를 일반화한 것으로 이해할 수 있다.
∑ n = − ∞ ∞ q n ( n + 1 ) / 2 z n = ( q ; q ) ∞ ( − 1 / z ; q ) ∞ ( − z q ; q ) ∞ . {\displaystyle \sum \sum _{n=-\infit }^{n(n+1)/2}z^{n}=(q;q)_{\n=}\{\inft };(-1/z;q)_{\infty }\;(-zq;q;q)_}}}}} 오노 켄은 관련 공식 파워 시리즈 를[4]
A ( z ; q ) = d e f 1 1 + z ∑ n = 0 ∞ ( z ; q ) n ( − z q ; q ) n z n = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n z 2 n q n 2 . {\displaystyle A(z;q){\stackrel {\rm {def}}{=}}{\frac {1}{1+z}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(z;q)_{n}}{(-zq;q)_{n}}}z^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}z^{2n}q^{n^{2}}. } 왓슨의 등고선 적분 초지하학 시리즈에 필수적인 반스 의 아날로그로서, 왓슨 은 다음과 같은 것을 보여주었다.
2 ϕ 1 ( a , b ; c ; q , z ) = − 1 2 π i ( a , b ; q ) ∞ ( q , c ; q ) ∞ ∫ − i ∞ i ∞ ( q q s , c q s ; q ) ∞ ( a q s , b q s ; q ) ∞ π ( − z ) s 죄를 짓다 π s d s {\displaystyle {}_{2}\phi _{1}(a,b;c;q,z)={\frac {-1}{2\pi i}}{\frac {(a,b;q)_{\infty }}{(q,c;q)_{\infty }}}\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {(qq^{s},cq^{s};q)_{\infty }}{(aq^{s},bq^{s};q)_{\infty }}}{\frac {\pi (-z)^{s}}{\sin \pi s}}ds} 여기서 q s ,b q s ; q ∞ {\ displaystyle (aq^{s},bq^{s};q)_{\infuly }} φ에도r 이 등고선 적분은 z 단위의 기본 초기하 함수의 분석적 연속성을 제공한다.
매트릭스 버전 기본 초기하 행렬 함수는 다음과 같이 정의할 수 있다.
2 ϕ 1 ( A , B ; C ; q , z ) := ∑ n = 0 ∞ ( A ; q ) n ( B ; q ) n ( C ; q ) n ( q ; q ) n z n , ( A ; q ) 0 := 1 , ( A ; q ) n := ∏ k = 0 n − 1 ( 1 − A q k ) . {\displaystyle {}_{2}\phi _{1}(A,B;C;q,z): =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(A;q)_{n}(B;q)_{n}}{(C;q)_{n}(q;q)_{n}}}z^{n},\quad (A;q)_{0}:=1,\quad (A;q)_{n}:=\prod _{k=0}^{n-1}(1-Aq^{k}). } 비율검사는 이 행렬함수가 절대적으로 수렴되는 것을 보여준다.[5]
참고 항목 메모들 ^ Bressoud, D. M. (1981), "Some identities for terminating q -series", Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 89 (2): 211–223, Bibcode :1981MPCPS..89..211B , doi :10.1017/S0305004100058114 , MR 0600238 ^ Benaoum, H. B., "h -analogue of Newton's binomial formula", Journal of Physics A: Mathematical and General , 31 (46): L751–L754, arXiv :math-ph/9812011 Bibcode :1998JPhA...31L.751B , doi :10.1088/0305-4470/31/46/001 ^ 울프램 수학월드: 코치 이노미알 정리 ^ 귀네스 H. 쿠간과 켄 오노 , A 정체성과 후르비츠 제타 함수 산술 미국수학협회 131 , 페이지 719–724 ^ Ahmed Salem(2014) 기본 가우스 초지하 행렬 함수 및 그 행렬 Q-차 방정식, 선형 및 다중선 대수, 62:3, 347-361, DOI: 10.1080/03081087.2013.777437
외부 링크 참조 Andrews, G. E. (2010), "q-Hypergeometric and Related Functions" , in Olver, Frank W. J. ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions ISBN 978-0-521-19225-5 MR 2723248 W.N. 베일리, 일반화된 초지하학 시리즈 , (1935년) 케임브리지 대학 출판부, 32번, 수학 및 수학 물리학의 케임브리지 트랙츠. 윌리엄 Y. C. 첸과 에이미 푸, 준마인드 형태의 양자 기본 초지하계 시리즈 Exton , H. (1983), q-Hypergeometric Functions and Applications, New York: Halsted Press, Chichester:엘리스 호우드, ISBN 0853124914 , ISBN 0470274530 , ISBN 978-0470274538 실비 코르테엘 과 제레미 러브조이, 프로베니우스 칸막이와 라마누잔의 1 ψ {\ displaystyle \,{1}\psi _{1 }}{ 합계 Fine, Nathan J. (1988), Basic hypergeometric series and applications American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-1524-3 MR 0956465 Gasper, George; Rahman, Mizan (2004), Basic hypergeometric series , Encyclopedia of Mathematics and its Applications, vol. 96 (2nd ed.), Cambridge University Press , doi :10.2277/0521833574 , ISBN 978-0-521-83357-8 MR 2128719 Heine, Eduard (1846), "Über die Reihe 1 + ( q α − 1 ) ( q β − 1 ) ( q − 1 ) ( q γ − 1 ) x + ( q α − 1 ) ( q α + 1 − 1 ) ( q β − 1 ) ( q β + 1 − 1 ) ( q − 1 ) ( q 2 − 1 ) ( q γ − 1 ) ( q γ + 1 − 1 ) x 2 + ⋯ {\displaystyle 1+{\frac {(q^{\alpha }-1)(q^{\beta }-1)}{(q-1)(q^{\gamma }-1)}}x+{\frac {(q^{\alpha }-1)(q^{\alpha +1}-1)(q^{\beta }-1)(q^{\beta +1}-1)}{(q-1)(q^{2}-1)(q^{\gamma }-1)(q^{\gamma +1}-1)}}x^{2}+\cdots } , Journal für die reine und angewandte Mathematik , 32 : 210–212 빅터 칵 , 포크만 청, 양자 미적분학, 유니버시텍스트, 스프링거-베를라크, 2002. ISBN 0-387-95341-8 앤드류스, G. E., 아스키, R., R. 로이(1999년). 특수 기능, 수학 및 응용 백과사전, 71권, 캠브리지 대학 출판부 . 에두아르 하이네 , Theory der Kugefischen , (1878년) 1 , 페이지 97–125.에두아르 하이네, 핸드부치는 쿠게포시센을 죽인다. 테오리와 안웬둥 (1898) 베를린 스프링거.
![\;_{{j}}\phi _{k}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{{j}}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{k}\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{{n=0}}^{\infty }{\frac {(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{{j}};q)_{n}}{(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{k},q;q)_{n}}}\left((-1)^{n}q^{{n \choose 2}}\right)^{{1+k-j}}z^{n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/274d2ef79218e289c26f62120cb6dcfcc6636248)
![\;_{{k+1}}\phi _{k}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{{k}}&a_{{k+1}}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{{k}}\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{{n=0}}^{\infty }{\frac {(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{{k+1}};q)_{n}}{(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{k},q;q)_{n}}}z^{n}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ad1d2c40066f9722474a75221d2130171a98655)
![{\displaystyle \lim _{q\to 1}\;_{j}\phi _{k}\left[{\begin{matrix}q^{a_{1}}&q^{a_{2}}&\ldots &q^{a_{j}}\\q^{b_{1}}&q^{b_{2}}&\ldots &q^{b_{k}}\end{matrix}};q,(q-1)^{1+k-j}z\right]=\;_{j}F_{k}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{j}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{k}\end{matrix}};z\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/159201006a53d31858f77e27dc79f35869dd8740)
![\;_{j}\psi _{k}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{j}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{k}\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{{n=-\infty }}^{\infty }{\frac {(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{j};q)_{n}}{(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{k};q)_{n}}}\left((-1)^{n}q^{{n \choose 2}}\right)^{{k-j}}z^{n}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/501e00fbffa51da9bab6469656fbf853df7d794c)
![\;_{k}\psi _{k}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{k}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{k}\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{{n=-\infty }}^{\infty }{\frac {(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k};q)_{n}}{(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{k};q)_{n}}}z^{n}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba22c851d35068e0fdf285feb4ba9a3d68f066fd)
![{\frac {z}{1-q}}\;_{{2}}\phi _{1}\left[{\begin{matrix}q\;q\\q^{2}\end{matrix}}\;;q,z\right]={\frac {z}{1-q}}+{\frac {z^{2}}{1-q^{2}}}+{\frac {z^{3}}{1-q^{3}}}+\ldots](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ade77e25842ebcf32016af8a9b42c32aeaf9fefb)
![{\frac {z}{1-q^{{1/2}}}}\;_{{2}}\phi _{1}\left[{\begin{matrix}q\;q^{{1/2}}\\q^{{3/2}}\end{matrix}}\;;q,z\right]={\frac {z}{1-q^{{1/2}}}}+{\frac {z^{2}}{1-q^{{3/2}}}}+{\frac {z^{3}}{1-q^{{5/2}}}}+\ldots](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/015a6d86d3f197d4b4bd71f2d416b4af29b20b24)
![\;_{{2}}\phi _{1}\left[{\begin{matrix}q\;-1\\-q\end{matrix}}\;;q,z\right]=1+{\frac {2z}{1+q}}+{\frac {2z^{2}}{1+q^{2}}}+{\frac {2z^{3}}{1+q^{3}}}+\ldots .](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f2d19a913425e0c8f743c86adc581dc53295c7b)
![\;_{1}\psi _{1}\left[{\begin{matrix}a\\b\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{{n=-\infty }}^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(b;q)_{n}}}z^{n}={\frac {(b/a,q,q/az,az;q)_{\infty }}{(b,b/az,q/a,z;q)_{\infty }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1501ead1fa67d4b8da9f766d8a902d660e7c124f)
