무한직교군

수학에서 무기한직교군 O(p, q)는 n차원 리얼 벡터 공간의 모든 선형 변환의 Lie 그룹이며, 여기서 n = p + q. 사이비직교군 또는^[1] 일반직교군이라고도 한다.^[2]그룹의 치수는 n(n - 1)/2이다.

비한정 특수직교군 SO(p, q)는 결정인자 1을 갖는 모든 원소로 구성된 O(p, q)의 부분군이다.명확한 경우와 달리 SO(p, q)는 연결되지 않으며(두 개의 구성요소를 포함), 연결된 SO(p⁺, q) 및 O⁺(p, q)라는 두 개의 추가 유한 지수 하위 그룹이 있다(정의 및 논의는 § 토폴로지를 참조).

양식의 서명은 이형성까지의 집단을 결정한다; p를 q로 바꾸는 것은 측정지표를 부정적으로 대체하는 것과 같으며, 따라서 같은 집단을 준다.p 또는 q 중 하나가 0이면 그룹은 일반적인 직교 그룹 O(n)와 이형이다.우리는 p와 q가 모두 긍정적이라고 가정한다.

그룹 O(p, q)는 리얼 위의 벡터 공간에 대해 정의된다.복잡한 공간의 경우 변환 z ${\displaystyle j_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle z_{}}$ ${\$이(가) 형식의 서명이 변경되기$$ 때문에 모든 그룹 O(p, q; C)는 일반적인 직교 그룹 O(p + q; C)와 이형이다.이는sesquilinar형태의 서명(p, q)을 보존하는무기한 단일 군집 U(p, q)와 혼동해서는안 된다.

짝수 치수 n = 2p에서 O(p, p)는 분할 직교 그룹으로 알려져 있다.

예

기본 예로는 스퀴즈 매핑이 있는데, 이는 유닛 하이퍼볼라를 보존하는 (의 ID 성분) 선형 변환의 그룹 SO⁺(1, 1)이다.구체적으로 어떤 이들은 매트릭스[벌 ⁡(α)sinh ⁡(α)sinh ⁡(α)벌 ⁡(α)],{\displaystyle \left[{\begin{}\cosh(\alpha)&\sinh(\alpha)\\\sinh(\alpha)&\cosh(\alpha)\end{smallmatrix}}\rightsmallmatrix],}과 쌍곡선 회전으로 해석될 수 있는 것처럼 그룹 SO(2)a해석될 수 있scircu유충 회전

물리학에서 로렌츠 그룹 O(1,3)는 전자성과 특수상대성이성의 설정으로서 중심적인 중요성을 갖는다.(일부 텍스트는 로렌츠 그룹에 O(3,1)를 사용하지만, 디락 방정식의 기하학적 특성이 O(1,3)에서 더 자연적이기 때문에 양자장 이론에 O(1,3)가 널리 퍼져 있다.)

행렬 정의

O(p, q)를 전통적인 직교 그룹 O(n)와 마찬가지로 행렬의 그룹으로 정의할 수 있다.다음과$$ 같은${\displaystyle }$(${\displaystyle p}$+ ${\displaystyle q}$) ${\displaystyle \times }$( ${\displaystyle p}$+ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle (p+q)\time (p+q)}$ 대각$$ 행렬 $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$을(를) 고려하십시오.

${\displaystyle g=\matrix(\underbrace {1,\ldots,1} _{p}, {-1,\ldots,-1} _{q}).}$

그런 다음 R ${\displaystyle {}^{}}$+$q$에 대칭 이선형$[{\displaystyle }$ form${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {p,}_{}}$ ${\displaystyle q_{}}$ ${\$$displaystyle$ $[\cdot,\cdot$ $]_{p,q}}}$을(를) 정의할$$ 수 있다$.$

${\displaystyle [x,y]_{p,q}=\langle x,gy\rangle =x_{1}y_{1}+\cdots +x_{p}y_{p}-x_{p+1}y_{p+1}-\cdots -x_{p+q}y_{p+q}}$,

여기서 ${\displaystyle ⟨,}$⋅, ⋅,${\displaystyle }$\,$$\$displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle$}}은 R p + ${\displaystyle {q,}^{}}$ ${\$의 표준 내측 제품이다$.$

$그런{\displaystyle \mathrm{}}$ 다음 O${\displaystyle }$( ${\displaystyle p}$ ,${\displaystyle q}$) ${\displaystyle \mathrm {O}(p,q)}$을(를) 이선형 형식을 보존하는${\displaystyle }$(${\displaystyle p}$+ ${\displaystyle q}$) ${\displaystyle \times }$( ${\displaystyle p}$+ ${\displaystyle q}$) ${\displaystyle (p+q)\time (p+q)}$ 행렬의$$ 그룹으로 정의한다$$.^[3]

${\displaystyle \mathrm {O} (p,q)=\{A\in M_{p+q}(\mathbb {R} ) [Ax,Ay]_{p,q}=[x,y]_{p,q}\,\forall x,y\in \mathbb {R} ^{p+q}\}}$.

보다 명시적으로, O(${\displaystyle p}$,${\displaystyle q}$) ${\displaystyle \mathrm$ {$O}(p,q)}$은(는) 다음과^[4] $같은{\displaystyle }$ 행렬$$A {\$displaystyle$ A$}$로 구성된다$$.

${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {t\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{r}}^{}}$ ${\displaystyle g^{}}$= ${\displaystyle {\mathrm{A}}^{}}$- 1 ${\$

여기서 $A{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {t\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{r}}^{}}$ ${\$은(는) $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 전치물이다$.$

p 양의 고유값과 q의 값을 갖는 대칭 행렬로 g를 대체함으로써 이형성 그룹(사실, GL(p + q)의 결합 부분군)을 얻는다.이 행렬을 대각선화하면 표준 그룹 O(p, q)와 이 그룹을 조합할 수 있다.

부분군

그룹 SO⁺(p, q)와 O(p, q)의 관련 하위 그룹은 대수적으로 설명할 수 있다.O(p, q)의 행렬 L을 블록 행렬로 분할:

${\displaystyle L={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}$

여기서 A, B, C, D는 각각 p×p, p×q, q×p, q×q 블록이다.왼쪽 상단 P×p 블록 A가 양의 결정 인자를 갖는 O(p, q)의 행렬 집합이 부분군임을 알 수 있다.아니면, 다른 말로 하자면

${\displaystyle L={\begin{pmatrix}A&B\\\C&D\end{pmatrix}\;\mathrm {and} \;M={\begin{pmatrix}W&X\\Y&Z\end{pmatrix}}$

O(p, q)에 있다.

${\displaystyle(\operatorname {sgn} \det A)(\operatorname {sgn} \det W)=\operatorname {sgn} \det(AW+BY) \det.}$

오른쪽 하단 q×q 블록에 대한 유사한 결과도 유지된다.부분군 SO⁺(p, q)는 Det A와 Det D가 모두 양수인 행렬 L로 구성된다.^[5][6]

모든 매트릭스에게 LO(p, q)에, A와 D의 결정 요인=},(A=det D1≥. SO(p, q)나는 그런 det A와det D 하는 매트릭스로 구성되어 있특히{\displaystyle \det A=\det D\geq 1.}[7], 서브 그룹은 det Ddet 속성을 나는det L{\textstyle{\frac{A\det}{D\det}}=\det다. 그같은 ^[5]표식

위상

라고 가정하면 둘 다 피와 q어느 쪽도 그룹의 O(p, q)도 SO(p, q)각각 4두가지 요소를 가지고 있는 연결되어 있는 긍정적이다.각 경제 요소 요소 또는 취소하는 p의 해당 방향과에 그 양식이 분명하다q차원 subspaces, 노트하려면 코트 샘플 및 팁을 보존하고 π0(O(p, q))≅ 지휘 통제 × C2는 클라인 four-group.이 서브 스페이스들 중 오직 한 곳에서만 역방향으로 방향을 바꿀 때 전체 공간에서의 방향은 전체 공간에서의 방향을 반대로 한다.특수 직교 그룹은 구성 요소₀ p(SO(p, q) = {(1, 1)1, 1, (-1, -1)}을(를) 가지고 있으며, 각 구성 요소는 두 방향을 모두 유지하거나 두 방향을 모두 반전시키거나, 어느 경우든 전체 방향을 유지한다.^{[clarification needed]}

O(p, q)의 아이덴티티 구성요소는 흔히⁺ SO(p, q)로 표시되며, 두 방향을 모두 보존하는 SO(p, q)의 요소 집합으로 식별할 수 있다.이 표기법은 직교 로렌츠 그룹에 대한 표기법⁺ O(1, 3)와 관련이 있는데, 여기서 +는 첫 번째 (임시) 차원에 대한 방향을 보존하는 것을 말한다.

그룹 O(p, q)도 콤팩트하지는 않지만 형태가 확실한 서브스페이스에 작용하는 컴팩트 서브그룹 O(p)와 O(q)를 포함한다.실제로 O(p) × O(q)는 O(p, q)의 최대 콤팩트 부분군이고, S(O) × O(q)는 SO(p, q)의 최대 콤팩트 부분군이다.마찬가지로 SO(p) × SO(q)는 SO⁺(p, q)의 최대 콤팩트 부분군이다.따라서 공간은 (특수) 직교 그룹의 생산물에 해당하는 호모토피이며, 여기서 알헤브로-위상학적 불변성을 계산할 수 있다.(최대 소형 부분군을 참조하십시오.)

특히 SO⁺(p, q)의 기본 그룹은 components₁(SO⁺(p, q) = =(SO₁)(p)× π₁(SO(q))의 기본 그룹의 산물이며, 다음과 같이 주어진다.

π1(SO+(p, q))	p = 1	p = 2	p ≥ 3
q = 1	C1	Z	C2
q = 2	Z	Z × Z	Z × C2
q ≥ 3	C2	C2 × Z	C2 × C2

직교군 분할

짝수치수에서 중간군 O(n, n)는 분할직교군(split orthogonal group)으로 알려져 있으며, 예를 들어 끈 이론에서 T-이중성 변환군(t-duality transformation group)으로 발생하기 때문에 특히 관심이 많다.복잡한 Lie 대수학에 해당하는 분할 Lie 그룹이다_2n. 그래서 (Lie 대수의 분할된 실제 형태의 Lie 그룹); 더 정확히 말하면, ID 요소는 분할 Lie 그룹이다. 비 ID 요소들은 Lie 대수로부터 재구성될 수 없기 때문이다.이런 의미에서 그것은 복합 리 대수학의 콤팩트한 실제 형태인 확정직교군 O(n) := O(n, 0) = O(0, n)와 반대되는 것이다.

사례(1, 1)는 분할 복합 숫자의 곱셈 그룹에 해당한다.

리 유형의 그룹이라는 측면에서, 즉 리 대수학에서 대수학 그룹을 건설한다는 측면에서, 분할 직교 그룹은 체발리 그룹인 반면, 분할 직교 그룹은 약간 더 복잡한 구성이 필요한 그룹이며, 스타인버그 그룹이다.

분할 직교 그룹은 비혈관적으로 닫힌 필드에 일반화된 플래그 다양성을 구성하는 데 사용된다.

이 구간은 확장이 필요하다.덧셈으로 도와줘도 좋다(2011년 3월)

참고 항목

• 직교군
• 로렌츠 군
• 푸앵카레 군
• 대칭 이선형

참조