실린더

원통(그리스어: κινςςςςςςς roman roman roman roman roman, 로마자: kulindros, litted. 'roller', 'tumbler')^[1]은 전통적으로 곡선 기하학적 형상 중 가장 기본적인 것 중 하나인 3차원 입체였다.기하학적으로, 그것은 원을 밑바탕으로 하는 프리즘으로 여겨져 왔다.

이 전통적인 관점은 기하학의 기초적인 처리에 여전히 사용되고 있지만, 진보된 수학적 관점은 무한 곡선 표면으로 옮겨갔고 이것이 바로 원통이 기하학과 토폴로지의 다양한 현대 분기에서 정의되는 방법입니다.

기본적인 의미(견고한 의미와 표면적인 의미)의 변화는 용어와 함께 애매한 부분을 만들어냈다.일반적으로 문맥이 의미를 명확히 하기를 바란다.두 가지 관점 모두 일반적으로 고체 실린더와 원통형 표면을 참조함으로써 제시되고 구분되지만, 문헌에서 장식되지 않은 실린더라는 용어는 이들 중 하나 또는 훨씬 더 전문화된 물체인 오른쪽 원형 실린더를 지칭할 수 있습니다.

종류들

이 섹션의 정의와 결과는 1913년 조지 웬트워스와 데이비드 유진 스미스(Wentworth & Smith 1913)가 쓴 평면과 솔리드 지오메트리에서 가져온 것이다.

A는 주어진 선과 평행하고 주어진 선과 평행하지 않은 평면에서 고정된 평면 곡선을 통과하는 모든 선상의 모든 점으로 이루어진 표면이다.이 평행선 패밀리의 모든 선을 원통형 표면의 요소라고 합니다.운동학의 관점에서, 원통형 표면은 다이렉트릭스라고 불리는 평면 곡선이 주어졌을 때, 다이렉트릭스의 평면이 아닌 제네트릭스라고 불리는 선에 의해 추적되어 자신과 평행하게 움직이고 항상 다이렉트릭스를 통과하는 표면이다.제너레이터트릭스의 특정 위치는 원통면의 요소이다.

원통형 표면과 두 개의 평행 평면으로 둘러싸인 고체를 (고체)라고 합니다.두 평행 평면 사이의 원통 표면의 요소에 의해 결정되는 선분을 원통의 요소라고 합니다.실린더의 모든 요소는 길이가 같다.평행 평면 중 하나에서 원통 표면에 의해 경계되는 영역을 원통 a라고 합니다.원통의 두 밑부분은 합동 도형이다.실린더의 요소가 베이스를 포함하는 평면에 수직인 경우 실린더는 a이고, 그렇지 않은 경우 실린더는 a라고 불립니다.베이스가 디스크(경계가 원인 영역)인 경우 실린더는 a라고 불립니다.일부 기본 처리에서 실린더는 항상 원형 ^[2]실린더를 의미합니다.

실린더(또는 고도)는 베이스 사이의 수직 거리입니다.

직선 세그먼트를 평행한 고정선 중심으로 회전시켜 얻은 원통은 이다. 회전 원통은 오른쪽 원통이다.회전 원통의 높이는 생성 선분의 길이입니다.세그먼트가 회전하는 선은 실린더의 로 불리며 두 베이스의 중심을 통과합니다.

우측 원형 실린더

베어텀 실린더는 종종 그림과 같이 축에 수직인 원형 단부가 있는 솔리드 실린더, 즉 우측 원형 실린더를 말합니다.끝이 없는 원통형 표면을 " "라고 합니다.표면적과 우측 원형 원통의 부피에 대한 공식은 고대 초기부터 알려져 왔다.

오른쪽 원통형 원통은 직사각형의 한쪽 변을 회전시킴으로써 생기는 회전의 고체라고 생각할 수도 있다.이러한 실린더는 회전체의 ^[3]부피를 얻기 위한 통합 기술("디스크 방법")에 사용됩니다.

특성.

원통형 단면

원통형 단면은 원통 표면과 평면의 교차점이다.일반적으로 곡선이며 평면 단면의 특수한 유형입니다.원통의 두 요소를 포함하는 평면의 원통 단면은 ^[4]평행사변형이다.오른쪽 원통의 이러한 원통 ^[4]부분은 직사각형이다.

교차하는 평면이 실린더의 모든 요소와 교차하고 수직인 원통 부분을 ^[5]a라고 한다.원통의 오른쪽 부분이 원이라면 원통은 원통이다.보다 일반적으로 실린더의 오른쪽 섹션이 원뿔 섹션(포물선, 타원, 쌍곡선)인 경우, 고체 실린더는 각각 포물선, 타원 및 쌍곡선이라고 합니다.

우측 원형 실린더의 경우 평면이 실린더와 만날 수 있는 방법은 여러 가지가 있습니다.첫째, 최대 한 점에서 기준점과 교차하는 평면입니다.평면이 단일 요소에서 실린더와 만나면 실린더에 접선합니다.오른쪽 섹션은 원이고 다른 모든 평면은 타원형의 원통 ^[6]표면과 교차합니다.평면이 정확히 두 점에서 실린더의 베이스와 교차하는 경우 이러한 점을 연결하는 선분은 원통형 단면의 일부가 됩니다.이러한 평면이 두 개의 요소를 포함하는 경우 원통 섹션으로 직사각형을 가지며, 그렇지 않은 경우 원통 섹션의 변은 타원의 일부입니다.마지막으로 평면에 베이스의 점이 3개 이상 포함되어 있으면 베이스 전체가 포함되며 원통형 단면은 원입니다.

타원형인 원통형 우측 원통형의 경우 원통형 단면과 원통형 단면 반장축 a의 편심 e는 원통형 r의 반지름과 원통형 평면과 원통축의 각도α에 따라 다음과 같이 달라진다.

${\displaystyle e=\cos \alpha,}$

$(\displaystyle a=snarfrac {r}{\sin \alpha}}).}$

용량

원형 실린더의 베이스가 반지름 r을 가지며 실린더의 높이가 h를 가지면, 그 부피는 다음과 같이 주어진다.

V = rh².

이 공식은 실린더가 오른쪽 ^[7]실린더인지 아닌지를 나타냅니다.

이 공식은 Cavalieri의 원리를 사용하여 확립할 수 있다.

보다 일반적으로, 같은 원리에 의해, 실린더의 부피는 베이스의 면적과 높이의 곱이다.예를 들어 반장축 a, 반장축 b 및 높이 h를 가진 밑면을 가진 타원 원통은 부피 V=Ah이며, 여기서 A는 밑면 타원(=θab)의 면적이다.오른쪽 타원 실린더에 대한 이 결과는 실린더의 축을 양의 x 축으로 하고 A(x) = A 각 타원 단면의 면적을 갖는 적분으로도 얻을 수 있습니다. 따라서 다음과 같습니다.

${\displaystyle V=\int _{0}^{h}A(x)dx=\int _{0}^{h}\pi abx=\pi ab\int _{0}^{h}\pi abh.}$

원통 좌표를 사용하여 오른쪽 원형 실린더의 부피는 다음 중 하나의 적분에 의해 계산될 수 있습니다.

${\displaystyle =\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}s,ds,d\phi,dz}$

${\displaystyle =\pi \,r^{2},h}$

표면적

반지름 r과 고도(높이) h를 가지며, 축이 수직이 되도록 방향을 잡은 우측 원형 실린더의 표면적은 세 부분으로 구성된다.

• 맨 위 베이스의 면적: µr²
• 바닥 밑면 면적: µr²
• 옆면 면적: 2 헥사르

상하 베이스의 면적이 같고, 베이스 영역 B라고 불립니다.측면의 영역은 , L로 알려져 있습니다.

열린 실린더에는 상단 또는 하단 요소가 포함되어 있지 않으므로 표면적(측면적)이 있습니다.

L = 2µrh.

솔리드 우측 원형 실린더의 표면적은 상단, 하단 및 측면의 세 가지 구성 요소의 합으로 구성됩니다.따라서 표면적은

A = L + 2B = 2µrh + 2µr² = 2µr(h + r) = µd(r + h),

여기서 d = 2r은 원형 상단 또는 하단의 직경이다.

주어진 부피에서, 표면적이 가장 작은 오른쪽 원형 실린더는 h = 2r이다.마찬가지로 소정의 표면적에 대하여 부피가 가장 큰 우측 원형 실린더는 h = 2r, 즉 측장 = 고도(= 베이스 ^[8]원의 직경)의 입방체에 딱 들어맞는다.

우측 실린더일 필요가 없는 원형 실린더의 측면 면적 L은 일반적으로 다음과 같이 구한다.

L = e × p,

여기서 e는 요소의 길이이고 p는 ^[9]실린더 오른쪽 부분의 둘레입니다.그러면 실린더가 우측 원형 실린더일 때 횡방향 면적에 대한 이전 공식이 생성됩니다.

우측 원형 중공 실린더(원통형 쉘)

우측 원형 중공 실린더(또는 )는 다이어그램과 같이 동일한 축을 가진 2개의 우측 원형 실린더와 실린더의 공통 축에 수직인 2개의 평행한 고리 베이스로 둘러싸인 3차원 영역이다.

높이는 h, 내부 반지름 r 및 외부 반지름 R로 합니다.볼륨은 다음과 같습니다.

$h$$}$$\}.$

따라서 원통형 쉘의 부피는 2µ(평균 반지름)(고도)(두께)^[10]와 같다.

상단과 하단을 포함한 표면적은 다음과 같습니다.

$display$$$$\}.$

원통형 쉘은 ^[11]회전하는 고체의 부피를 찾기 위한 공통 적분 기술에 사용됩니다.

구면 및 원통

기원전 225년경에 쓰여진 이 이름의 논문에서, 아르키메데스는 그가 가장 자랑스러워했던 결과, 즉 구와 같은 높이와 직경의 외접된 오른쪽 원형 원통 사이의 관계를 이용하여 구체의 부피와 표면적에 대한 공식을 얻었다.구체는 외접 원통의 부피 2/3와 원통(베이스 포함)의 표면적 2/3를 가진다.실린더의 값은 이미 알려져 있었기 때문에, 그는 처음으로 구에 대응하는 값을 얻었다.반지름 r의 구의 볼륨 .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac.num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .d.mw-parser-output 있다.En{border-top:1px 고체}.mw-parser-output=2/3(2πr3).sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}4/3πr3.이 구의 표면적은 4µr² = 2/3(6µr²)입니다.아르키메데스의 무덤에는 그의 요청에 따라 조각된 구체와 원통이 놓여졌다.

원통형 표면

기하학 및 토폴로지의 일부 영역에서 실린더라는 용어는 원통 표면이라고 불리는 것을 가리킵니다.실린더는 소정의 선과 평행하고 소정의 ^[12]선과 평행하지 않은 평면에서 고정평면곡선을 통과하는 모든 선상의 모든 점으로 이루어진 면으로 정의된다.이러한 실린더는 때때로 로 불리기도 합니다.일반화된 실린더의 각 지점을 ^[13]통해 실린더에 포함된 고유한 선이 통과합니다.따라서, 이 정의는 실린더가 단일 매개 변수 계열의 평행선에 걸쳐 있는 모든 규칙 표면이라고 바꿔 말할 수 있습니다.

오른쪽 단면이 타원, 포물선 또는 쌍곡선인 원통을 각각 타원 원통, 포물선 원통, 쌍곡선 원통이라고 한다.이것들은 퇴화된 4차원 ^[14]표면입니다.

4차원의 주축을 기준 프레임에 정렬할 때(4차원의 경우 항상 가능), 3차원의 4차원의 일반 방정식은 다음과 같습니다.

${\displaystyle f(x,y,z)=Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+Dx+Ey+Gz+H=0,}$

A, B, C의 모든 계수가 0이 아닌 실수인 경우.방정식에 하나 이상의 변수가 나타나지 않으면 2차 변수가 퇴화됩니다.하나의 변수가 누락된 경우, 우리는 축의 적절한 회전에 의해 변수 z가 나타나지 않는다고 가정할 수 있으며 이러한 유형의 퇴화 2차 방정식은 다음과^[15] 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle A\left(x+{\frac {D}{2})A}}\오른쪽)^{2}+B\left(y+{\frac {E}{2})B}}\right)^{2}=\rho,}$

어디에

${\displaystyle \rho =-H+{\frac {D^{2}}}{4A}}+{\frac {E^{2}}{4B}}.}$

타원 원통

AB > 0일 경우 이는 타원 ^[15]실린더의 방정식이다.축의 변환과 스칼라 곱셈에 의해 한층 더 심플화를 얻을 수 있다.$(\displaystyle$ \$rho)$가 계수 A 및 B와 같은 부호를 갖는 경우 타원 원통의 방정식은 다음과 같이 데카르트 좌표로 재작성할 수 있다.

${{displaystyle \leftfrac {x}{a}}\right)^{2}+\leftfrac {y}{b}}\right)^{2}=1.}$

타원 실린더의 이 방정식은 일반 원형 실린더의 방정식(a = b)의 일반화이다.타원 실린더는 원통형으로도 알려져 있지만, 이 이름은 플뤼커 원추체를 지칭할 수도 있기 때문에 애매합니다.

$\theta {\displaystyle }${\$displaystyle \rho}$의 부호가 계수와 다르면 다음과 같이 가상의 타원 실린더를 구합니다.

$\displaystyle \leftfrac {x} {a} \right) {{2} +\leftfrac {y} {b} \right) {{2} =-1,}$

진짜 요점이 없는 것들이죠(${\displaystyle }$ ${\displaystyle =}$ { $displaystyle \rho$=$0}$은 단일 실제 포인트를 제공합니다.)

쌍곡 원통

A와 B의 부호가 다르고 ${\displaystyle \mathrm{\theta }}$ 0$(\displaystyle \rho \neq$ 0$)$이면 쌍곡선 실린더를 얻습니다.이 실린더의 방정식은 다음과 같이 고쳐 쓸 수 있습니다.

${{displaystyle\leftfrac {x}{a}}\right)^{2}-\leftfrac {y}{b}}\right)^{2}=1.}$

포물선 원통

마지막으로 AB = 0이 일반성의 손실 없이 B = 0 및 A = 1로 가정하여 다음과 같이 쓸 ^[16]수 있는 방정식을 사용하여 포물선 원통을 구한다.

${\displaystyle {x}^{2}+2a{y}=0.}$

투영 형상

투영 기하학에서 원기둥은 평면에 무한대의 정점(수직)이 있는 원뿔입니다.원뿔이 2차 원뿔인 경우 무한대 평면(정점을 통과하는)은 두 개의 실선, 즉 단일 실선(실제로 일치하는 선의 쌍) 또는 정점에서만 원뿔과 교차할 수 있습니다.이러한 경우 각각 ^[17]쌍곡선, 포물선 또는 타원 실린더가 발생합니다.

이 개념은 원통형 원뿔을 포함할 수 있는 퇴화 원뿔을 고려할 때 유용합니다.

프리즘

고체 원통은 n이 무한대에 근접하는 n-고날 프리즘의 한계 케이스로 볼 수 있다.연결성이 매우 강하고 많은 오래된 텍스트가 프리즘과 실린더를 동시에 취급합니다.내접 프리즘과 외접 프리즘을 이용하여 프리즘의 변의 수를 ^[18]제한 없이 증가시킴으로써 대응하는 프리즘 공식에서 표면적 및 부피의 공식을 도출한다.원형 실린더를 초기에 강조하는 이유 중 하나는 원형 베이스가 이 기법이 기본적인 고려사항만을 사용하는 유일한 기하학적 도형이기 때문입니다(미적분이나 더 고급 수학에 호소하지 않음).프리즘과 실린더에 대한 용어는 동일합니다.따라서, 예를 들어, 잘린 프리즘은 베이스가 평행 평면에 놓여 있지 않은 프리즘이기 때문에, 베이스가 평행 평면에 놓여 있지 않은 고체 원통은 잘린 원통이라고 불릴 것이다.

다면체의 관점에서 실린더는 무한변 2면체로서의 바이콘의 쌍대체로도 볼 수 있다.

균등-곤 프리즘 계열 v t
프리즘명	디지널 프리즘	(트리거) 삼각 프리즘	(사각형) 사각 프리즘	오각 프리즘	육각 프리즘	칠각 프리즘	팔각 프리즘	에네오갈 프리즘	십각형 프리즘	헨데카날 프리즘	도데카날 프리즘	...	편평 프리즘
다면체 이미지												...
구형 타일 이미지												평면 타일 이미지
정점 설정	2.4.4	3.4.4	4.4.4	5.4.4	6.4.4	7.4.4	8.4.4	9.4.4	10.4.4	11.4.4	12.4.4	...	∞.4.4
콕서터 다이어그램												...

「 」를 참조해 주세요.

• 도형 목록
• 두 개 또는 세 개의 수직 실린더의 교차점인 Steinmetz 솔리드

메모들

레퍼런스

• Albert, Abraham Adrian (2016) [1949], Solid Analytic Geometry, Dover, ISBN 978-0-486-81026-3
• Swokowski, Earl W. (1983), Calculus with Analytic Geometry (Alternate ed.), Prindle, Weber & Schmidt, ISBN 0-87150-341-7
• Wentworth, George; Smith, David Eugene (1913), Plane and Solid Geometry, Ginn and Co.

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Cylinder". MathWorld.
• MATHguide에서 실린더 표면적
• MATHguide의 실린더 부피