탄젠트 벡터

수학에서 접선 벡터는 주어진 지점에서 곡선이나 표면에 접하는 벡터입니다.접선 벡터는 R의 곡선의ⁿ 맥락에서 곡선의 미분 기하학으로 설명됩니다.보다 일반적으로, 탄젠트 벡터는 미분 가능한 다양체의 탄젠트 공간의 요소이다.접선 벡터는 세균으로도 설명할 수 있다.형식적으로 x$(\displaystyle$x) $지점$의 접선 벡터는 x$(\displaystyle$x$)$의 세균 $집합$에 의해 정의된 대수의 선형 파생입니다.

동기

탄젠트 벡터의 일반적인 정의를 진행하기 전에, 우리는 미적분에서의 그것의 사용과 그것의 텐서 특성에 대해 논의한다.

미적분학.

r${\displaystyle }$(${\displaystyle t}$ )$${$displaystyle \mathbf {r}(t)}$을(를) 파라메트릭 평활 곡선이라고 $합니다{\displaystyle \mathbf{}}$.탄젠트 벡터는 r ${\displaystyle (}$ ( $)\displaystyle \mathbf {r} '(t$로 주어집니다.여기서 파라미터 ^[1]t에 대한 차이를 나타내기 위해 일반적인 점 대신 소수를 사용했습니다.단위 접선 벡터는 다음과 같이 주어진다.

예

곡선이 주어짐

${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ 3$${\$displaystyle \mathbb {R}$^{$3$에서 t ${\displaystyle =}$ {\$displaystyle$ t$=0}$에서 단위 탄젠트 벡터는 다음과 같이 주어진다.

위배

$r{\displaystyle \mathbf{}}$( ${\displaystyle t}$)$${\$displaystyle$ \$mathbf {r}$ (t$)$ } 이$$ n차원 좌표계ⁱ x (여기에서는 일반적인 첨자 대신 윗첨자를 지수로 사용) 로${\displaystyle }$r (${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle {}^{}}$ ( ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ (${\displaystyle t}$) ,${\displaystyle }$x${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle t}$ ) , ${\displaystyle {}^{}}$ ,$x$ ${\displaystyle n^{}}$ (${\displaystyle t}$ ) ${$$displaystyle$$\$mathbf {$r}$ ( t )$=$ 1 ( t )

그러면 탄젠트 $벡터장{\displaystyle \mathbf{}}$ T ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {Ti}^{}}$ $\$=$T^{i}$는 다음과 같이 주어진다.좌표 변경 중탄젠트 $벡터{\displaystyle \stackrel{}{\mathbf{}}}$ T ${\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{}i}^{}}$i { $displaystyle {\mathbf {T}} = u-좌표계$의ⁱ 탄젠트 $벡터$ T = T i i$}$는 다음과 같습니다$$.아인슈타인 합산법칙이 사용되었습니다.따라서 매끄러운 곡선의 탄젠트 벡터는 좌표 ^[2]변경 시 순서 1의 반변 텐서로 변환됩니다.

정의.

f${\displaystyle }$: ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ {\$displaystyle$ f$:\mathbb {R}$^{$n}\to \mathbb {$$R}$$$$}$을$($를) ${\displaystyle {}^{}}$ n \$displaystyle \mathbbb {R} ^{$$n$$\}$의 벡터라고 $합니다{\displaystyle \mathbf{}}$. 여기서 방향 도함수를 $정의합니다.$${\displaystyle n^{}}$ $\$ \$in \mathbb {R}$^{$n$$}$ 。

x$(\$ $지점$의 접선 벡터는 다음과 같이 정의할^[3] 수 있습니다.

특성.

f${\displaystyle ,g}$ : ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ {\$displaystyle$ f$,g:\mathbb {R}$^{$n}$ \$to \mathbb {R}$}을$$(를) 미분 가능한 함수라고 $가정$하고${\displaystyle ,}$ v ,$$ \$displaystyle \mathbf$${v}$ , \$mathbb$$${w$$$}$ $^{$n} } ^{$}$ ${\displaystyle \}}$ {n} } } } ^${\displaystyle {}^{}}$$}$ } } 에서의 R의 접선 벡터로 $합니다{\displaystyle \mathbf{}}$.§ $R${\$displaystyle a, b\in$ \$mathbb$ {R$}$ $\}$ ${\displaystyle 。}$

1. ${\displaystyle(a\mathbf {v} +b\mathbf {w})(f)=a\mathbf {v}(f)+b\mathbf {w}(f)}$
2. ${\displaystyle \mathbf {v} (af+display)=a\mathbf {v} (f)+b\mathbf {v} (g)}$
3. $\displaystyle \mathbf {v}(fg)=f(\mathbf {x})\mathbf {v}(g)+g(\mathbf {x})\mathbf {v}(f),}$

다지관의 탄젠트 벡터

M$(\displaystyle$ M$)$을 미분 가능한 다양체$,$ A$(Displaystyle$ A$(M$))를 M(\$displaystyle$M$)$의 실수치 미분 가능 함수의 대수라고 $가정$하고, 다지관 내 점$x{\displaystyle }$(\$displaystyle$ x$)$에 대한 접선 벡터를 D${\displaystyle {}_{}M)}$로 구한다.${\displaystyle \to }$ $(\$는 선형이어야 합니다${\displaystyle .}$ 즉, $임의$의 f${\displaystyle ,}$ $g$A($)$ 및$$ $a{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle bb\mathbb{}}$ R$${$displaystyle$ f$,g\in A$$(M$)}에$$대해 다음과$같습니다.$

$\displaystyle D_{v}(af+bg)=aD_{v}(f)+bD_{v}(g),}$

파생은 정의상 라이프니츠 속성을 가집니다.

${\displaystyle D_{v}(f\cdot g)(x)=D_{v}(f)(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot D_{v}(g)(x),}$

「 」를 참조해 주세요.

• 미분 가능 곡선 tangent 탄젠트 벡터
• 미분 가능한 표면 tangent 탄젠트 평면 및 법선 벡터

레퍼런스

참고 문헌

• 를 클릭합니다Gray, Alfred (1993), Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces, Boca Raton: CRC Press.
• 를 클릭합니다Stewart, James (2001), Calculus: Concepts and Contexts, Australia: Thomson/Brooks/Cole.
• 를 클릭합니다Kay, David (1988), Schaums Outline of Theory and Problems of Tensor Calculus, New York: McGraw-Hill.