레귤러 체인

컴퓨터 대수학에서, 정규 체인은 필드 위에 있는 다변량 다항식 링에 있는 특정한 종류의 삼각형이다.그것은 특성 집합의 개념을 강화시킨다.

소개

선형 시스템을 부여하면 가우스 제거를 통해 삼각형 시스템으로 변환할 수 있다.비선형 케이스의 경우, 필드 위에 다항식 시스템 F가 주어지는 경우, 대수적 다양성 V(F)가 이들 삼각형 집합에 의해 설명된다는 의미에서 유한 삼각형 집합으로 변환(탈락 또는 삼각형화)할 수 있다.

삼각형 집합은 빈 집합만 설명할 수 있다.이러한 퇴보 사건을 바로잡기 위해 칼브레너(1993년), 양, 장(1994년)에 의해 독자적으로 정규 사슬의 개념이 도입되었다.츄와 가오(1992년)에도 일반 사슬이 등장한다.일반 체인은 대수 품종의 비혼합 차원 분해를 계산하기 위해 다른 알고리즘에 사용되는 특별한 삼각형 집합이다.인자화를 사용하지 않고 이러한 분해는 우의 알고리즘에 의해 생성된 것들보다 더 나은 속성을 가지고 있다.Kalkbrener의 원래 정의는 다음과 같은 관찰에 근거했다: 모든 수정 불가능한 다양성은 그것의 일반적인 점들 중 하나에 의해 독특하게 결정되며, 다양성은 그 수정 불가능한 구성 요소의 일반적인 점을 설명함으로써 표현될 수 있다.이러한 일반적인 점들은 일반 사슬에 의해 주어진다.

예

Q를 합리적인 숫자 필드를 표시하십시오.Q[x₁, x₂, x₃]에서 변수 순서 x₁₂ < x < x₃,

${\displaystyle T=\{x_{2}^{2}-x_{1}^{2},x_{2}(x_{3}-x_{1}\}}).$

삼각형 세트인 동시에 일반 체인이기도 하다.T에 의해 주어지는 두 가지 일반적인 지점은 (a, a, a)와 (a, -a, a)이며, 여기서 a는 Q를 초월한다.따라서 각각 { x₂ - x₁, x₃ - x₁ }과(와₂) { x₁ + x₃, x - x₁ }이(가) 주는 두 가지 수정 불가능한 구성 요소가 있다.유의할 점은 (1) 두 번째 다항식의 내용은 x이며₂, 이는 표시된 일반적인 점에 기여하지 않으므로 제거할 수 있다. (2) 각 성분의 치수는 1, 일반 체인의 자유 변수의 수입니다.

형식 정의

다항식 링의 변수

${\displaystyle R=k[x_{1},\ldots,x_{n}]}$

항상 x₁ < ⋯ < x_n. R ${\displaystyle R}$의 비정규 다항식 f는 그 최대 변수에서 일변량 다항식으로 볼 수 있다$$.f에서 가장 큰 변수를 mvar(f)로 나타내는 주 변수라고 한다.f의 주요 변수가 되어 f로 쓰도록 하자.

${\displaystyle f=a_{e}u^{e}+\cdots +a_{0}}}$

여기서 e는 u에 대한 f의 정도이며 ${\displaystyle e_{}}$ ${\$는 u에 대한 f의 선행 계수다$$.그 다음 f의 ${\displaystyle {초기}_{}}$는 e ${\$이고 e는 주 도이다.

• 삼각 세트

$R{\displaystyle }$ {\$displaystyle R}$의 비어 있지 않은 부분 집합 T는 T의 다항식이 일정하지 않고 뚜렷한 주 변수를 갖는 경우 삼각형 집합이다$.$따라서 삼각형 집합은 유한하며, 최대 n개의 카디널리티를 가진다.

• 레귤러 체인

Let T = {t₁, ..., t_s}은(는) mvar(t₁) < mvar(t_s), ${\displaystyle h_{}}$ i ${\$ h_${i}}$가 t의_i 초기, h가_i h의 제품이 되도록 삼각형 집합으로 한다.그렇다면 T는 일반 체인이다.

${\displaystyle \mathrm {resultant}(h,T)=\mathrm {resultant}(\cdots(\mathrm {resultant})(h,t_{s}),\ldots, t_{i}\cdots )\neq 0,}$

여기서 각 결과물을 t의_i 주 변수에 대해 각각 계산한다.이 정의는 양과 장으로부터 나온 것으로, 알고리즘적인 맛이 많이 난다.

• 일반 사슬의 준 성분 및 포화 이상

일반 체인 T에 의해 기술된 준 구성요소 W(T)는 다음과 같다.

${\displaystyle W}$( ${\displaystyle T}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle V}$( T${\displaystyle }$) ${\displaystyle \setminus }$ ${\displaystyle V}$( ${\displaystyle h}$) ${\displaystyle W(T)=V(T)\setminus V(h$ 즉,

V(T)와 V(h)의 설정 차이일반 체인의 부착 대수적 대상은 포화 이상이다.

${\displaystyle \mathrm {sat}(T)=(T):h^{\inflt }}$

고전적인 결과는 W(T)의 자리스키 폐쇄가 sat(T)에 의해 정의된 다양성과 같다는 것이다. 즉,

${\displaystyle {\overline {W(T)}}=V(\mathrm {sat}(T)),}$

그리고 그 치수는 n - T , 변수의 수와 T의 다항식의 수의 차이 입니다.

• 삼각 분해

일반적으로 다항식 시스템 F를 분해하는 방법에는 두 가지가 있다.첫 번째는 나른하게 분해하는 것, 즉 (Kalkbrener)의 의미에서 그것의 일반적인 점을 나타내기 위해서입니다,

${\displaystyle {\sqrt {(F)}=\bigcap _{i=1}^{e}{\sqrt {\mathrm {sat}(T_{i})}}.}$

두 번째는 모든 영점을 라자드 감각으로 묘사하는 것이다.

${\displaystyle V(F)=\빅컵 _{i=1}^{e}W(T_{i}).}$

어떤 의미에서든 삼각 분해에 사용할 수 있는 다양한 알고리즘이 있다.

특성.

다항 링 R에서 T를 일반 체인으로 한다.

• 포화 이상적 sat(T)는 치수 n - T와 혼합되지 않은 이상이다.
• 일반 체인은 다음과 같은 의미에서 강력한 제거 속성을 갖는다.

${\displaystyle \mathrm {sat}(T\cap k[x_{1},\ldots ,x_{i}))=\mathrm {sat}(T)\cap k[x_{1},\ldots ,x_{i}].}$

• p가 T에 의해 0으로 사이비 축소된 경우에만, 즉, 다항식 p가 sat(T)에 의해 0으로 축소되는 경우, 즉,

${\displaystyle p\in \mathrm {sat}(T)\iff \mathrm {prem}(p,T)=0.}$

따라서 sat(T)의 멤버십 테스트는 알고리즘이다.

• p ${\displaystyle \mathrm{r}}$ e ${\displaystyle \mathrm{m}(p}$, T ) ${\displaystyle \ne }$ $displaystyle \mathrm {p,T)\neq$ 0$}$ 및 r$$ ${\displaystyle \mathrm{e}}$ ${\displaystyle \mathrm{u}}$ l t ${\displaystyle \mathrm{a}}$ ${\displaystyle \mathrm{n}(\mathrm{p},}$ ${\displaystyle T}$)${\displaystyle }$= 0 ${\displaysty \mathrmatrix {resultant}(p,T)=0$인 경우에만 다항 p-divor modulo(T)이다.

따라서 sat(T)의 정규성 시험은 알고리즘이다.

• Primary 이상 P를 가정하면 P = sat(C)와 같은 일반 체인 C가 존재한다.
• 정규 체인 C의 첫 번째 요소가 수정 불가능한 다항식이고 다른 요소가 주 변수에서 선형인 경우 sat(C)가 가장 이상적인 것이다.
• 반대로 P가 가장 이상적인 경우, 변수의 거의 모든 선형 변화 후에 P = sat(C)와 같은 선행 형태의 정규 체인 C가 존재한다.
• 삼각형 집합은 포화 이상형의 Ritt 특성 집합인 경우에만 일반 체인이다.

참고 항목

• 우의 특성 집합법
• 그뢰브너 기준
• 일반 반알레브레이크 시스템
• 삼각분해

추가 참조사항

• P. 오브리, D. 라자드, M. 모레노 마자.삼각형 세트의 이론에 대해서.기호 연산 저널 28(1–2):105–124, 1999.
• F. Boulier와 F.르메아르와 M.모레노 마자삼각형 시스템과 D5 원리에 대한 잘 알려진 이론들.스페인 그라나다의 2006년 트랜시브 컴퓨팅.
• E. 휴버트.삼각형 집합 및 삼각측량-배분 알고리즘 I: 다항식 시스템에 대한 참고 사항.LNCS, 2630권, 스프링거-베를라그 하이델베르크.
• F. 르마이어와 M.모레노 마자와 Y. Xie.RegularChains 라이브러리.메이플 콘퍼런스 2005.
• 칼크브레너:다항식 링의 알고리즘 특성.J. 심브.계산 26(5): 525–581(1998).
• M. Kalkbrener : 대수 품종의 삼각표현 계산을 위한 일반화된 유클리드 알고리즘.J. 심브.계산 15(2): 143–167(1993).
• D. 왕.삼각 시스템 및 일반 시스템 계산.기호 계산 저널 30(2) (2000) 221–236.
• 양, L, 장, J(1994)대수 방정식 간의 종속성 검색: 자동 추론에 적용된 알고리즘.수학에서의 인공지능, 옥스퍼드 대학 출판부 14715페이지.