치수함수

수학에서 (정확한) 차원함수(게이지함수라고도 함)의 개념은 프랙탈과 미터법 공간의 다른 하위 집합을 연구하는 데 있어 하나의 도구다.치수 함수는 s-차원 하우스도르프 조치의 건설에 사용되는 단순한 "차원에 대한 지름" 전력법의 일반화다.

동기: s차원 하우스도르프 측도

미터법 공간(X, d)과 X의 부분집합 E를 고려한다. 숫자 s s 0에 따라, μ^s(E)로 표시된 E의 s차원 Hausdorff 측정치는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \mu \mu \^{s}=\lim _{\delta \to 0}\mu _{\delta }^{s}(E),}$

어디에

$\displaystyle \mu _{\delta }^{s}(E)=\inf \left\{\왼쪽.\sum _{i=1}^{\inful }\mathrm {diam}(C_{i})^{s}\right \mathrm {diam}(C_{i})\leq \delta _{i=1}^{{i}\inftepteq e\right}.}$

μ_δ^s(E)는 최대 Δ의 직경 집합으로 E 덮개의 최소 s차원 면적/볼륨을 계산하여 주어진 E의 "진정한" s차원 면적/볼륨에 대한 근사치로 생각할 수 있다.

증가 s의 함수로서 μ^s(E)는 증가하지 않는다.실제로 s의 모든 값에 대해, 가능한 한 하나를 제외하고^s, H(E)는 0 또는 +10 중 하나이며, 이 예외적인 값을 E의 Hausdorff 치수라고 하며, 여기서 dim_H(E)로 나타낸다.직관적으로 말하면, 유클리드 평면에 있는 2차원 디스크의 1차원 선형 길이와 같은 이유로^s μ(E) = +∞, 마찬가지로 유클리드 평면에 있는 디스크의 3차원 볼륨과 같은 이유로 μ^s(E) = 0 > 딤_HH(E)은 0이다.

치수 함수의 개념은 단지 직경(C)^s이 아닌 다른 직경의 함수를 일부 s에 대해 사용하는 것이며, 유한하고 0이 아닌 호스도르프 측정의 동일한 특성을 찾는 것이다.

정의

렛츠 (X, d)는 미터법 공간이고 E ⊆ X. 렛츠 h : [0, +∞] → [0, +∞]은 함수가 된다.μ^h(E) 정의 기준

${\displaystyle \mu \^{h}(E)=\lim _{\delta \to 0}\mu _{\delta }^{h}(E),}$

어디에

$\displaystyle \mu _{\delta }^{h}(E)=\inf \left\{\왼쪽.\sum _{i=1}^{\infit }h\left(\mathrm {diam})(C_{i}\right)\right \mathrm {diam}(C_{i})\leq \delta _{i=1}^{}\inftepsetq e\rig\right}.}$

μ^h(E)가 유한하고 엄격히 양성인 경우, H를 E에 대한 (정확한) 치수 함수(또는 게이지 함수)라고 한다.h가 가져야 하는 속성에 대해서는 많은 규약이 있다: 예를 들어 로저스(1998)는 h가 t ≥ 0에 대해서는 단조롭게 증가하고 t > 0에 대해서는 엄격히 양성이어야 하며, 모든 t ≥ 0에 대해서는 우측에 연속되어야 한다고 요구한다.

포장 치수

패킹 치수는 내부에서 직경이 Δ인 쌍으로 된 분리형 볼이 있는 "패킹" E 한 개를 제외하고, 하우스도르프 치수와 매우 유사한 방식으로 구성된다.전과 마찬가지로 E의 h패킹 측도가 유한하고 엄격히 양수인 경우, 함수 h : [0, + →] → [0, +∞] 보다 일반적이고 h(Δ) = Δ보다^s 더 일반적이며 e에 대한 정확한 치수 함수를 고려할 수 있다.

예

거의 확실히 유클리드 평면의 브라운 운동 표본 경로 X는 하우스도르프 치수가 2와 같으나 2차원 하우스도르프 측정 μ²(X)는 0이다.정확한 치수 함수 h는 로그 보정에 의해 주어진다.

${\displaystyle h(r)=r^{2}\cdot \log {\frac {1}{r}\cdot \log \log {\frac {1}{r}}.}$

즉, 확률 1로, R에서² 브라운 경로 X의 경우 0 < μ^h(X) > +103을 나타낸다.n ≥ 3이 있는 유클리드 n-공간 R에서ⁿ 브라운 운동을 하는 경우 정확한 치수 함수는

${\displaystyle h(r)=r^{2}\cdot \log {\frac {1}{r}.}$

참조

• Olsen, L. (2003). "The exact Hausdorff dimension functions of some Cantor sets". Nonlinearity. 16 (3): 963–970. doi:10.1088/0951-7715/16/3/309.
• Rogers, C. A. (1998). Hausdorff measures. Cambridge Mathematical Library (Third ed.). Cambridge: Cambridge University Press. pp. xxx+195. ISBN 0-521-62491-6.