세트 이론(음악)

Set theory (music)
두 세트와 공통 간격 벡터 212320 사이의 비교 용이성을 위해 피치 등급 간 간격을 [1]두고 Z17로 분석 가능한 두 피치 집합의 Z 관계 예제
세트 3-1은 3개의 회전/반전이 가능한데, 정상적인 형태는 가장 작은 파이 또는 가장 작은 형태다.

음악 세트 이론은 음악적 사물을 분류하고 그들의 관계를 묘사하는 개념을 제공한다. 하워드 핸슨은 처음으로 톤 음악을 분석하기 위한 많은 개념들을 상세히 설명했다.[2] 알렌 포르테와 같은 다른 이론가들은 밀턴 밥빗의 12음 이론을 그리면서 [3]무변음악 분석을 위한 이론을 더욱 발전시켰다. 음악 세트 이론의 개념은 매우 일반적이며 동등한 기질 튜닝 시스템에서 톤과 무통 스타일에 적용될 수 있으며, 어느 정도는 그보다 더 일반적으로 적용될 수 있다.

음악 세트 이론의 한 분야에서는 순서나 순서를 정하지 않을 수 있는 투구 및 피치 클래스(피치 클래스 세트 이론)의 모음(세트 및 순열)을 다루고 있으며, 전이, 멜로디 반전, 보완 등의 음악적 연산에 의해 관련될 수 있다. 일부 이론가들은 리듬 분석에도 음악 세트 이론의 방법을 적용한다.

수학적 집합론 대 음악 집합론

음악 세트 이론은 종종 수학적 세트 이론의 음악 적용과 관련이 있다고 생각되지만, 두 가지 방법 및 용어 사이에는 수많은 차이점이 있다. 예를 들어, 음악가들은 수학자들이 번역과 반성을 사용하는 전위 및 반전 용어를 사용한다. 게다가, 음악 집합 이론이 순서 집합을 언급하는 경우, 수학은 일반적으로 튜플이나 시퀀스를 가리킬 것이다. (수학은 순서 집합을 말하지만, 이것들은 어떤 의미에서는 음악 종류를 포함하는 것으로 보일 수 있지만, 그것들은 훨씬 더 관련이 있다.)

더구나 음악 집합론은 수학적 집합론보다는 집단 이론과 결합론과 더 밀접하게 연관되어 있는데, 이는 예를 들어 무한히 큰 집합의 다양한 크기와 같은 문제들과 그 자체에 관련된다. 조합학에서 순서가 지정되지 않은 부분 집합의 n 피치 클래스와 같은 객체를 조합이라고 하며 순열된 부분집합이라고 한다. 음악 세트 이론은 수학적 세트 이론의 한 분야라기보다는 음악 이론에 결합력을 적용한 것으로 더 잘 평가된다. 수학 집합 이론에 대한 그것의 주된 연결점은 집합 이론의 어휘를 유한 집합에 대해 말하기 위해 사용하는 것이다.

유형 설정 및 설정

주요 기사: 세트(음악)

음악 세트 이론의 기본 개념은 피치 클래스의 순서 없는 모음인 (뮤지컬) 세트다.[4] 더 정확히 말하면, 피치 클래스 세트는 구별되는 정수(즉, 중복되지 않은 정수)로 구성된 숫자 표현이다.[5] 세트의 요소들은 음악에서 동시 화음, 연속적인 음색, 또는 둘 다로 표현될 수 있다.[citation needed] 논설적인 관례는 저자에 따라 다르지만, 집합은 일반적으로 곱슬곱슬한 가새로 둘러싸여 있다: {}[6] 또는 대괄호: [].[5]

어떤 이론가들은 순서 순서를 나타내기 위해 각괄호 ⟨을 사용하는 반면,[7] 다른 이론가들은 공백으로 숫자를 구분하여 순서 집합을 구분한다.[8] 따라서 순서가 지정되지 않은 피치 클래스 0, 1, 2(이 경우 C, C, C, D에 대응)를 {0,1,2}(으)로 나타낼 수 있다. 순서 C-Cc-D는 ,0,1,2⟩ 또는 (0,1,2)로 표기된다. 이 예에서는 C가 0으로 간주되지만, 항상 그렇지는 않다. 예를 들어, F의 분명한 피치 중심이 있는 피치(토날 또는 무통)는 F가 0으로 설정된 상태에서 가장 유용하게 분석될 수 있다(이 경우 {0,1,2}은 F, F, F, G를 나타낸다). (주석을 나타내는 숫자의 사용은 피치 등급 참조)

세트 이론가들은 보통 같은 성질의 피치 클래스를 고려하지만, 투구 세트, 같지 않은 성질의 피치 클래스,[citation needed] 리듬 있는 온셋 또는 "비트 클래스"를 고려할 수 있다.[9][10]

2원 세트는 다이애드, 3원 세트 트리코드(삼원 세트)라고 불리는데, 비록 삼원 세트는 삼원 세트의 전통적인 의미와 쉽게 혼동된다. 상위 기질 집합을 테트라코드(또는 테트라드), 펜타코드(또는 펜타드), 헥타코드(또는 육각류), 헵타코드(헥타드 또는 때로는 라틴어와 그리스어 뿌리를 혼합한 "셉타코드")라고 부른다. 란,[11] 옥타코드(옥타드), 논아코드(비애드), 데카코드(데카드), 불문자, 그리고 마지막으로 도데카코드.

기본 연산

주요 기사: 변환(음악)
피치 클래스 반전: 234te 0 주위에 반사되어 t9821이 됨

세트에서 수행될 수 있는 기본 연산은 전이 및 반전이다. 전치 또는 역전에 의해 관련되는 세트는 전치 또는 역치적으로 연관되어 있으며, 동일한 세트 등급에 속한다고 한다. 전환과 역전은 피치급 공간의 등각이기 때문에 세트 요소의 음악적 특성(즉, 물리적 현실)을 보존하지 않더라도 세트의 인터뷰적 구조를 보존한다.[citation needed] 이것은 음악 세트 이론의 중심적 개념으로 간주될 수 있다. 실제로, 세트-이론적 음악 분석은 종종 한 작품에서 발견되는 세트들 사이의 비거시적 전이 또는 반전 관계를 식별하는 것으로 구성된다.

일부 저자들은 보완과 곱셈의 운영도 고려한다. 세트 X의 보어는 X에 포함되지 않은 모든 피치 등급으로 구성된 세트다.[12] 두 피치 클래스의 제품은 피치 클래스 modulo 12의 제품이다. 보완과 곱셈은 피치급 공간의 등각계가 아니기 때문에 그들이 변형하는 물체의 음악적 성격을 반드시 보존하는 것은 아니다. 앨런 포르테와 같은 다른 작가들은 Z-관계(Z-relationation)를 강조했는데, Z-relation은 동일한 총 간격 내용물, 즉 간격 벡터(bector)[13]를 공유하지만 전이적이거나 반전적으로 동등하지는 않다. Hanson이 사용하는 이 관계의 또 다른 이름은 "비등성"[15]이다.[14]

피치 클래스의 순서 순서에 대한 연산에는 역행 및 회전뿐만 아니라 전위 및 역행도 포함된다. 순서가 뒤바뀌면 원소의 순서가 뒤바뀌게 된다. 순서의 회전은 순환 순열과 동일하다.

전환과 역전은 기초 산술 연산으로 나타낼 수 있다. 만약 x 피치 클래스를 나타내는 숫자로, 그 위치가 n 세미톤은 T =라고n 쓰여 있다. x + n 모드의 12절 반전이란 피치 클래스 공간에서 어떤 고정된 지점을 중심으로 반사하는 것에 해당한다. 만약 x 피치 클래스, 인덱스 번호가 있는 반전 n In =라고 쓰여 있다. n - x 모드의 12절

등가관계

참고 항목: 동등성 클래스(음악)

"세트 S의 관계가 동등성 관계[대수학]가 되려면 세 가지 조건을 만족시켜야 한다: 반사적이어야 한다. 대칭적이어야 한다. 그리고 전이적이어야 한다.[16] "사실, 동등성에 대한 비공식적인 개념은 항상 음악 이론과 분석의 일부였다. 그러나 PC 세트 이론은 등가성의 공식적 정의를 고수해 왔다."[17]

전이 및 역전 세트 클래스

2개의 전이 관련 세트는 동일한 전이 세트 클래스(Tn)에 속한다고 한다. 전치 또는 역전에 의해 관련되는 2개의 세트는 동일한 전치/반전 세트 클래스에 속한다고 한다(반복적으로 TIn 또는 I로n 쓰여짐). 동일한 전이 세트 클래스에 속하는 세트는 매우 유사한 소리를 내는 반면, 동일한 전이/반전 세트 클래스에 속하는 세트는 상당히 유사한 소리를 낸다. 이 때문에 음악 이론가들은 종종 세트 클래스를 음악적 관심의 기본 대상으로 여긴다.

동일한 성질의 집합 클래스의 이름을 지정하기 위한 두 가지 주요 규칙이 있다. 포르테 번호로 알려진 하나는 앨런 포르테에서 유래되었는데, 그의 <무조음악의 구조>(1973년)는 뮤지컬 세트 이론의 첫 작품 중 하나이다. Forte는 각 세트 클래스에 양식 번호를 제공했다. c–d, where c 세트의 카디널리티를 나타내며 d 서수다.[18] 따라서 색도 트리코드 {0, 1, 2}이(가) 세트 클래스 3-1에 속하며, 이는 포르테 목록의 첫 번째 3노트 세트 클래스임을 나타낸다.[19] 증강된 트리코드 {0, 4, 8}에는 포르테의 목록에 있는 마지막 트리코드가 되는 3-12라는 라벨이 붙는다.

포르테의 명명법에 대한 일차적인 비판은 (1) 포르테의 라벨은 임의적이고 외우기 어려우며, 실제로 세트 클래스의 요소를 나열하는 것이 종종 더 쉽다. (2) 포르테의 시스템은 동일한 기질을 가지며, 쉽게 디아토닉 세트, 피치 세트(피치 클래스 세트와는 반대로), 멀티셋 또는 멀티셋 또는 기타 등등이다. (3) 다른 튜닝 시스템의 세트. (3) Forte의 원래 시스템은 역방향으로 관련 세트가 동일한 세트 클래스에 속한다고 간주한다. 이것은 예를 들어, 큰 삼합집과 작은 삼합집단이 같은 세트로 간주된다는 것을 의미한다.

수세기 동안 서양의 토날 음악은 화음 역학뿐만 아니라 크고 작은 음악으로 간주되어 왔다. 그들은 실제로 완전히 다른 물리적 물체를 만들어낸다. 소리의 물리적 현실을 무시하는 것은 무변 이론의 명백한 한계다. 다만 기존 이론이 톤 음악을 제대로 설명하지 못한 공백을 메우기 위해 이론이 만들어진 것은 아니라는 방증이 나왔다. 오히려 포르테의 이론은 무변음악을 설명하는 데 사용되는데, 여기서 작곡가는 {0, 4, 7}(톤 이론에서는 '주요'로 불림)과 그 반전 {0, 3, 7}(톤 이론에서는 '미니어'로 불림)의 구분이 관련이 없을 수도 있는 시스템을 발명했다.

두 번째 공칭 시스템 라벨은 정상 순서의 개념에 따라 달라지는 정상 형태 측면에서 설정된다. 한 세트를 정상 순서로 넣으려면 1옥타브 미만의 피치 클래스 공간에서 오름차순으로 주문하십시오. 그런 다음 첫 음과 마지막 음이 가능한 한 가깝게 될 때까지 반복적으로 허용한다. 동점의 경우, 첫 번째 음과 다음 음 사이의 거리를 최소화한다. (여기서 동점일 경우, 첫 번째 노트와 다음에서 마지막 노트까지의 거리 등을 최소화한다.) 따라서 정상 순서는 {0, 7, 4}이고, 정상 순서는 {0, 2, 10}이(가) {10, 0, 2}이다. 한 세트를 정상적인 형태로 넣으려면 먼저 정상 순서로 놓은 다음, 초구 클래스가 0이 되도록 바꾸십시오.[20] 수학자와 컴퓨터 과학자는 대부분 알파벳 순서, 이진수 순서(기본 2) 순서 또는 그레이 코딩 중 하나를 사용하여 조합을 주문하는 경우가 많으며, 각각은 다르지만 논리적인 정규 형태를 갖게 된다.[citation needed]

전이적으로 관련된 집합은 동일한 정상 형태를 공유하기 때문에, 일반적인 형태는 T 세트n 클래스에 라벨을 붙이는 데 사용될 수 있다.

세트의 Tn/In 설정 클래스를 식별하려면:

  • 세트의 T 세트n 클래스를 식별하십시오.
  • 세트를 반전시키고 반전 T 세트n 클래스를 찾으십시오.
  • 이 두 가지 정상적인 형태를 비교하여 어떤 것이 가장 "왼쪽 포장"되어 있는지 확인하십시오.

결과 집합은 초기 집합의 Tn/In 집합 클래스에 레이블을 지정한다.

대칭

세트를 그 자체로 매핑하는 시스템의 구별되는 연산 수는 집합의 대칭도 입니다.[21] 대칭도, "파티션의 순서 없는 pcset을 보존하는 운용의 수를 명시한다; 그것은 그 파티션의 피치 클래스가 전치 또는 반전 하에서 서로 매핑(또는 위로)하는 정도를 말한다.[22] 모든 세트에는 ID 연산 T에0 따라 그 자체로 매핑되므로 적어도 하나의 대칭이 있다.[23] 대칭 대칭 집합은 T를n 위해 자신에게 매핑된다. n 0(모드 12)과 같지 않음 거꾸로 대칭 집합은 TI에n 따라 자신에게 매핑된다. 주어진 Tn/TIn 타입의 경우, 모든 세트의 대칭도는 동일하다. 유형에서 구별되는 세트의 수는 24개(n = 0 ~ 11에 대한 총 동작수, 전이, 반전)로 Tn/TIn 유형의 대칭도로 나눈다.

대칭 대칭 집합은 옥타브를 고르게 나누거나, 옥타브를 고르게 나누는 동일한 크기의 집합의 조합으로 쓸 수 있다. 반전적으로 대칭되는 화음은 피치 클래스 공간의 반사에 따라 불변한다. 즉, 연속 음 사이의 연속된 간격이 앞뒤로 읽히거나 같은 것이 되도록 화음을 주기적으로 주문할 수 있다는 뜻이다. 예를 들어, 주기순서(0, 1, 2, 7)에서 첫 번째 음과 두 번째 음의 간격은 1, 두 번째 음과 세 번째 음의 간격은 1, 세 번째 음과 네 번째 음의 간격은 5, 네 번째 음과 첫 번째 음의 간격은 5이다.[24]

연속물의 세 번째 원소로 시작해서 뒤로 이동하면 같은 순서를 얻는다: 연속물의 세 번째 원소와 두 번째 원소의 간격은 1이고, 연속물의 두 번째 원소와 첫 번째 원소의 간격은 1이며, 연속물의 첫 번째 원소와 네 번째 원소의 간격은 5이다.e 시리즈의 마지막 원소와 세 번째 원소는 5이다. 따라서 T와0 TI2 사이에 대칭성이 있으며 Tn/TIn 동등성 등급에는 12개의 세트가 있다.[24]

참고 항목

참조

  1. ^ 슈이저 2008년, 99년
  2. ^ 한슨 1960.
  3. ^ 포르테 1973.
  4. ^ 1980년, 27년
  5. ^ a b 포르테 1973, 3.
  6. ^ 1980년, 28년
  7. ^ 1980년, 21년, 134년
  8. ^ 포르테 1973, 60-61
  9. ^ 워버튼 1988년, 148년.
  10. ^ 1992년, 149년.
  11. ^ 1980년, 140년.
  12. ^ 포르테 1973, 73-74.
  13. ^ 포르테 1973, 21
  14. ^ 한슨 1960년, 22년
  15. ^ 코헨 2004년, 33세
  16. ^ 슈이저 2008, 29-30.
  17. ^ 슈이저 2008년, 85년
  18. ^ 포르테 1973년 12월
  19. ^ 포르테 1973, 179–181.
  20. ^ 1980년, 33-38.
  21. ^ 1980년, 90년
  22. ^ 2001년, 5월.
  23. ^ 1980년, 91년
  24. ^ a b 1980년, 148년.

원천

  • Alegant, Brian. 2001. "Cross-Partitions as Harmony and Voice Leading in Twelve-Tone Music". Music Theory Spectrum 23, no. 1 (Spring): 1–40.
  • Cohen, Allen Laurence. 2004. Howard Hanson in Theory and Practice. Contributions to the Study of Music and Dance 66. Westport, Conn. and London: Praeger. ISBN 0-313-32135-3.
  • Cohn, Richard. 1992. "Transpositional Combination of Beat-Class Sets in Steve Reich's Phase-Shifting Music". Perspectives of New Music 30, no. 2 (Summer): 146–177.
  • Forte, Allen. 1973. The Structure of Atonal Music. New Haven and London: Yale University Press. ISBN 0-300-01610-7 (cloth) ISBN 0-300-02120-8 (pbk).
  • Hanson, Howard. 1960. Harmonic Materials of Modern Music: Resources of the Tempered Scale. New York: Appleton-Century-Crofts.
  • Rahn, John. 1980. Basic Atonal Theory. New York: Schirmer Books; London and Toronto: Prentice Hall International. ISBN 0-02-873160-3.
  • Schuijer, Michiel. 2008. Analyzing Atonal Music: Pitch-Class Set Theory and Its Contexts. ISBN 978-1-58046-270-9.
  • Warburton, Dan. 1988. "A Working Terminology for Minimal Music". Intégral 2:135–159.

추가 읽기

외부 링크