민코스키 문제

Minkowski problem

미분 기하학에서 헤르만 민코프스키의 이름을 딴 민코프스키 문제는 가우스 곡면성이 명시된 엄격히 볼록한 콤팩트 표면 S의 건설을 요구한다.[1]보다 정확히 말하면 문제의 입력은 구체에 정의된 엄밀하게 양의 실함수 ƒ이며, 구성될 표면은 x점에서 가우스 곡률 n(n)(x)이 있어야 하며, 여기서 n(x)은 x에서 S로 정상을 나타낸다.유제니오 칼라비는 기하학적 관점에서 [민코우스키 문제]는 로제타 스톤에서 나온 것이다.여러 가지 관련 문제들이 해결될 수 있다."[2]

전체 일반성에서, 민코프 스키 문제는 단위 sphere에 Rn(^{n}}에 볼록 몸의 Sn-1가 되는 표면을 측정한non-negative의 수학자. 개혁 법안에 대한 필요 충분 조건이 되도록 여기(n-1)-dimensional Hausdorf의 K가 pushforward은 볼록한 몸의 표면적 조치 SK에게 묻는다.나 f가우스 지도를 통해 K의 경계로 제한된다.민코프스키 문제는 헤르만 민코프스키, 알렉산드르 다닐로비치 알렉산드로프, 베르너 펜첼, 보레 제센에 의해 해결되었다:[3] 단위 구에 대한 보렐 측정 μ는 만약 μ가 원점에 중심이 있고 큰 서브스피어에 집중되지 않는다면 볼록한 신체의 표면 면적 측정이다.그리고 나서 볼록한 몸은 μ에서 최대 번역까지에 의해 독특하게 결정된다.

민코프스키 문제는 기하학적 기원이 분명함에도 불구하고 여러 곳에서 그 외관이 드러난다.방사선의 문제는 유클리드 3공간의 민코프스키 문제, 즉 주어진 가우스 표면 곡률에 걸쳐 볼록한 모양을 복원하는 것으로 쉽게 감소된다.단파 회절의 역문제는 민코프스키 문제로 축소된다.민코스키 문제는 물리적인 회절 이론뿐 아니라 회절 이론의 기초가 된다.

1953년 루이 니렌버그는 유클리드 3공간의 웨일 문제와 민코프스키 문제라는 두 가지 오랫동안 지속되어 온 개방적인 문제의 해결책을 발표했다.L. 니렌버그가 민코프스키 문제를 해결한 것은 세계 기하학의 이정표였다.현대 비선형 타원 부분 미분방정식의 공식화, 특히 유클리드 3공간의 웨일 문제와 민코프스키 문제를 해결한 역할로 체른 메달(2010년)의 첫 수상자로 선정되었다.[4]

A. V. 포고렐로프는 유클리드 공간의 다차원 밍코우스키 문제를 해결한 공로로 우크라이나 주상(1973)을 받았다.포고렐로프는 1969년 리만 우주에서 웨일 문제를 해결했다.[5]

신퉁 야우의 시우옌 쳉과의 공동 작업은 유클리드 공간의 고차원 밍코우스키 문제에 대한 완전한 증거를 제시한다.신퉁 야우는 세계 미분 기하학 및 타원 부분 미분 방정식에 관한 연구, 특히 1954년의 칼라비 추측과 같은 어려운 문제를 해결한 공로로 1982년 바르샤바에서 열린 국제 수학자 대회에서 필즈 메달을 받았다.진짜 몽게-암페르 방정식의 디리클레 문제.[6]

참조

  1. ^ Minkowski, H. (1903). "Volumen und Oberfläche". Mathematische Annalen. 57 (4): 447–495. doi:10.1007/BF01445180.
  2. ^ Calabi, Eugenio (1979), "Review of The Minkowski multidimensional problem, by Aleksey Vasil'yevich Pogorelov", Bulletin of the American Mathematical Society, 1: 636–639, doi:10.1090/S0273-0979-1979-14645-7, MR 1567159.
  3. ^ Schneider, Rolf (1993), Convex Bodies: the Brunn-Minkowski Theory, Cambridge: Cambridge University Press
  4. ^ Nirenberg, L. (1953). "The Weyl and Minkowski problems in differential geometry in the large". Comm. Pure Appl. Math. 6 (3): 337–394. doi:10.1002/cpa.3160060303. MR 0058265.
  5. ^ 포고렐로프, A. V. (1979) 밍코프스키 다차원적 문제, 워싱턴:스크립타, ISBN 0470-99358-8 MR0478079
  6. ^ Cheng, Shiu Yuen; Yau, Shing Tung (1976). "On the regularity of the solution of the n-dimensional Minkowski problem". Comm. Pure Appl. Math. 29 (5): 495–516. doi:10.1002/cpa.3160290504.

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