테니스 라켓 정리

테니스 라켓의 주요 축.

테니스 라켓이 세 축을 중심으로 회전하는 합성 비디오 – 밝은 가장자리에서 어두운 가장자리로 중간 한 축이 넘어짐

1852년 인쇄 "Theri Nouvelle de la Rotation des Corp"의 제목 페이지

테니스 라켓 정리나 중간축 정리는 관성의 3가지 주요 모멘트를 가진 강체 신체의 움직임을 고전 역학적으로 기술한 결과다.그 전에 적어도 150년 동안 이미 그 효과가 이미 알려져 있었지만 1985년^[1] 우주에 있는 동안 이 정리의 논리적 결과 중 하나를 발견한 소련의 우주 비행사 블라디미르 디자니베코프의 이름을 따서 이 효과는 또한 Dzhanibekov 효과라고도 불린다.^[2]^[3]

정리는 다음과 같은 효과를 기술한다: 물체의 첫 번째와 세 번째 주축을 중심으로 물체의 회전이 안정된 반면, 두 번째 주축(또는 중간축)을 중심으로 회전하는 것은 안정적이지 않다.

이는 다음과 같은 실험으로 증명할 수 있다: 테니스 라켓을 손잡이에 잡고, 얼굴을 수평으로 하고, 손잡이에 수직으로 수평축을 중심으로 완전한 회전을 수행하도록 공중에 던지려 하고 손잡이를 잡으려고 한다.거의 모든 경우에, 그 회전 동안에 얼굴도 반 회전을 마칠 것이고, 그래서 다른 얼굴도 지금 위로 올라간다.이와는 대조적으로 라켓을 던지기 쉬워서 다른 축을 중심으로 반회전하지 않고 손잡이 축을 중심으로 회전(그림에서₃ ê₁)할 수 있으며, 반회전 없이 손잡이( ()에 수직으로 회전할 수도 있다.

이 실험은 책, 리모컨 또는 스마트폰과 같이 세 개의 서로 다른 관성 모멘트를 가진 어떤 물체로도 수행될 수 있다.이 효과는 회전축이 물체의 두 번째 주축과 약간만 다를 때마다 발생하며, 공기저항이나 중력은 필요하지 않다.^[4]

이론

중간 축의 불안정성에 대한 시각화.각운동량의 크기와 회전하는 물체의 운동에너지는 둘 다 보존된다.그 결과, 각 속도 벡터는 두 타원체의 교차점에 남아 있다.

미디어 재생

미항공우주국(NASA)의 미세중력에서 Dzhanibekov 효과 시연.

테니스 라켓 정리는 오일러의 방정식의 도움을 받아 질적으로 분석할 수 있다.토크 없는 조건에서는 다음과 같은 형식을 취한다.

{\reasoned}I_{1}{\dot{\dot {\omega }_{1}&=(I_{3}-I_{2})\omega _{3}\i1}\i1}\i1}{2}\i1}\i1}00\i1}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\text{1}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\}I_{2}{\dot{\dot {\omega }_{2}}&=(I_{1}-I_{3})\i1}오메가 _{1}\오메가 _{3}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\text{2}}\\\\\\\\\\\\\\}\}\}\}\}\}}\}\}}}}}}}}}}}}}}}}}\\I_{3}{\dot{\dot {\omega }}_{3}&=(I_{2}-I_{1}\i1}\omega _{1}\i1}\i1}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 텍스트{3}}}\end{aigned}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

여기서 $I_{1},I_{2},I_{3}$ $I_{1},I_{2},I_{3}$ , $I_{1},I_{2},I_{3}$ $I_{1},I_{2},I_{3}$ , $I_{1},I_{2},I_{3}$ $I_{1},I_{2},I_{3}$ ${\$ 는 개체의 $I_{1},I_{2},I_{3}$ 주요 관성 모멘트를 나타내며, 우리는 $I_{1}<I_{2}<I_{3}$ $I_{1}<I_{2}<I_{3}$ < I $I_{1}<I_{2}<I_{3}$ < $I_{1}<I_{2}<I_{3}$ $I_{1}<I_{2}<I_{3}$ > ${\$ 1}를 가정한다 $.$ $I_{2}<I_{3$ .The angular velocities around the object's three principal axes are $\omega _{1},\omega _{2},\omega _{3}$ and their time derivatives are denoted by ${\dot {\omega }}_{1},{\dot {\omega }}_{2},{\dot {\omega }}_{3}$ .

첫 번째 및 세 번째 주축을 중심으로 안정적인 회전

관성 $I_{1}$ $I_{1}$ ${\$ }의 모멘트로 물체가 축을 중심으로 회전하는 상황을 고려한다 $I_{1}$ 평형의 특성을 결정하려면 다른 두 축을 따라 작은 초기 각도를 가정한다.그 결과, 등식 (1)에 $~{\dot {\omega }}_{1}$ Ω $~{\dot {\omega }}_{1}$ 1 $~{\dot {\omega }}_{1}$ {\ $displaystyle ~{\dot{\omega}}_{1$ }는 매우 작다 $~{\dot {\omega }}_{1}$ .따라서 $~\omega _{1}$ $~\omega _{1}$ ${\$ }의 시간 의존은 소홀히 할 수 있다 $~\omega _{1}$ .

자, 식(2)을 구분하고 ${\$ 을(를) 식(3)에서 ${\dot {\omega }}_{3}$ 대체한다.

{\reasoned}I_{2}{\dot {\ddot {\omega }}_{2}&=(I_{1}-I_{3})\omega _{1}{1}{1}{\dot {\omega }}\\I_{3}I_{2}{\dot{\dot {\\omega }}_{2}=(I_{1}-I_{3})(\omega _{1})^{2}\omega _{2}\\cext{i.e.}}~~{\dot {\omega }}_{2}&={\text{(음수량)}}}\cdot \omega _{2}\end{aigned}}

$I_{2}-I_{1}>0$ I $I_{2}-I_{1}>0$ - $I_{2}-I_{1}>0$ > 0 ${\displaystyle I_{2}-I_{1}>0$ 및 $I_{1}-I_{3}<0$ $I_{1}-I_{3}<0$ - $I_{1}-I_{3}<0$ $I_{1}-I_{3}<0$ < 0 ${\displaystyle I_{1}-I_{3$ .

$\omega _{2}$ $\omega _{2}$ ${\$ }가 반대되므로 $\omega _{2}$ 이 축을 중심으로 회전하는 것이 물체에 안정적이라는 점에 유의하십시오.

이와 유사한 추론은 관성 I $I_{3}$ ${\$ 의 모멘트로 축을 중심으로 회전하는 것도 안정적이다 $I_{3}$ .

두 번째 주축을 중심으로 불안정한 회전

이제 관성 $I_{2}.$ $I_{2}.$ . $I_{2}}$ 이번에는 $I_{2}.$ ${\dot {\omega }}_{2}$ ${\dot {\omega }}_{2}$ ${\$ 작다 ${\dot {\omega }}_{2}$ .따라서 $~\omega _{2}$ $~\omega _{2}$ ${\$ }의 시간 의존은 소홀히 할 수 있다 $~\omega _{2}$ .

자, 방정식(1)을 구별하고 ${\dot {\omega }}_{3}$ ${\dot {\omega }}_{3}$ ${\$ 을 방정식 (3)과 ${\dot {\omega }}_{3}$ 대체한다.

{\reasoned}I_{1}I_{3}{\dot{\dot {\omega }}_{1}&=(I_{3}-I_{2}-I_{1})(\omega _{2}^{2}^{1}\text{i.e).}}~~{\dot {\omega }}_{1}&={\text{(양수량)}}}\cdot \omega _{1}\end{arged}

$\omega _{1}$ $\omega _{1}$ ${\$ }는 반대하지 않으므로 $\omega _{1}$ (따라서 성장함) 두 번째 축을 중심으로 회전하는 것이 불안정하다는 점에 유의하십시오.따라서 다른 축을 따라 작은 교란이라도 물체를 '날게' 하는 원인이 된다.

참고 항목

오일러 각도 – 강체 차체의 방향 설명
관성 모멘트 – 고정 회전 축에 대한 회전 관성의 스칼라 측정
Poinsot의 타원체 – 회전하는 강체 보디를 시각화하는 기하학적 방법
폴호드 – 관성 타원체에서 각도 속도 벡터에 의해 생성된 곡선

참조

^ эфееттт ( ( ( (( (ааааааа (),),),),, 2009년 7월 23일(러시아어)).소프트웨어는 여기에서 다운로드할 수 있다.
^ 푸인소트 (1834년) 파리 바첼리어, 테오리 누벨 드 라 로테이션 데 군단
^ Derek Muller (September 19, 2019). The Bizarre Behavior of Rotating Bodies, Explained. Veritasium. Retrieved February 16, 2020.
^ Levi, Mark (2014). Classical Mechanics with Calculus of Variations and Optimal Control: An Intuitive Introduction. American Mathematical Society. pp. 151–152. ISBN 9781470414443.

외부 링크

Dan Russell (5 March 2010). "Slow motion Dzhanibekov effect demonstration with table tennis rackets". Retrieved 2 February 2017 – via YouTube.
zapadlovsky (16 June 2010). "Dzhanibekov effect demonstration". Retrieved 2 February 2017 – via YouTube. 미르 국제 우주 정거장에서
Viacheslav Mezentsev (7 September 2011). "Djanibekov effect modeled in Mathcad 14". Retrieved 2 February 2017 – via YouTube.
루이 푸인소트, 트로이 누벨 드 라 로테이션 데 군단, 파리, 바첼리어, 1834, 170p.OCLC 457954839 : 역사적으로, 이 효과에 대한 최초의 수학적 설명.
"Ellipsoids and The Bizarre Behaviour of Rotating Bodies". YouTube.{{cite web}}: CS1 maint : url-status (링크) - Matt Parker의 직관적인 영상 설명

[1] эфееттт ( ( ( (( (ааааааа (),),),),, 2009년 7월 23일(러시아어)).소프트웨어는 여기에서 다운로드할 수 있다.

[2] 푸인소트 (1834년) 파리 바첼리어, 테오리 누벨 드 라 로테이션 데 군단

[3] Derek Muller (September 19, 2019). The Bizarre Behavior of Rotating Bodies, Explained. Veritasium. Retrieved February 16, 2020.

[4] Levi, Mark (2014). Classical Mechanics with Calculus of Variations and Optimal Control: An Intuitive Introduction. American Mathematical Society. pp. 151–152. ISBN 9781470414443.

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[2]

[3]

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목차

이론

첫 번째 및 세 번째 주축을 중심으로 안정적인 회전

두 번째 주축을 중심으로 불안정한 회전

참고 항목

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