이항형식

이 글에는 참고문헌, 관련 독서 또는 외부 링크 목록이 수록되어 있으나 인라인 인용구가 부족하여 출처가 불분명하다. 보다 정확한 인용문을 도입하여 이 기사를 개선할 수 있도록 도와주십시오. (2013년 3월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 알아보기)

수학에서 다항식 시퀀스 즉, 비음수 정수$\{0\mathrm{},$ $1$, $2$, $3,$ $\dots \}$ ${\$에 의해 색인화된 다항식 시퀀스는 각 다항식의 인덱스가 그 정도와 동일한 경우 2항식이라고 한다.

${\displaystyle p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n}{n \선택 k}\,p_{n-k}(y).}$

그런 순서가 많이 존재한다.그러한 모든 시퀀스의 집합은 탯줄 구성의 운용 하에 Lie 그룹을 형성한다.이항 형식의 모든 순서는 벨 다항식의 용어로 표현될 수 있다.이항 유형의 모든 시퀀스는 셰퍼 시퀀스(그러나 대부분의 셰퍼 시퀀스는 이항 유형이 아님)이다.다항식 배열은 19세기 탯줄 미적분학의 막연한 개념을 확고히 세웠다.

예

• 이 정의의 결과, 이항 정리는 순서 {xⁿ : n = 0, 1, 2, …}이(가) 이항형이라고 하여 진술할 수 있다.
• "하위 요인"의 순서는 다음과 같이 정의된다.
  $${\displaystyle (x)_{n}=x(x-1)(x-2)\cdots \cdots (x-n+1).}$$

  
  (특수함수의 이론에서 이 같은 표기법은 상위 요인들을 의미하지만, 이 현재의 용법은 결합론자들 사이에서 보편적이다.)그 제품은 빈 제품이기 때문에 n = 0이면 1로 이해된다.이 다항식 배열은 이항식이다.
• 유사하게 "상위 요인"
  $${\displaystyle x^{(n)}=x(x+1)(x+2)\cdot \cdots \cdot(x+n-1)}$$

  
  이항식의 다항식 배열이다.
• 아벨 다항식
  $${\displaystyle p_{n}(x)=x(x-an)^{n-1}$$

  
  이항식의 다항식 배열이다.
• Touchard 다항식
  $${\displaystyle p_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n(n,k)x^{k}}}}$$

  
  여기서 S(n, k)는 크기가 n인 세트의 파티션 수를 k 분리 비빈 하위 집합으로 하고, 이항 형식의 다항식 시퀀스다.에릭 템플 벨은 이것을 "우수한 다항식"이라고 불렀고 그 용어는 문헌에서도 가끔 볼 수 있다.계수 S(n, k)는 "제2종류의 Stirling number"이다.이 시퀀스는 포아송 분포와 흥미로운 관계를 가지고 있다.X가 포아송 분포를 갖는 기대값 λ의 랜덤 변수라면 E(Xⁿ_n) = p(()이다.특히 λ = 1일 때 기대값 1을 갖는 포아송 분포의 n번째 모멘트는 n번째 벨 번호라 불리는 n번째 크기 집합의 파티션 수입니다.그 특정한 포아송 분포의 n번째 순간에 대한 이 사실은 "도빈스키의 공식"이다.

델타 연산자에 의한 특성화

다항식 시퀀스 {p_n(x) : n = 0, 1, 2, … }은(는) 다음 세 가지 조건이 모두 유지되는 경우에만 이항식임을 알 수 있다.

• x의 다항식 공간에 대한 선형변환에 관한 연구
  $${\displaystyle p_{n}(x)\mapsto np_{n-1}(x)}$$

  
  시프트 등가변성이며
• p₀(x) = 모든 x에 대해 1
• p_n(0) = n > 0의 경우 0.

(이 연산자가 시프트 등가변수라는 문장은 다항식 시퀀스가 셰퍼 시퀀스라고 말하는 것과 같다. 이항식 시퀀스 집합이 셰퍼 시퀀스 집합 내에 적절히 포함된다.)

델타 연산자

그 선형 변환은 분명히 델타 연산자, 즉 다항식의 정도를 1만큼 줄이는 x의 다항식 공간에 대한 이동 등가 선형 변환이다.델타 사업자의 가장 분명한 예는 차이 사업자와 차별화다.모든 델타 연산자는 폼의 파워 시리즈로 기록될 수 있음을 알 수 있다.

${\displaystyle Q=\sum _{n=1}^{\infit }c_{n}D^{n}}}}}$

여기서 D는 분화(합계 하한은 1)이다.각 델타 연산자 Q에는 "기본 다항식", 즉 만족스러운 다항식 시퀀스가 있다.

1. ${\displaystyle p_{0}(x)=1,}$
2. ${\displaystyle p_{n}(0)=0\rem {\rm {for\}}n\geq 1,{\rm {\}}}$
3. ${\displaystyle Qp_{n}(x)=np_{n-1}(x).}$

1973년 로타, 카하너, 오드리즈코에 의해 다항식 순서가 일부 델타 연산자의 기본 다항식 순서일 경우에만 이항식이라는 것이 보여졌다.따라서 이 항은 이항 유형의 다항식 시퀀스를 원하는 만큼 생성하기 위한 레시피에 해당한다.

벨 다항식별 특성화

어떤 순서든 a₁, a₂, a₃, ...의 스칼라에는

${\displaystyle p_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n_{n,k}(a_{1},\dots,a_{n-k+1}x^{k}}}}}}}$

여기서 B_n,k(a₁, …, a_n−k+1)는 벨 다항식이다.그렇다면 이 다항식 배열은 이항식이다.각 n ≥ 1에 대해,

${\displaystyle p_{n}'(0)=a_{n}.}$

이 절의 주요 결과는 다음과 같다.

정리:이항 유형의 모든 다항식 시퀀스는 이 형식이다.

로타, 카하너, 오드리즈코에서 반복된 멀린과 로타 결과(아래 참조 참조)에서는 이항식의 모든 다항식 순서 {p_n(x)}_n이(가) 순서 {p_n p(0)}_n에 의해 결정된다고 기술하고 있으나, 그러한 출처는 벨 다항식을 언급하지 않는다.

이 일련의 스칼라는 델타 연산자와도 관련이 있다.내버려두다

${\displaystyle P(t)=\sum _{n=1}^{\n}{a_{n} \over n!}t^{n}.}$

그러면

${\displaystyle P^{-1}\왼쪽({d \over dx}\오른쪽)}$

이 시퀀스의 델타 연산자다.

콘볼루션 아이덴티티에 의한 특성화

시퀀스 a_n, b_n, n = 0, 1, 2, …에 대해 다음과 같은 방법으로 콘볼루션의 종류를 정의한다.

${\displaystyle (a{\mathbin {\mathbin {\suit }b)_{n}=\sum _{j=0}^{n}{n \n \선택 j}a_{j}b_{n-j}.}$

${\displaystyle n_{}^{}}$ $♢{\$을(를) 순서의 n번째 항으로 한다$$.

${\displaystyle \underbrace {a\mathbin {\buituit } \cdots \mathbin {\buituit } a} _{k{\text}요인}}.}$

그런 다음 모든 시퀀스 a_i, i = 0, 1, 2, ...에서₀ a = 0으로, p₀(x) = 1로 정의된 시퀀스

${\displaystyle p_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}{a_{n}^{k\i1}x^{k} \over k!}\,}$

n ≥ 1의 경우 이항 형식이며, 이항 형식의 모든 순서는 이항 형식이다.

함수 생성을 통한 특성화

이항 유형의 다항식 시퀀스는 정확히 생성 기능이 형식(필수적으로 수렴되지 않는) 형태의 전원 시리즈인 경우

${\displaystyle \sum _{n=0}^{p_{n}(x) \overn!}t^{n}=e^{n(t)}}}}}}$

여기서 f(t)는 일정한 항이 0이고 1급 항이 0이 아닌 공식 전력 시리즈다.라는 파아디 브루노의 공식을 파워 시리즈 버전으로 사용함으로써 알 수 있다.

${\displaystyle f(t)=\sum _{n=1}^{\nft }{p_{n}\, (0) \over n!}t^{n}.}$

시퀀스의 델타 연산자는 f⁻¹(D)이므로 다음과 같다.

${\displaystyle f^{-1}(D)p_{n}(x)=np_{n-1}(x).}$

이러한 생성 기능에 대해 생각하는 방법

두 공식 전력 시리즈의 곱에 있는 계수

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infit }{a_{n} \over n!}t^{n}}}}}$

그리고

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infit }{b_{n} \over n!}t^{n}}}}}$

이다

${\displaystyle c_{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \선택 k}a_{k}b_{n-k}}}}}$

(Cauchy 제품도 참조).만약 우리가 x를 그러한 파워 시리즈의 패밀리를 인덱싱하는 파라미터로 생각한다면, 이항 정체성은 x + y에 의해 인덱싱된 파워 시리즈가 x와 y에 의해 인덱싱된 제품이라고 사실상 말한다.따라서 x는 합계를 곱에 매핑하는 함수에 대한 인수: 지수함수

${\displaystyle g(t)^{x}=e^{no(t)}}}$

여기서 f(t)는 위에 제시된 형식을 갖는다.

다항식 배열의 탯줄 구성

이항식의 모든 다항식 시퀀스 세트는 그룹 연산이 다항식 시퀀스의 "umbral composition"인 그룹이다.그 연산은 다음과 같이 정의된다.{p_n(x) : n = 0, 1, 2, 3, ... } 및 {q_n(x) : n = 0, 1, 2, 3, ...}이(가) 다항식 시퀀스라고 가정하고,

${\displaystyle p_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}\,x^{k}.}$

그러면 탯줄 구성 p o q는 n번째 용어가 되는 다항식 순서다.

${\displaystyle (p_{n}\n}\p)(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n}\,q_{q_{k}(x)}}$

(첨자 n은 p로_n 나타나는데, 이는 해당 순서의 n항이기 때문이다. 그러나 q는 아니다. 이는 해당 용어 중 하나가 아닌 전체로서 시퀀스를 참조하기 때문이다.)

위의 D에서 파워 시리즈로 정의되는 델타 연산자와 위에서 정의한 이항식의 다항식 배열 사이의 자연적 편향은 집단 이형성인데, 여기서 파워 시리즈에 대한 그룹 연산이 형식적인 파워 시리즈 구성이다.

충만과 순간

이항형식의 다항식 순서에서 1도 항의 계수 κ_n 순서는 다항식 순서의 적산이라고 할 수 있다.이항식의 전체 다항식 순서는 적란트라는 기사에서 논의된 방법으로 적란트에 의해 결정된다는 것을 알 수 있다.그러므로

${\displaystyle {}_{}^{}\mathrm{p}}$ ${\displaystyle n_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$( 0${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {\kappa n}_{}}$= ${\displaystyle p_{n}'(0)=\kappa _{n}=}$n번째$$ 누적분포함수

그리고

${\displaystyle {}_{}\mathrm{p}}$ ${\displaystyle n_{}}$ (${\displaystyle {}_{}}$1${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {\mu n}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ =${\displaystyle p_{n}(1)=\mu _{n'=}$n번째$$ 순간.

확률 분포의 누적분포와 확률 분포의 모멘트가 아닌 "공식" 누적분포와 "공식" 모멘트들이다.

내버려두다

${\displaystyle f(t)=\sum _{n=1}^{\inflt }{\frac {\kappa _{n}{n!}}}{n}}}$

누룩함수다그러면

${\displaystyle f^{-1}(D)}$

델타 연산자가 다항식 시퀀스와 연관되어 있는지 여부, 즉, 우리는

${\displaystyle f^{-1}(D)p_{n}(x)=np_{n-1}(x).}$

적용들

이항형식의 개념은 조합학, 확률, 통계학 및 다양한 다른 분야에 응용이 있다.

참고 항목

• 요인 및 이항 항목 목록
• 이항-QMF(Daubechies wavelet filter)

참조

• G.C. 로타, D. 카하너, A. Odlyzko, "Finite Operator Miculus," Journal of Mathematical Analysis and 그 적용, 제42권, 제3권 1973년 6월.1975년 뉴욕 아카데믹 프레스라는 같은 제목의 책으로 다시 인쇄되었다.
• R. 멀린과 G.C.Rota, "Combinatorial 이론 III의 기초 위에서:1970년 뉴욕 학술지 Bernard Harris가 편집한 Graph 이론과 그 적용에 관한 이론"이다.

제목에서 알 수 있듯이, 위의 두 번째는 조합 열거에 대한 응용 프로그램에 관한 것이다.

• 디 부치아니코, 알레산드로암스테르담, CWI, 1997년 Umbraal 미적분학의 확률론적 및 분석적 측면
• Weisstein, Eric W. "Binomial-Type Sequence". MathWorld.