후르비츠 문제

수학에서 후르비츠 문제(아돌프 후르비츠(Adolf Hurwitz)는 일정한 수의 변수에 있는 제곱합 사이에 존재하는 것으로 알려진 것을 일반화하는 이차적 형태들 사이의 승수 관계를 찾는 문제다.

설명

두 변수의 제곱합 사이에는 잘 알려진 승법 관계가 있다.

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})(u^{2}+v^{2}=(html-yv)^{2}+(xv+yu))^{2}+(xv+yu)^{2}\ ,}$

(브라마굽타-피보나치 정체성으로 알려져 있음), 오일러의 4제곱 정체성과 데겐의 8제곱 정체성.이는 복합수 $C{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ }),$$ 쿼터니언(${\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$}), 옥토니언(${\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$} } })$$의 규범에 대한 곱셈으로 해석될 수 있다.^{[1]: 1–3 [2]}

K 필드의 후르비츠 문제는 양식의 일반적인 관계를 찾는 것이다.

${\displaystyle(x_{1}^{2}+\cdots +x_{r}^{2})\cdot(y_{1}^{2}+\cdots +y_{s}^{2}=(z_{1}^{1}^{1}^{2})\cdots +n}}\,},},}$

z가 x와 y에서 이선형 형태인 경우: 즉, 각 z는 x y_i 형식의_j 용어의 K-선형 조합이다.^{[3]: 127}

우리는 그러한 정체성이 존재하는 경우 K에 대해 허용$$ 가능한 3중${\displaystyle (r}$, s${\displaystyle }$, ${\displaystyle n}$) ${\$을(를) 부른다.^{[1]: 125} 허용 가능한 사소한 세 가지 사례에는 ( r${\displaystyle ,s,}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle s}$) .${\displaystyle \;(r,s,rs)\;$가 포함된다.$}}$ 그러한 필드에 걸쳐 모든 제곱합은 제곱이므로, 문제는$$ 특성 2의 K에게는 흥미가 없으며, 우리는 이 경우를 제외한다.그렇지 않으면 그 능력은 정의의 분야와는 무관하다고 여겨진다.^{[1]: 137}

후르비츠-라돈 정리

후르 비츠는 특별한 경우 r)의 n{\displaystyle\;r=s=n\.}에 때, 계수 C{\displaystyle \mathbb{C}에}이 취해 지는 유일한 허용 값(n, n, n){\displaystyle \,(n,n,n)\,}다 n∈{1,2,4,8}.{\displaystyle\;n\in){1,2,4,8\}\을 보여 주었다.}[3]:1898년 그 문제를 가져다 준다. 130명의 그의증거는 2를 제외한 어떤 특징의 분야로 확장된다.^{[1]: 3}

허위츠-라돈 문제는 형식(${\displaystyle r,n}$ , n${\displaystyle }$)의 허용 가능한 세 쌍을 찾는 것이다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle \,$ ($r,n,n)\;}$ 분명히$$${\displaystyle }$(${\displaystyle 1}$,${\displaystyle n}$) ${\$ ($1,n,n)\}$은 허용된다$$.The Hurwitz–Radon theorem states that ${\displaystyle \;\left(\rho (n),n,n\right)\;}$ is admissible over any field where ${\displaystyle \,\rho (n)\,}$ is the function defined for ${\displaystyle \;n=2^{u}v\;,}$ v odd, ${\displaystyle \;u=4a+b\;,}$ with $$${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle 3}$,${\displaystyle \;0\leq b\leq$ 3$\;,}$ 및$$ ${\displaystyle \rho (n}$ ${\displaystyle )}$= ${\displaystyle 8}$ ${\displaystyle a}$+ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle b^{}{}^{}}$. ${\displaystyle \;\rho(n)=8a+2^{b};;$$}$^{[1]: 137 [3]: 130}

허용 가능한 다른 3배수로는${\displaystyle }$(${\displaystyle 3}$,${\displaystyle 5}$,${\displaystyle 7}$) ${\$ ($3,5,7)\,$${\displaystyle }$( ${\displaystyle \mathrm{10<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; \backslash ,(3,5,7)\backslash ,\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/f177c02dea7565a5f60d81524a20a78f28ab9859"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:8.139ex;\; height:2.843ex;"\; papago-attr-id="98"><sup\; class="reference"\; id="cite\_ref-Rajwade\_1-5"><a\; href="\#cite\_note-Rajwade-1">[1]</a></sup><sup\; class="reference\; nowrap"><span\; title="Page\; /\; location:\; 138"\; papago-attr-id="99">:\; 138\; </span></sup>},}$ ${\displaystyle 10,}$ ${\displaystyle 16}$) .${\displaystyle \,$ ($10,10,16)\;$가 있다.$}$^{[1]: 137}

참고 항목

• 구성 대수
• 후르비츠의 정리(표준분할 알헤브라스)
• 라돈-허위츠 수

참조