홀로모르프 벡터 번들

수학에서 홀로모르픽 벡터다발은 복합다지관 X 위에 있는 복합 벡터다발로서 총공간 E는 복합다지관이고 투영지도 π : E → X는 홀로모르픽이다.근본적인 예로는 복합다지관의 홀로모르픽 탄젠트 다발과 그 이중인 홀로모르픽 코탄젠트 다발이 있다.홀로모픽 선다발은 1등급의 홀로모픽 벡터 묶음이다.null

세레의 GAGA에 의해, 매끄러운 복잡한 투영 버라이어티 X(복합 다지관으로 보기)에 있는 홀로모픽 벡터 번들의 범주는 X에 있는 대수 벡터 번들(즉, 국소적으로 자유로운 유한 등급의 덩어리)의 범주와 동등하다.

사소한 것을 통한 정의

구체적으로는, 사소함화 맵을 요구한다.

${\displaystyle \pi _{U:\pi ^{-1}(U)\to U\times \mathbf {C} ^{k}}}}}}$

생물동형 지도야이는 전환 기능이 작동하도록 요구하는 것과 같다.

${\displaystyle t_{UV:U\cap V\to \mathrm {GL} _{k}(\mathbf {C} )}$

홀로모픽 지도야복합다지관의 접선다발 위의 홀로모르픽 구조는 벡터 값 홀로모르픽 함수의 파생상품(적당한 의미에서의) 자체가 홀로모르픽이라는 말에 의해 보장된다.null

홀모픽 단면의 피복

E를 홀로모픽 벡터 번들로 하자.국소 s : U → E는 U의 각 지점의 근방에서 일부 (동등하게 어떤) 사소한 것에서 홀로모르픽인 경우 홀로모르픽이라고 한다.null

이 조건은 국소적인 것으로서, X에 홀로모픽 섹션이 피복층을 형성한다는 것을 의미한다.이 피복은 $때때로{\displaystyle \mathcal{}}$ O${\displaystyle (E}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}(E)}$또는 E로 표기된다.그런 셰프는 벡터 다발의 등급과 같은 등급에서 항상 국소적으로 자유롭다.E가 사소한 선다발 ${\displaystyle \underset{}{}}$ , ${\displaystyle {\underline {\mathbf$ {C$}}}}$인 경우, 이 선은 복합 매니폴드 X의 Sheaf$$ ${\displaystyle O_{}}$ X ${\${O$}_{X}$ 구조와 일치한다$$.

기본 예

${\displaystyle {\mathbb{C}}^{}}$ P n ${\$${\mathcal{O}(k)}$에 대한 선다발 $O{\displaystyle \mathcal{}(k}$) ${\$$mathb {CP} ^n}$이(가) 있으며, 글로벌$$ 섹션은 $도{\displaystyle }$ k ${\displaystyle$ k$}$의 동종 다항식에 해당한다($$$k{\displaystyle }$ ${\displaystystyle k}$의 경우 양수).특히 $k{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle k=0}$은(는) 사소한 선다발에 해당한다$$.$커버링$ ${\displaystyle {Ui}_{}}$=${\displaystyle }${${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$: ${\displaystyle \cdots }$: ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$: ${\displaystyle \mathrm{x}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ 0$}$ {\$displaystyle U_{$i}=\[$x_{0}:\cdots :x_{n}]:$$x_{i$}\$neq$ 0$\}}}}}}}$을(를) 찍으면$$ 차트 ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$i : U${\displaystyle {}_{}{i}_{}}$ → $C.$$U_{i}\to$\mathb ${C} ^{n}$에 의해 정의됨$$

${\displaystyle \phi _{i}([x_{0}):\cdots :x_{i}:\cdots :x_{n}])=\left({\frac {x_{0}}{x_{i}}},\ldots ,{\frac {x_{i-1}}{x_{i}}},{\frac {x_{i+1}}{x_{i}}},\ldots ,{\frac {x_{n}}{x_{i}}}\right)=\mathbb {C} _{i}^{n}}$

We can construct transition functions ${\displaystyle \phi _{ij} _{U_{i}\cap U_{j}}:\mathbb {C} _{i}^{n}\cap \phi _{i}(U_{i}\cap U_{j})\to \mathbb {C} _{j}^{n}\cap \phi _{j}(U_{i}\cap U_{j})}$ defined by

${\displaystyle \phi _{ij}=\phi _{i}\circ \phi _{j}^{-1}(z_{1},\ldots ,z_{n})=\left({\frac {z_{1}}{z_{i}}},\ldots ,{\frac {z_{i-1}}{z_{i}}},{\frac {z_{i+1}}{z_{i}}},\ldots ,{\frac {z_{j}}{z_{i}}},{\frac {1}{z_{j}}},{\frac {z_{j+1}}{z_{i}}},\ldots ,{\frac {z_{n}}{z_{i}}}\right)}$

Now, if we consider the trivial bundle ${\displaystyle L_{i}=\phi _{i}(U_{i})\times \mathbb {C} }$ we can form induced transition functions ${\displaystyle \psi _{i,j}}$. If we use the coordinate ${\displaystyle z}$ on the fiber, then we can form transition functions

${\displaystyle \i,j}(z_{1},\ldots,z_{n}),z=\phi _{i,j}(z_{1},\ldots,z_{n}),{\frac {z_{i}^{k}}}}}}}}}}}}\prig}}}}$

for any integer ${\displaystyle k}$. Each of these are associated with a line bundle ${\displaystyle {\mathcal {O}}(k)}$. Since vector bundles necessarily pull back, any holomorphic submanifold ${\displaystyle f:X\to \mathbb {CP} ^{n}}$ has an associated line bundle ${$$\displaystyle f^{*}({\mathcal {O}(k$ ${\displaystyle {}_{}}$ O${\displaystyle }$(${\displaystyle k}$ ) X ${\$라고 표기하기도 한다$.$

돌벌 오퍼레이터

E가 홀로모픽 벡터 번들이라고 가정하자.그 후 ${\displaystyle {다음}_{}}$과 같이 정의된$$ distinguished${\$가) 있다.In a local trivialisation ${\displaystyle U_{\alpha }}$ of E, with local frame ${\displaystyle e_{1},\dots ,e_{n}}$, any section may be written ${\displaystyle s=\sum _{i}s^{i}e_{i}}$ for some smooth functions ${\displaystyle s^{i}:$$U_{\\alpha }\to \mathb {C}.$ 로컬로$$연산자를 정의하려면

${\displaystyle {\bar {\partial }_{E}s:=\sum _{i}{\bar {\bar}}}(s^{i})\otimes e_{i}}$

여기서$∂{\$은(는) 베이스 매니폴드의 일반 카우치-리만 운영자다.This operator is well-defined on all of E because on an overlap of two trivialisations ${\displaystyle U_{\alpha },U_{\beta }}$ with holomorphic transition function ${\displaystyle g_{\alpha \beta }}$, if ${\displaystyle s=s^{i}e_{i}={\tilde {s}}^{j}f_{j}}$where ${\displaystyle f_{j}}$ is a local frame for E on ${\displaystyle U_{\beta }}$, then ${\displaystyle s^{i}=\sum _{j}(g_{\alpha \beta })_{j}^{i}{\tilde {s}}^{j}}$, and so

${\displaystyle {\bar{\bar{\bar{now \i}}\sum _{j}^{j}{j}}{\bar {\bar {\tilde{s}}}}}}}$

왜냐하면 전이 함수는 홀로모픽이기 때문이다.이는 다음과 같은 정의로 이어진다: 매끄러운 복잡한 벡터 $번들{\displaystyle }$E → ${\displaystyle M}${\$displaystyle$ E$\to$ M$}$에 있는 돌벌 $연산자$는 C ${\$-선형$$ 연산자다.

${\displaystyle {\bar {\partial }_{E:\감마(E)\to \Oomega ^{0,1}(M)\여러 번 \감마(E)}$

그런

• (Cauchy-Riemann 조건${\displaystyle {\stackrel{}{)}}_{}^{}}$ $\partial {\displaystyle {\stackrel{}{\mathrm{}}}_{}^{}}$의 E${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ = ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle${\$bar {}$_{$E}^{2}=0$
• (Leibniz rule$)$ $s{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle \in }$ (${\displaystyle E}$) ${\displaystyle s\in \Gamma (E)}$ 및$$ $함수{\displaystyle }$ $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $f}$에$$대해 다음이 있음

${\displaystyle {\stackrel{}{\partial \text{'}}}_{}E{}_{}}$($f$ ${\displaystyle s}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \partial }$ s +$$ ${\displaystyle +\text{'}{\stackrel{}{}}_{}}$E${\displaystyle {}_{}}$($s$ $\}\}.$

뉴랜더-니렌버그 정리의 적용에 의해, 홀로모르픽 다발의 돌베오 운영자의 건설과 정반대되는 것을 얻는다.^[1]

Theorem: Given a Dolbeault operator ${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}}$ on a smooth complex vector bundle ${\displaystyle E}$, there is a unique holomorphic structure on ${\displaystyle E}$ such that ${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}}$ is the associated Dolbeault operator as cons상부의

With respect to the holomorphic structure induced by a Dolbeault operator ${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}}$, a smooth section ${\displaystyle s\in \Gamma (E)}$ is holomorphic if and only if ${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}(s)=0}$. This is similar morally to the def매끄럽고 복잡한 다지관을 고리형 공간으로 분할.즉, 위상학적 다지관의 어떤 기능이 원활하거나 복잡한지 규정하는 것으로 충분하다.null

돌벌 오퍼레이터는 호모토피 오퍼레이터의 관점에서 국소 역수를 가진다.^[2]null

단일형 벡터 번들 안에 값이 있는 형태의 덩어리

$E{\displaystyle {\mathcal{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle X_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ,${\displaystyle q_{}^{}}$ ${\$이^∞ C 미분 형태의 피복(p, q)을$$ 나타내는 경우, E에 값이 있는 피복(p, q)을 텐서 제품으로 정의할 수 있다.

${\displaystyle {\mathcal {E}^{p,q}(E)\triangleq {E}_{X}^{p,q}\otimes E.}$

이 피복은 괜찮다. 즉, 그들은 단결이라는 칸막이를 인정한다는 뜻이다.매끄러운 벡터 번들과 홀모픽 벡터 번들 사이의 근본적인 구별은 후자에 표준 미분 연산자가 있다는 것이며, 위에서 정의한 돌보트 연산자가 다음과 같이 규정한다.

${\displaystyle {\overline {\partial }}_{E:{\mathcal{E}^{p,q}(E)\to {\mathcal{E}^{p,q+1}(E).}$

홀로모르픽 벡터 번들의 코호몰로지

E가 홀모픽 벡터 번들이라면, E의 코호몰로지(cohomology)는${\displaystyle }$O ($){\displaystyle${\$mathcal{O}(E)}}$의 피복 코호몰로지(sheaf cohomology)로 정의된다$.$ 특히, 다음과 같은 것이 있다.

${\displaystyle H^{0}(X,{\mathcal {O}(E),=\Gamma(X, {\mathcal {O})(E),}$

E의 전지구적 홀로모픽 섹션의 공간We also have that ${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}(E))}$ parametrizes the group of extensions of the trivial line bundle of X by E, that is, exact sequences of holomorphic vector bundles 0 → E → F → X × C → 0. For the group structure, see also Baer sum as well as sheaf extension.null

돌보트의 정리로는, 이 피복 코호몰로지(cheaf cohomology)는 대안으로, 홀로모픽 $번들{\displaystyle }$ E ${\displaystyle E}$에 있는 값과 함께 여러 형태의 피복에 의해 정의되는 체인 복합체의 코호몰로지(cohomology)라고 설명할 수 있다$.$ 즉, 우리는

${\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {O}(E))=H^{i}({\mathcal{E}^{0,\bullet }(E),{\bar {\partial }_{E})).}$

피카르 그룹

복합 미분 기하학의 맥락에서, 복합 다지관 X의 피카르 그룹 Pic(X)은 텐서 제품이 주는 그룹 법칙과 이중화에 의해 주어지는 역전을 갖는 홀로모르픽 라인 번들의 이형성 등급 그룹이다.비반사성 홀로모르픽 함수의 피복 중 첫$$ 번째 공동호몰로지 그룹 ${\displaystyle {H\mathrm{}}^{}}$ 1${\displaystyle {}^{}X}$, O ${\displaystyle X_{}^{}}$∗${\displaystyle {}_{}^{}}$) ${\displaystyle$ H$^{1}(X$, ${\mathcal {O}_{X}^{*})$로 동등하게 정의할 수 있다.null

단일형 벡터 번들에 대한 은둔자 메트릭스

E를 복잡한 다지관 M에 홀로모픽 벡터 번들로 하고 E에 은둔자 측도가 있다고 가정하자, 즉 섬유 E는_x 내부 제품 <···>를 완만하게 갖추고 있다.그렇다면 E에는 체른 연결이라 불리는 복잡한 구조와 미터법 구조 둘 다와 호환되는 독특한 연결 unique이 존재한다. 즉, ∇은 다음과 같은 연결이다.

(1) E, $\pi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{},}_{}}$ ${\displaystyle 1}$ $∇$ s =$$의 모든 부드러운 섹션에 대해, π은_0,1 E-값 1-폼의 ($0,$ 1)-$성분을 취하는 \$의 $경우, π은$E-값 1-폼의 ($0,$ 1)- 구성 요소를 취한다.

(2) 모든 부드러운 섹션 s, E의 t 및 M의 벡터 필드 X에 대하여,

${\displaystyle X\cdot \langles s,t\langle =\langle \nabla _{X}s,t\langle +\langles s,\nabla _{X}t\rangle }$

여기서 X에 의한$$${\displaystyle \mathrm{}\mathrm{by}}$ s ${\displaystyle \nabla$$_{X}$의 수축에 대해$$ $\nabla {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$를 썼다(이는 ∇에 의한 병렬 전송이 미터법 <···>을 보존한다고 말하는 것과 같다).

Indeed, if u = (e₁, …, e_n) is a holomorphic frame, then let ${\displaystyle h_{ij}=\langle e_{i},e_{j}\rangle }$ and define ω_u by the equation ${\displaystyle \sum h_{ik}\,{(\omega _{u})}_{j}^{k}=\partial h_{ij}}$, which we write more simply as:

$\displaystyle \omega _{u}=h^{-1}\message h.}$

만약 u' = ug가 basis g의 홀로모르픽 변화를 가진 또 다른 프레임이라면,

${\displaystyle \omega_{u'}=g^{-1}dg+g\omega_{u}g^{-1}}$

따라서 Ω은 실제로 연결 형태로서 ss = ds + Ω · s만큼 ∇을 발생시킨다.자,${\displaystyle {\stackrel{}{}\Omega }^{}}$ T${\displaystyle {}^{}}$= h${\displaystyle {}^{}}$ h -${\displaystyle 1^{}}$ ${\$$T}={\overline {\partial}h\cdot$ h$^{-1$

${\displaystyle d\langle e_{i},e_{j}\rangle =\partial h_{ij}+{\overline {\partial }}h_{ij}=\langle {\omega }_{i}^{k}e_{k},e_{j}\rangle +\langle e_{i},{\omega }_{j}^{k}e_{k}\rangle =\langle \nabla e_{i},e_{j}\rangle +\langle e_{i},\nabla e_{j}\rangle .}$

즉, ∇은 미터법 구조와 호환된다.마지막으로 Ω은 a (1, 0)-형식이므로$,{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle s}$ s ${\displaystyle \nabla$s}의 (0, 1)-${\displaystyle {성분}_{}}$은${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$e E ${\displaystyle {}_{}}${\$displaystyle {\bar {\partial$}$_{E}s}$이다$.$

$\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$= ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \Omega }$+${\displaystyle \Omega }$ Ω$${\$displaystyle \Oomega =d\omega$+\$omega \wedge \omega}$은(는) curvature의 곡률 형식이다.Since ${\displaystyle \pi _{0,1}\nabla ={\bar {\partial }}_{E}}$ squares to zero by the definition of a Dolbeault operator, Ω has no (0, 2)-component and since Ω is easily shown to be skew-hermitian,^[3] it also has no (2, 0)-component.따라서 Ω은 (1, 1)-형태로,

${\displaystyle \Oomega ={\bar {\partial }_{E}\omega.}$

곡률 Ω은 고다이라의 소멸 정리, 나카노의 소멸 정리 등과 같은 홀로모픽 벡터 번들의 상위 코호몰리를 위한 소멸 이론에서 두드러지게 나타난다.null

메모들

참조

• Griffiths, Phillip; Harris, Joseph (1994), Principles of algebraic geometry, Wiley Classics Library, New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-05059-9, MR 1288523
• "Vector bundle, analytic", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]

참고 항목

• 비르호프-그로텐디크 정리
• 퀼렌 미터법
• 세레 이중성

외부 링크

• 홀모픽 벡터 번들에 대한 분할 원리