더블 코제트

수학의 한 분야인 집단 이론에서, 이중 코셋은 두 부분군에서 오는 대칭 아래에서 동등한 집단 원소의 집합이다.^[1][2]더 정확히 말하자면 G를 집단이 되게 하고 H와 K를 집단이 되게 한다.H는 왼쪽 곱셈으로 G에 작용하고 K는 오른쪽 곱셈으로 G에 작용하도록 한다.G의 각 x에 대해 x의 (H, K)-double coset은 집합이다.

${\displaystyle HxK=\{hxk\colon h\in H,k\in K\}}$

H = K일 때 이를 x의 H-double coset이라고 한다. 동등하게 HxK는 동등성 관계 하의 x의 동등성 등급이다.

x ~ y는 hxk = y와 같은 H와 K에 h가 존재하는 경우에만 해당된다.

모든 이중 코세트의 세트는 ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \setminus \mathrm{}}$ ${\displaystyle G}$/ K${\displaystyle .}$ ${\displaystyle$ H$\,\backslash G/K.}$로 표시된다.

특성.

G가 각각 왼쪽과 오른쪽 곱셈으로 작용하는 부분군 H와 K를 가진 그룹이라고 가정하자.G의 (H, K)-이중 코세트는 (h, k) = x = hxk에⁻¹ 의해 G에 작용하는 제품군 H × K의 궤도로 동등하게 설명될 수 있다.이중 코세트의 많은 기본 속성은 궤도가 된다는 사실에서 바로 따온 것이다.그러나 G는 집단이고 H와 K는 곱셈에 의해 작용하는 부분군이기 때문에, 이중 코세트는 임의의 그룹 작용의 궤도보다 더 구조화되어 있으며, 더 일반적인 작용에 대해서는 거짓인 추가적인 속성을 가지고 있다.

• HxK와 HyK 두 개의 이중 코세트는 분리되거나 동일하다.
• G는 이중 코세트의 분리 결합이다.
• HxK와 KxH를⁻¹ 식별하여 주어진 두 개의 이중 코셋 공간 H \ G / K와 K \ G / H 사이에 일대일 대응성이 있다.
• H = {1}이면 H \ G / K = G / K, K = {1}이면 H \ G / K = H \ G.
• 이중 코셋 HxK는 H의 오른쪽 코세트와 K의 왼쪽 코세트의 결합이다. 특히,

  ${\displaystyle {\reasoned}HxK&=\빅컵 _{k\in K}Hxk=\coprod _{Hxk\,\in \,H\backslash HxK}Hxk,\\HxK&=\빅컵 _{h\in H}hxK=\coprod_{hxK\,\in, \,HxK/K}hxK.\end{정렬}}}$

• The set of (H, K)-double cosets is in bijection with the orbits H \ (G / K), and also with the orbits (H \ G) / K under the mappings ${\displaystyle HgK\to H(gK)}$ and ${\displaystyle HgK\to (Hg)K}$ respectively.
• 만약 H가 정상이라면 H \ G는 그룹이고, H \ HK의 올바른 행동을 통해 이 그룹 요소에 대한 K의 올바른 작용은 그룹이다.H \ G / K = G / HK를 따른다.마찬가지로 K가 정상이면 H \ G / K = HK \ G.
• H가 G의 정상적인 부분군인 경우, H-더블 코세트는 왼쪽(및 오른쪽) H-코세트와 일대일 대응 관계에 있다.
• HxK를 오른쪽 H-coset의 K-orbit의 조합으로 간주한다.K의 올바른 작용과 관련하여 우측 H-코셋 Hxk \ HxK의 스태빌라이저는 K k (⁻¹xk)이다.Hxk. 이와 유사하게 H의 좌측 작용과 관련하여 좌측 K-coset HxK ∈ HxK / K의 스태빌라이저도 H ∩ hxK(hx)이다.⁻¹
• 이어서 HxK에 포함된 H의 오른쪽 코스메트 수가 지수[K : K x xHx⁻¹]이고 HxK에 포함된 K의 왼쪽 코스메트 수가 지수[H : H ∩ xKx⁻¹]이다.그러므로

  $HxK &=[H:]H\cap xKx^{-1}K = H [K:K\cap x^{-1}Hx],\\왼쪽[G:H\right]&=\sum _{HxK\,\in \,H\backslash G/K}[K:K\cap x^{-1}Hx],\\\왼쪽[G:K\right]&=\sum _{HxK\in, \in,H\backslash G/K}:H\cap xKx^{-1}]\end{정렬}}}$

• G, H, K가 유한하면 그 뒤를 따른다.

  ${\displaystyle {\begin{aigned}HxK &={\frac {HK}{{{\cap xKx^{-1}}}}}{{\cap x^{-1}Hx }}}{ K\cap x^{-1}Hx },\\왼쪽[G:H\right]&=\sum _{HxK\,\in \,H\backslash G/K}{\frac { K }{ K\cap x^{-1}Hx }},\\\left[G:K\right]&=\sum _{HxK\,\in \,H\backslash G/K}{\frac { H }{ H\cap xKx^{-1} }}.\end{정렬}}}$

• x in G를 고정하고 (H × K)_x가 이중 스태빌라이저 {(h, k) : hxk = x}을(를) 나타내도록 하십시오.그 다음 이중 스태빌라이저는 H × K의 서브그룹이다.
• G는 그룹이기 때문에, H의 각 h에 대해 정확하게 G에 1개의 g가 있는데, 이러한 g는 hxg = x, 즉 g = xhx이지만⁻¹⁻¹, g는 K에 없을 수도 있다.마찬가지로 K의 각 k에 대해 G에 gkxk = x와 같이 정확하게 1 g may이 있지만, g′은 H에 있지 않을 수 있다.따라서 이중 스태빌라이저에 대한 설명이 있음

  ${\displaystyle (H\time K)_{x}=\{(h,x^{-1}h^{-1}x)\colon h\in H\}\cap h\time K.}\colon h\time K.}\cap h\cap.$

• (Orbit-안정제 정리)HxK와 (H × K) / (H × K)_x 사이에 편차가 있으며, 그 아래 hxk는 (h, k⁻¹)(H × K)에 해당한다._xG, H, K가 유한하면 그 뒤를 따른다.

  ${\displaystyle HxK = [H\time K)_{x}=H\time K / (H\time K)_{x} .}$

• (Cauchy–Frobenius 보조정리^{(h, k)}) Let G는 (h, k)의 작용에 의해 고정된 원소를 나타낸다.그러면

  ${\displaystyle H\,\backslash G/K ={\frac {1}{ H K}}}\sum _{(h,k)\in H\time K}G^{(h,k)} .}$

• 특히 G, H, K가 유한할 경우 이중 코세트의 수는 그룹 요소의 쌍당 고정된 평균 포인트 수와 같다.

이중 코세트에 대한 설명은 단일 코세트의 측면에서 동일하다.H와 K 둘 다 G에서 오른쪽 곱셈으로 행동하도록 하자.그 다음 G는 코셋 공간 G / H × G / K의 곱에 의해 작용한다. 이 동작의 궤도는 H \ G / K와 일대일 일치한다. 이 서신은 이중 코셋 HxyK와⁻¹ (xH, yK)를 식별한다.Briefly, this is because every G-orbit admits representatives of the form (H, xK), and the representative x is determined only up to left multiplication by an element of H. Similarly, G acts by right multiplication on H \ G × K \ G, and the orbits of this action are in one-to-one correspondence with the double cosets H \ G / K. Conceptually, th는 H-코셋과 K-코셋의 상대적 구성의 공간으로 이중 코셋 공간 H \ G / K를 식별한다.또한, 이 구조는 모든 수의 부분군의 경우에 일반화된다.부분군 H₁, ..., H가_n 주어진 경우₁ (H, ..., H_n)-멀티코셋의 공간은 G / H₁ ×의 G-궤도 집합이다. × G / H_n.

라그랑쥬의 이중 코세트에 대한 정리의 아날로그는 거짓이다.이중 코셋의 크기가 G의 순서를 나눌 필요가 없다는 뜻이다.예를 들어 G = S를₃ 세 글자의 대칭집단으로 하고 H와 K를 각각 전치(12)와 (1)3으로 생성되는 순환집단이 되게 한다.e가 ID 순열을 나타내는 경우

$HEK=HK=\{e, (12), (13), (132)\}.}$

이것은 4개의 원소를 가지며, 4는 S의₃ 순서인 6을 나누지 않는다.서로 다른 이중 코세트의 크기가 같다는 것도 거짓이다.같은 예를 계속하면,

${\displaystyle H(23)K=\{(23), (123)\}}$

네 개의 요소가 아니라 두 개의 요소가 있어

그러나 H가 정상이라고 가정해 보자.앞에서 언급한 바와 같이, 이 경우 이중 코셋 공간은 왼쪽 코셋 공간 G / HK와 동일하다.마찬가지로 K가 정상이라면 H \ G / K는 오른쪽 코셋 공간 HK \ G. Standard의 좌우 코셋 공간에 대한 결과로서 다음과 같은 사실을 암시한다.

• HxK = 모든 x에 대한 HK(G)즉, 모든 이중 코세트는 카디널리티가 동일하다.
• G가 유한하면 G = HK \ G / K . 특히 HK와 H \ G / K divide G .

예

• G = S를_n 세트 {1, ..., n}의 순열로 간주되는 대칭 그룹으로 한다. n을 안정화하는 부분군 H = S를_n−1 고려한다.그 다음 S_n−1 \ S_n / S는_n−1 두 개의 이중 코세트로 구성된다.그 중 하나는 H_n−1 = S. 만약 γ이 n을 고정하지 않는 순열이라면, 다른 코제트는 S_n−1 γ S로_n−1 표현된다.
• G를 GL_n(R) 그룹으로 하고, B를 상위 삼각 행렬의 부분군으로 한다.이중 코셋 공간 B \ G / B는 G의 Bruhat 분해물이다. 각 더블 코셋에는 대표적인 BwB가 있는데, 여기서 w는 순열 매트릭스다.예를 들어, n = 2인 경우

  ${\displaystyle B\,\backslash \!\operatorname {GL} _{2}(\mathbf {R})/B=\{B{begin{pmatrix}1&0\1\end{pmatrix}B,\\begin{pmatrix}0&1\0\{pmatrix}}}}{pmatrix}}}}}}}}}{pmatrix}}}}}nd}}}}}}}}}}}}}}}}}}}B\right\}}$

더블 코세트의 프리 아벨리안 그룹에 속하는 제품

G가 그룹이고 H, K, L이 부분군이라고 가정하자.특정 미세성 조건 하에서 (H, K)-와 (K, L)-더블 코세트에 의해 생성된 자유 아벨리안 코세트에 (H, L)-더블 코세트에 의해 생성된 자유 아벨리안 그룹에 값이 있는 제품이 있다.이것은 이선함수가 있다는 것을 의미한다.

${\displaystyle \mathbf {Z}[H\백슬래시 G/K]\time \mathbf {Z}[K\백슬래시 G/L]\mathbf {Z}[H\백슬래시 G/L]]}$

단순성을 위해 G가 유한하다고 가정한다.제품을 정의하기 위해서는 다음과 같이 G의 그룹 대수학 관점에서 이들 자유 아벨리아 그룹을 재해석한다.Z[H \ G / K]의 모든 요소에는 형태가 있다.

${\displaystyle \sum _{HxK\in H\백슬래시 G/K}f_{HxK}\cdot [HxK],}$

여기서 {f_HxK }은(는) H \ G / K의 요소에 의해 지수화된 정수 집합이다. 이 요소는 H \ G / K, 특히 HxK ↦ f에_HxK 대한 Z 값 함수로 해석될 수 있다.이 기능은 이중 코셋 HxK로 x를 전송하는 투영 G → H \ G / K를 따라 뒤로 당겨질 수 있다.이 경우 함수 x f_HxK f가 된다.이 기능이 구성된 방식에 의해, H 하에서는 좌불변성, K 하에서는 우불변성이 된다.그룹 대수 Z[G]의 해당 요소는 다음과 같다.

${\displaystyle \sum _{x\in G}f_{HxK}\cdot[x],}$

그리고 이 원소는 좌측 곱셈에서 H로, 우측 곱셈에서는 K로 불변한다.개념적으로 이 원소는 HxK를 포함하는 원소로 대체하여 얻으며, G의 정밀도는 합이 여전히 유한함을 보장한다.반대로, H 하에서는 왼쪽 불변성, K 하에서는 오른쪽 불변성인 Z[G]의 모든 요소는 Z[H \ G / K]의 함수 풀백이다.병렬 문장은 Z[K \ G / L]와 Z[H \ G / L]에 적용된다.

Z[H \ G / K], Z[K \ G / L], Z[H \ G / L]의 원소를 Z[G]의 불변 원소로 해석할 때, 위에서 주장된 제품은 정확히 Z[G]의 곱셈이다.실제로 왼쪽-H-invariant 원소와 오른쪽-L-invariant 원소의 생산물이 계속해서 왼쪽-H-invariant, 오른쪽-L-invariant라는 것을 확인하는 것은 사소한 일이다.제품의 이선성은 Z[G]의 곱셈의 이선도에서 바로 나타난다.또한 M이 G의 네 번째 부분군일 경우 (H, K)-, (K, L)-, (L, M)-의 곱은 연관성이 있다.Z[G]에 있는 제품은 G에 대한 기능의 경련에 해당하기 때문에 이 제품을 경련 제품이라고 부르기도 한다.

중요한 특수한 경우는 H = K = L. 이 경우 제품은 이선함수다.

${\displaystyle \mathbf {Z}[H\백슬래시 G/H]\time \mathbf {Z}[H\백슬래시 G/H]\mathbf {Z}[H\백슬래시 G/H]]}$

이 제품은 Z[H \ G / H]를 사소한 이중 코셋[H]의 등급인 신분적 요소를 가진 연상 링으로 바꾼다.일반적으로 이 반지는 커밋되지 않는다.예를 들어 H = {1}인 경우 링은 그룹 대수 Z[G]이고, 그룹 대수는 기본 그룹이 아벨리안인 경우 및 그 경우에만 정류 링이다.

H가 정상이면 H-더블 코세트가 지수군 G/H의 요소와 같도록 Z[H \ G/H]의 제품이 그룹 대수군 Z[G/H]의 제품이다.특히 G/H에 대한 기능들의 통상적인 콘볼루션이다. 이 경우 링은 G/H가 아벨리안인 경우에 한해, 또는 동등하게, H가 G의 정류자 부분군을 포함하는 경우에 한한다.

H가 정상적이지 않으면 G가 비아벨리안이라도 Z[H \ G / H]가 유사할 수 있다.고전적인 예가 두 헤케 연산자의 산물이다.이것은 헤케 대수학에서 나온 제품인데, 비록 G군이 비아벨리안인 모듈 그룹이고, 부분군은 산술 하위 그룹이며, 특히 정류자 하위 그룹이 포함되어 있지 않다.콘볼루션 제품의 공통성은 Gelfand 쌍과 밀접하게 연관되어 있다.

그룹 G가 위상학 집단일 경우, 각 더블 코셋의 좌우 코세트의 수가 유한하다는 가정을 약화시킬 수 있다.그룹 대수 Z[G]는 L²(G) 또는 C^∞(G)와 같은 함수의 대수로서 대체되며, 합계는 통합으로 대체된다.그 제품은 여전히 콘볼루션에 해당된다.예를 들어, 이것은 지역적으로 콤팩트한 그룹의 헤케 대수학에서 발생한다.

적용들

그룹 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$이(가) $세트{\displaystyle }$ S ${\displaystyle S}$에 대해 전이적 그룹 작업을 가지고$$ 있는 경우$,$ $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 특정 이중 코스셋 분해를 계산하면 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$에 $G{\displaystyle }$ ${\$$displaystystyle G$$}$의 작업 구조에 대한 추가 정보가 노출된다$.$ $특히{\displaystyle }$ H${\$is the stabilizer subgroup of some element ${\displaystyle s\in S}$, then ${\displaystyle G}$ decomposes as exactly two double cosets of ${\displaystyle (H,H)}$ if and only if ${\displaystyle G}$ acts transitively on the set of distinct pairs of ${\displaystyle S}$. See 2-transitive groups for more 이 작업에 대한 정보.

이중 코세트는 H의 표현을 G의 유도된 표현을 구성하는데 사용할 때 표현 이론과 관련하여 중요하다. G의 유도된 표현을 K로 제한한다.해당 이중 코셋 구조는 결과 표현이 분해되는 방법에 대한 정보를 전달한다.유한집단의 경우, 이것이 맥키의 분해 정리다.

그것들은 또한 기능 분석에서 중요하다. 어떤 중요한 경우에 부분군 K에 의한 좌변위 및 우변위 함수가 경련하에서의 정류 링을 형성할 수 있다. Gelfand pair를 참조한다.

기하학에서 클리포드-클레인 형태는 이중 코셋 공간 space\G/H로 여기서 G는 환원성 리 그룹, H는 폐쇄성 서브그룹, γ은 균질 공간 G/H에서 적절하게 불연속적으로 작용하는 이산 서브그룹(G)이다.

In number theory, the Hecke algebra corresponding to a congruence subgroup Γ of the modular group is spanned by elements of the double coset space ${\displaystyle \Gamma \backslash \mathrm {GL} _{2}^{+}(\mathbb {Q} )/\Gamma }$; the algebra structure is that acquired from the multiplication of double cosets de위에 쓰여진술Of particular importance are the Hecke operators ${\displaystyle T_{m}}$ corresponding to the double cosets ${\displaystyle \Gamma _{0}(N)g\Gamma _{0}(N)}$ or ${\displaystyle \Gamma _{1}(N)g\Gamma _{1}(N)}$, where ${\displ$Aystyle g=\left({\begin{}smallmatrix 1&, 0\\0&, m\end{smallmatrix}}\right)}( 이러한 다른 속성 m, N또는지 않coprime에 따라 가지고 있), 그리고 다이아몬드 사업자에 식사하⟩{\langle d\rangle\displaystyle}1(N)(abcd)Γ 1(N){\displaystyle \Gam Γ 이중 cosets에 의해 주어지⟨.엄마 _{1}($N)\왼쪽({\begin}a&b\c&d\end{smallmatrix}\오른쪽)$$\Gamma _{1}(N)}$ where ${\displaystyle d\in (\mathbb {Z} /N\mathbb {Z} )^{\times }}$ and we require ${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix}}\right)\in \Gamma _{0}(N)}$ (the choice of a, b, c does not affect the answer).

참조