이와사와 분해

수학에서 반실행 Lie 그룹의 이와사와 분해(그 표현에서 KAN이라고 함)는 직교 행렬과 상위 삼각 행렬(QR 분해 , Gram-Schmidt 직교화의 결과)의 산물로 정사각형 실제 행렬을 작성할 수 있는 방법을 일반화한다.이 방법을 개발한 일본의 수학자 이와사와 겐키치의 이름을 따서 지은 것이다.^[1]

정의

G는 연결된 semisimple real lie 그룹이다.
${\mathfrak {g}}_{0}$ ${\mathfrak {g}}_{0}$ ${\$ 은 ${\mathfrak {g}}_{0}$ (는) G의 Lie 대수학이다.
${\mathfrak {g}}$ ${\$ 은 ${\mathfrak {g}}$ (는) ${\mathfrak {g}}_{0}$ 0 {\ $displaystyle {\$ {0 $}$ 의 합성어다 ${\mathfrak {g}}_{0}$
θ은 ${\mathfrak {g}}_{0}$ ${\mathfrak {g}}_{0}$ ${\$ 의 카르탄 비자발성 물질이다.
${\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {k}}_{0}\oplus {\mathfrak {p}}_{0}$ ${\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {k}}_{0}\oplus {\mathfrak {p}}_{0}$ = k ${\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {k}}_{0}\oplus {\mathfrak {p}}_{0}$ ${\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {k}}_{0}\oplus {\mathfrak {p}}_{0}$ ${\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {k}}_{0}\oplus {\mathfrak {p}}_{0}$ ${\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {k}}_{0}\oplus {\mathfrak {p}}_{0}$ ${\$ 은 해당하는 ${\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {k}}_{0}\oplus {\mathfrak {p}}_{0}$ 카르탄 분해물이다.
${\mathfrak {a}}_{0}$ ${\mathfrak {a}}_{0}$ ${\$ 는 ${\mathfrak {p}}_{0}$ ${\mathfrak {p}}_{0}$ ${\$ 의 최대 아벨레아벨 아발레아(maximal abellian subalgebra)이다 ${\mathfrak {a}}_{0}$ .
σ은 ${\mathfrak {g}}_{0}$ ${\mathfrak {g}}_{0}$ ${\$ ${a}_{0$ }에 ${\mathfrak {a}}_{0}$ 하는 ${\mathfrak {a}}_{0}$ ${\mathfrak {a}}_{0}$ ${\$ { $a$ $}_{0}$ 의 고유값에 ${\mathfrak {a}}_{0}$ 하는 0 ${\$ displaystyle {\ $mathfrak {g}_{$ 0 $}}}}$ 의 제한된 루트의 집합이다 ${\mathfrak {g}}_{0}$
σ은⁺ σ의 긍정적인 뿌리의 선택이다.
${\mathfrak {n}}_{0}$ ${\mathfrak {n}}_{0}$ ${\$ 은 ${\mathfrak {n}}_{0}$ of의⁺ 루트 공간의 합으로 주어진 nilpotent Lie 대수학이다.
K, A, N은 ${\mathfrak {k}}_{0},{\mathfrak {a}}_{0}$ 0 ${\mathfrak {k}}_{0},{\mathfrak {a}}_{0}$ ${\mathfrak {k}}_{0},{\mathfrak {a}}_{0}$ {\ $displaystyle{k}_{0},{\$ mathfrak{ $a}_{0}, n$ ${\mathfrak {n}}_{0}$ ${\$ 에 의해 생성된 G의 Lie 부분군이다 ${\mathfrak {n}}_{0}$

그러면 g ${\mathfrak {g}}_{0}$ ${\$ 의 이와사와 분해는 ${\mathfrak {g}}_{0}$

{\mathfrak {{g}_{0}={\mathfrak {k}_{0}\mathfrak {a}}\mathfrak {n}}{0}}}}}}}\mathfrak {n}_{0}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

G의 이와사와 분해는

G=KAN}

다지관 $K\times A\times N$ $K\times A\times N$ $K\times A\times N$ $K\times A\times N$ N ${\displaystyle K\times$ N $}$ 에서 Lie $그룹$ G $G$ 까지 $K\times A\times N$ 분석적 차이점형(단일형은 아님)이 존재함을 의미하며 $(k,a,n)\mapsto kan$ ( $(k,a,n)\mapsto kan$ , $(k,a,n)\mapsto kan$ , $(k,a,n)\mapsto kan$ ) $(k,a,n)\mapsto kan$ sending ${\displaystyle$ (k $,a,n)\mapstok$

A의 치수( ${\mathfrak {a}}_{0}$ 0 ${\$ {\ $mathfak{a}_$ 0 $})$ 는 G의 실제 등급과 같다.

이와사와 분해는 또한 G의 중심이 유한할 경우 K가 (연결되지 않은) 최대 콤팩트 부분군이 되는 일부 분리 반 구현 그룹 G에 대해서도 유지된다.

제한된 루트 공간 분해는

{\displaystyle {\mathfak{g}_{0}={\mathfrak {m}_{0}\plus {\mathfrak {a}_{0}\oplus \\\\\lambda \in \\\\\mathfrak {g}{\lambda}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}.

where ${\mathfrak {m}}_{0}$ is the centralizer of ${\mathfrak {a}}_{0}$ in ${\mathfrak {k}}_{0}$ and ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\lambda }=\{X\in {\mathfrak {g$ $}}}_{0}:[H,X]=\lambda (H)X\;\;\;\ forall H\in {\mathfrak{a}_{0}\}}}}}$ 이(가) 루트 공간이다 ${\mathfrak {g}}_{\lambda }=\{X\in {\mathfrak {g}}_{0}:[H,X]=\lambda (H)X\;\;\forall H\in {\mathfrak {a}}_{0}\}$ .숫자 $m_{\lambda }={\text{dim}}\,{\mathfrak {g}}_{\lambda }$ $m_{\lambda }={\text{dim}}\,{\mathfrak {g}}_{\lambda }$ = $m_{\lambda }={\text{dim}}\,{\mathfrak {g}}_{\lambda }$ $m_{\lambda }={\text{dim}}\,{\mathfrak {g}}_{\lambda }$ $m_{\lambda }={\text{dim}}\,{\mathfrak {g}}_{\lambda }$ ${\$ $displaystyle$ $m_{\lambda }={\text{dim}\,{\mathfak$ {g $}_$ ${\lambda }}}}}}$ 의 $m_{\lambda }={\text{dim}}\,{\mathfrak {g}}_{\lambda }$ 곱셈이라고 한다 $\lambda$

예

G=SL_n(R)이면 K를 직교 행렬로, A를 결정 인자 1을 가진 양의 대각 행렬로, N을 대각선에 1s를 가진 상위 삼각 행렬로 구성된 전능 집단으로 취할 수 있다.

n=2의 경우 G=SL(2,R)의 이와사와 분해는 다음과 같다.

\mathbf {K} =\left\{{\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}\in SL(2,\mathbb {R} )\  \ {\text{ rotation group, angle}}=\theta \right\}\cong SO(2),

{\displaystyle \mathbf {A} =\좌측\{\\\begin{pmatrix}r&0\\r^{-1}\end{pmatrix}}\in SL(2,\\mathb {R} )\ \ r>0}\{{{{\text}\real number, 대각선, }}\det=1\det=1\data.

\mathbf {N} =\좌측\{\\begin{pmatrix}1&x\\0&1\end{pmatrix}}\in SL(2,\mathb {R} )\ x\in \mathbf {R} {\text{상측각각형 대각 = 1,\}.

공감 그룹 G=Sp(2n, R )의 경우 가능한 이와사와 디포메이션은 다음과 같다.

\mathbf {K} =Sp(2n,\mathbb {R} )\cap SO(2n)=\left\{{\begin{pmatrix}A&B\\-B&A\end{pmatrix}}\in Sp(2n,\mathbb {R} )\  \ A+iB\in U(n)\right\}\cong U(n),

\mathbf {A} =\좌측\{\\begin{pmatrix}D&0\\0&D^{-1}\end{pmatrix}}\in Sp(2n,\\\\mathb {R} )\\D{positial}\text{양, 대각선}}

\mathbf {N} =\left\{{\begin{pmatrix}N&M\\0&N^{-T}\end{pmatrix}}\in Sp(2n,\mathbb {R} )\  \ N{\text{ upper triangular with diagonals = 1}},\ NM^{T}=MN^{T}\right\}.

비 아르키메데스 이와사와 분해

There is an analog to the above Iwasawa decomposition for a non-Archimedean field $F$ : In this case, the group $GL_{n}(F)$ can be written as a product of the subgroup of upper-triangular matrices and the (maximal compact) subgroup $GL_{n}(O_{F})$ $GL_{n}(O_{F})$ , 여기서 $O_{F}$ $O_{F}$ ${\$ 는 F $F$ 의 정수 링이다 $O_{F}$ $F$ ^[2]

참고 항목

참조

^ Iwasawa, Kenkichi (1949). "On Some Types of Topological Groups". Annals of Mathematics. 50 (3): 507–558. doi:10.2307/1969548. JSTOR 1969548.
^ Bump, Daniel (1997), Automorphic forms and representations, Cambridge: Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9780511609572, ISBN 0-521-55098-X, prop. 4.5.2

Fedenko, A.S.; Shtern, A.I. (2001) [1994], "Iwasawa decomposition", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
Knapp, A. W. (2002). Lie groups beyond an introduction (2nd ed.). ISBN 9780817642594.

[1] Iwasawa, Kenkichi (1949). "On Some Types of Topological Groups". Annals of Mathematics. 50 (3): 507–558. doi:10.2307/1969548. JSTOR 1969548.

[2] Bump, Daniel (1997), Automorphic forms and representations, Cambridge: Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9780511609572, ISBN 0-521-55098-X, prop. 4.5.2

[1]

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