함수 공간

수학에서 함수 공간은 두 고정 집합 사이의 함수 집합이다. 종종 도메인 및/또는 코도메인은 함수 공간에 의해 상속되는 추가적인 구조를 가질 것이다. 예를 들어, 모든 집합의 함수 집합 X 벡터 공간에는 점으로 덧셈과 스칼라 곱셈에 의해 주어지는 자연적인 벡터 공간 구조가 있다. 다른 시나리오에서 함수 공간은 위상학적 또는 메트릭 구조를 상속할 수 있으므로 이름 함수 공간.

선형대수에서

기능 추가: 사인함수와 지수함수의 합은

\sin +\exp :\mathbb {R} \to \mathbb {R}

+

\sin +\exp :\mathbb {R} \to \mathbb {R}

:

\sin +\exp :\mathbb {R} \to \mathbb {R}

→

\sin +\exp :\mathbb {R} \to \mathbb {R}

{\

에

\sin +\exp :\mathbb {R} \to \mathbb {R}

(\sin +\exp )(x)=\sin(x)+\exp(x)

(

(\sin +\exp )(x)=\sin(x)+\exp(x)

+

(\sin +\exp )(x)=\sin(x)+\exp(x)

)

(\sin +\exp )(x)=\sin(x)+\exp(x)

(x )

(\sin +\exp )(x)=\sin(x)+\exp(x)

=

(\sin +\exp )(x)=\sin(x)+\exp(x)

(\sin +\exp )(x)=\sin(x)+\exp(x)

(

(\sin +\exp )(x)=\sin(x)+\exp(x)

+

exp

(

x)

=

#displaystystyle

(\

sin(x)+x)

내버려두다 V 들판 위의 벡터 공간이다 F 그리고 내버려두다 X 아무렇게나 되어 있다 기능 X → V 위에 벡터 공간의 구조가 주어질 수 있다. F 여기서 운영이 포인트(pointwise)로 정의되는 경우, 즉 모든 작업에 대해 f, g : X → V, 아무거나 x 에 X, 및 기타 c 에 F, 정의

{\cdot f(x)}(x)&=f(x)+g(x)\(c\cdot f)&=c\cdot f(x)\end{aigned}}}}}

도메인이 있을 때 X 그 구조물을 존중하는 모든 기능들의 부분집합(또는 하위 공간)을 대신 고려할 수 있다. 예를 들어, 다음과 같다. X 또한 위에 벡터 공간이 있다. F, 선형 지도 세트 X → V 에 벡터 공간을 만들다. F 점 단위 작업(종종 홈으로 표시됨)X,V)). 그러한 공간 중 하나는 의 이중 공간이다. V: 선형 함수의 집합 V → F 추가 및 스칼라 곱셈을 점으로 정의한다.

예

함수 공간은 수학의 다양한 영역에서 나타난다.

집합 이론에서 X에서 Y까지의 함수 집합은 X → Y 또는 Y로^X 나타낼 수 있다.
- 특별한 경우로, X 집합의 전원 집합은 2로^X 표시된 X부터 {0, 1}까지의 모든 기능 집합으로 식별할 수 있다.
X에서 Y까지의 일련의 반대는 $X파운드$ 의 $Y$ 로 표시된다 $X\leftrightarrow Y$ X는 단일 집합 X의 순열에는 X!라는 요인 표기법을 $사용$ 할 수 있다.
기능 분석에서 위의 벡터 공간의 위상들을 포함하여 연속적인 선형 변환에 대해서도 동일한 것을 볼 수 있으며, 주요 예로는 위상을 전달하는 기능 공간들이 많다. 가장 잘 알려진 예로는 힐버트 공간과 바나흐 공간이 있다.
함수 분석에서 자연수에서 일부 집합 X에 이르는 모든 함수의 집합을 시퀀스 공간이라고 한다. X 원소의 가능한 모든 시퀀스 집합으로 구성된다.
위상에서는 위상학적 공간 X에서 다른 공간 Y로 이어지는 연속함수의 공간에 위상(위상)을 배치하려고 할 수 있으며, 공간의 특성에 따라 효용성이 있다. 일반적으로 사용되는 예는 콤팩트 오픈 토폴로지(예: 루프 공간)이다. 또한 설정된 이론적 함수의 공간에 대한 제품 토폴로지를 사용할 수 있다(즉, 반드시 연속적인 함수는 아님). Y^X. 이 맥락에서 이 위상은 점성 수렴의 위상이라고도 한다.
대수적 위상에서 호모토피 이론의 연구는 본질적으로 함수 공간의 이산 불변성의 것이다.
확률적 프로세스 이론에서 기본적인 기술적 문제는 프로세스 경로의 함수 공간에 대한 확률 측정(시간의 기능)을 구성하는 방법이다.
범주 이론에서 함수 공간은 지수 객체 또는 지도 객체라고 불린다. 그것은 한 가지 방법으로 표준적인 분기점자로 나타나지만, (단일) functor로서, [X, -] 타입의 functor에 보조 functor로 나타난다. (-×X) 타입의 functor로 나타난다.
기능 프로그래밍과 람다 미적분학에서 함수형은 고차함수의 개념을 표현하기 위해 사용된다.
도메인 이론에서 기본적인 생각은 얌전한 데카르트 폐쇄 범주를 만들어 람다 미적분을 모형화할 수 있는 부분 순서로부터 구조를 찾는 것이다.
유한집단의 대표이론에서, 두 개의 유한차원의 대표이론이 주어진다. V 그리고 W 집단의 G, 을 대표할 수 있다. G 선형 지도의 벡터 공간을 넘어. 홈().V,W)은 Hom표현이라고 불린다.^[1]

기능분석

기능 분석은 기능 공간을 유한 차원의 규범된 공간에 적용할 수 있는 아이디어의 범위 내에 위상학적 벡터 공간으로 가져오기 위해 적절한 기법을 중심으로 구성된다. 여기서는 실제 선을 예시 도메인으로 사용하지만, 아래의 공간은 적절한 오픈 서브셋 $\Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}$ $\Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}$ $\Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}$ n ${\$ 에 존재한다.

$C(\mathbb {R} )$ ( $C(\mathbb {R} )$ ) $C(\mathb {R} )$ 의 $C(\mathbb {R} )$ 연속 함수에 동일한 표준 위상이 부여됨
$C_{c}(\mathbb {R} )$ ( $C_{c}(\mathbb {R} )$ ) $C_{c}(\mathb {R} )$ 콤팩트한 지원을 포함한 연속 $C_{c}(\mathbb {R} )$ 함수
$B(\mathb {R} )$ 경계 함수
$C_{0}(\mathbb {R} )$ $C_{0}(\mathbb {R} )$ ( R $C_{0}(\mathbb {R} )$ ) $C_{0}(\mathb {R} )$ 무한대로 사라지는 연속 $C_{0}(\mathbb {R} )$ 함수
$C^{r}(\mathbb {R} )$ $C^{r}(\mathbb {R} )$ ( $C^{r}(\mathbb {R} )$ ) $C^{r}(\mathbb {R} )$ 연속 $C^{r}(\mathbb {R} )$ 함수로 연속적인 첫 번째 r 파생 모델이 있다.
$C^{\npty }(\mathb {R} )$ 매끄러운 기능
$C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} )$ $C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} )$ $C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} )$ ( $C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} )$ ) $C_{c}^{\nft }(\mathb {R})$ 의 부드러운 $C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} )$ 기능 및 컴팩트 지원
$C^{\omega}(\mathb {R} )$ 실제 분석 기능
$L^{p}(\mathbb {R} )$ , for $1\leq p\leq \infty$ , is the L^p space of measurable functions whose p-norm ${\textstyle \ f\ _{p}=\left(\int _{\mathbb {R} } f ^{p}\right)^{1/p}}$ is finite
${\mathcal {S}}(\mathbb {R} )$ ( R ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} )$ ) ${\displaystyle {S}(\mathb {R} )},$ 매끄러운 기능이 급격히 감소하는 슈워츠 공간과 그 연속적인 이중, ${\mathcal {S}}'(\mathbb {R} )$ ${\mathcal {S}}'(\mathbb {R} )$ ( ${\mathcal {S}}'(\mathbb {R} )$ ) ${\mathcal {S}(\mathb {R})$ 강화 ${\mathcal {S}}'(\mathbb {R} )$ 분포 ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} )$
$D(\mathbb {R} )$ ( $D(\mathbb {R} )$ ) $D(\mathb {R} )$ 한계 위상에서의 콤팩트 $D(\mathbb {R} )$ 지원
$W^{k,p}$ $W^{k,p}$ , $W^{k,p}$ ${\$ W $^{k,p}}$ 순서 k까지의 약한 파생상품이 $L^{p}$ $L^{p}$ {\ $displaystyle$ L^{ $p}$ 에 있는 기능의 Sobolev $W^{k,p}$ 공간
${\mathcal {O}}_{U}$ ${\mathcal {O}}_{U}$ ${\$ 홀로모르픽 ${\mathcal {O}}_{U}$ 함수
선형 함수
부분적 선형 함수
연속 함수, 콤팩트한 열린 토폴로지
모든 함수, 점괘 수렴 공간
하디 스페이스
홀더 공간
스코로크호드 공간이라고도 알려진 카들라그 함수
${\text{Lip}}_{0}(\mathbb {R} )$ ${\text{Lip}}_{0}(\mathbb {R} )$ ( ${\text{Lip}}_{0}(\mathbb {R} )$ ) ${\text{Lip}_{0}(\mathb {R$ ${\text{Lip}}_{0}(\mathbb {R} )$ 모든 Lipschitz의 공간은 $\mathbb {R}$ 에서 사라지는 $\mathbb {R}$ R ${\$ 에서 기능한다.

규범

If $y$ is an element of the function space ${\mathcal {C}}(a,b)$ of all continuous functions that are defined on a closed interval $[a, b]$ , the norm $\ y\ _{\infty }$ defined on ${\mathcal {C}}(a,b)$ is the maximum absolute value of $y (x)$ for $a x$ x $b$ b,^[2]

\ \{\infit }\equiv \max _{a\leq x\leq b}y(x) \qquad {\where}\where}\\in {\mathcal {C}(a,b)

균일한 규범 또는 우월 규범('supple norm')이라고 불린다.

참고 문헌 목록

Kolmogorov, A. N., & Pomin, S. V. (1967) 기능 이론 및 기능 분석의 요소. Courier Dover Publishes.
스타인, 엘리아스, 샤카르치, R. (2011) 기능 분석: 분석의 추가 주제 소개. 프린스턴 대학 출판부.

참고 항목

참조

^ Fulton, William; Harris, Joe (1991). Representation Theory: A First Course. Springer Science & Business Media. p. 4. ISBN 9780387974958.
^ Gelfand, I. M.; Fomin, S. V. (2000). Silverman, Richard A. (ed.). Calculus of variations (Unabridged repr. ed.). Mineola, New York: Dover Publications. p. 6. ISBN 978-0486414485.

[1] Fulton, William; Harris, Joe (1991). Representation Theory: A First Course. Springer Science & Business Media. p. 4. ISBN 9780387974958.

[GelfandFominP6-2] Gelfand, I. M.; Fomin, S. V. (2000). Silverman, Richard A. (ed.). Calculus of variations (Unabridged repr. ed.). Mineola, New York: Dover Publications. p. 6. ISBN 978-0486414485.

[1]

[2]

권한통제
국립도서관	일본.
기타	마이크로소프트 어학

Search

함수 공간

네임스페이스

더

목차

선형대수에서

예

기능분석

규범

참고 문헌 목록

참고 항목

참조

함수
$x \mapsto f (x)$
도메인 및 코도메인의 예
$(\displaystyle X}$ → $\mathbb {B}$ ${\$ $\mathbb {B}$ $\displaystyle \mathb {B} }$ → $X$ ${\displaystyle$ X $X$ $\mathb{B} ^{n}$ → $(\displaystyle X}$ $(\displaystyle X}$ → $\mathbb {Z}$ ${\$ $\displaystyle \mathb {Z} }$ → $(\displaystyle X}$ $(\displaystyle X}$ → $\mathbb {R}$ ${\$ $\mathbb {R}$ $\mathb {R}$ → $X$ ${\displaystyle$ X $X$ $\mathb{R} ^{n}$ → $(\displaystyle X}$ $(\displaystyle X}$ → $\mathbb {C}$ ${\$ $\mathb {C}$ → $X$ ${\displaystyle$ X $X$ $\mathb{C} ^{n}$ → $(\displaystyle X}$
클래스/속성
상수 아이덴티티 선형 다항식 이성적 대수학 분석적 부드러움 연속 측정 가능 주입식 굴욕적인 비주사적
시공
제한 구성 λ 반비례
일반화
부분적 다중값 암묵적
v t