티에체 변형
Tietze transformations그룹 이론에서, 티에체 변환은 그룹의 주어진 표시를 동일한 그룹의 다른 단순한 표시로 변환하는데 사용된다.이러한 변형은 1908년 한 논문에서 이를 소개한 하인리히 프란츠 프리드리히 티에체(Heinrich Franz Friedrich Tietze)의 이름을 따서 지은 것이다.
프리젠테이션은 생성자와 관계의 측면에서 이루어진다. 공식적으로는 프리젠테이션 그룹의 명명된 생성자 집합과 관계가 되는 생성자에 대한 단어 집합이다.티에체 변환은 기초적인 단계로 이루어지며, 각각의 단계들은 다소 개별적으로 이형질 그룹의 프레젠테이션으로 가져가는 것이 분명하다.이러한 기본 단계는 발전기 또는 관계에서 작동할 수 있으며, 네 가지 유형이다.
관계 추가
기존 관계에서 관계를 도출할 수 있는 경우 그룹을 변경하지 않고 프레젠테이션에 추가할 수 있다.렛츠 G= ××=13 〉은 순서 3의 순환 그룹에 대한 유한한 표현이다.양쪽에 x3=1을 x로3 곱하면 x6 = x = 1이므로3 x = 1은6 x3=1에서 파생된다.따라서 G=x=x3=1, x6=1 〉은 같은 그룹에 대한 또 다른 프레젠테이션이다.
관계 제거
프레젠테이션의 관계를 다른 관계에서 도출할 수 있는 경우 그룹에 영향을 미치지 않고 프레젠테이션에서 제거할 수 있다.G = 〈x3 = 1, x = 16〉에서 관계 x6 = 1은 x3 = 1로부터 파생되어 안전하게 제거할 수 있다.단, 발표에서 x3 = 1이 제거되면 그룹 G = 〈x6 = 1〉이 순서 6의 주기 그룹을 정의하고 동일한 그룹을 정의하지 않는다는 점에 유의한다.제거된 모든 관계가 다른 관계의 결과라는 것을 보여주기 위해 주의를 기울여야 한다.
생성기 추가
프레젠테이션을 할 경우 원래 발전기에서 단어로 표현되는 새 발전기를 추가할 수 있다.G = 〈x3 = 1〉로 시작하고, y = x 새로운2 발표 G = 〈x,y3 x = 1, y = x2〉로 시작하자 같은 그룹이 정의된다.
제너레이터 제거
만약 발전기 중 하나가 다른 발전기에서 단어인 관계가 형성될 수 있다면, 그 발전기는 제거될 수 있다.이를 위해서는 제거된 발전기의 모든 발생을 동등한 단어로 교체해야 한다.순서 4, G=x,y,z x = yz,y2=1,z2=1,x=x−1 〉의 초등 아벨리아 그룹에 대한 프레젠테이션은 x를 제거하여 G = y,z2 y = 1, z = 1, (yz2) = (yz)−1 〉로 대체할 수 있다.
예
Let G = 〈x,y3 x = 1, y2 = 1, (xy)2 = 1〉은 학위 3의 대칭 그룹에 대한 프레젠테이션이다.제너레이터 x는 순열(1,2,3) 및 y ~ (2,3)에 해당한다.Tietze 변환을 통해 이 프리젠테이션은 G = 〈y2,3 zy〉 = 1, y = 12, z = 1〉로 변환할 수 있으며, 여기서 z는 (1,2)에 해당한다.
| G = 〈x,y3 x = 1, y2 = 1, (xy)2 = 1〉 | (시작) |
| G = 〈x,y,z x3 = 1, y2 = 1, (xy)2 = 1, z = xy〉 | 규칙 3 — 제너레이터 z 추가 |
| G = 〈x,y,z x3 = 1, y2 = 1, (xy)2 = 1, x = zy〉 | 규칙 1 및 2 — x = zy−1 = zy 및 제거 z = xy |
| G = 〈Y,z (zy)3 = 1, y = 12, z = 12〉 | 규칙 4 - 제너레이터 x 제거 |
