보고몰니-프라사드-소머필드 바인딩

보고몰니-프라사드-소머필드 바운드(Evgeny Bogomolny, M.K.Prasad, Charles Sommerfield)^[1][2]는 무한대 용액의 호모토피 등급에 따라 부분 미분 방정식의 해법에 대한 일련의 불평등이다. 이 불평등의 집합은 해결방정식을 푸는 데 매우 유용하다. 흔히 바운드를 만족('포화'라고 부름)해야 한다고 주장함으로써 보다 간단한 부분 미분방정식, 즉 보고몰니 방정식을 생각해낼 수 있다. 바운드를 포화시키는 솔루션은 "BPS 상태"라고 불리며 필드 이론과 끈 이론에서 중요한 역할을 한다.

예

U(1) 양-밀-히그스의 이론에서 주어진 시간의 에너지는 t에 의해 주어진다.

${\displaystyle E=\int d^{3}x\,\left[{\frac {1}{2}}{\overrightarrow {D\varphi }}^{T}\cdot {\overrightarrow {D\varphi }}+{\frac {1}{2}}\pi ^{T}\pi +V(\varphi )+{\frac {1}{2g^{2}}}\operatorname {Tr} \left[{\vec {E}}\cdot {\vec {E}}+{\vec {B}}\cdot {\vec {B}}\right]\right]}$

여기서 D는 공변량 파생상품이고 V는 잠재적 파생상품이다. 만약 우리가 V가 부정적이고 힉스 진공에 대해서만 0이며 힉스 필드가 부차적 표현에 있다고 가정한다면, 그렇다면, 양-밀스 비안치 정체성에 의해,

${\displaystyle {\reasoned}E&\geq \int d^{3}x\,\left[{\frac {1}{2}}\operatorname {Tr} \left[{\overrightarrow {D\varphi }}\cdot {\overrightarrow {D\varphi }}\right]+{\frac {1}{2g^{2}}}\operatorname {Tr} \left[{\vec {B}}\cdot {\vec {B}}\right]\right]\\&\geq \int d^{3}x\,\operatorname {Tr} \left[{\frac {1}{2}}\left({\overrightarrow {D\varphi }}\mp {\frac {1}{g}}{\vec {B}}\right)^{2}\pm {\frac {1}{g}}{\overrightarrow {D\varphi }}\cdot {\vec {B}}\right]\\&\geq \pm {\frac {1}{1}{g}\int d^{3}x\,\operatorname {Tr} \left[{\overwrightarrow {D\varphi }}}\cdot {\vec}\right]\\&=\pm {\flac {1}{g}\int _{S^{2}\\\mathrm {boundary}}\operatorname {Tr} \left[\varphi {\b}\b}\cdot d{\vec}\vec}\{S}\right].\end{정렬}}}$

그러므로

${\displaystyle E\geq \left\int_{S^{2}}\\operatorname {Tr} \left[\varphi {\b}\cdot d{\vec}\오른쪽]\right\}$

$\pi {\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \pi =0$에 대해 포화도를 얻음

${\displaystyle {\overwrightarrow {D\varphi }}\mp {\frac {1}{g}{\vec{B}=0,}$

보고몰니 방정식 포화상태의 또 다른 조건은 힉스 질량과 자기 상호작용이 0이라는 것인데, N=2 초대칭 이론에서 그렇다.

이 양은 자속의 절대값이다.

다이온에 적용되는 약간의 일반화도 존재한다. 그러기 위해서는 힉스 필드가 진짜 조정자가 아니라 복잡한 조정자가 되어야 한다.

초대칭

초대칭에서 BPS 바운드는 SUSY 발전기 중 절반(또는 1/4 또는 1/8)이 파손되지 않았을 때 포화된다. 이는 질량이 전형적으로 위상학적 전하인 중앙 확장체와 동일할 때 발생한다.^[3]

사실, 대부분의 BPS 경계는 실제로 초대칭 이론의 보소닉 부분으로부터 온 것이며, 이것이 그 기원을 설명한다.

참조