그룹의 정밀도 특성

수학에서 집단의 미세성 특성은 집단을 연구하기 위해 다양한 대수학 및 위상학 도구를 사용할 수 있는 특성들의 집합이다.그것은 대부분 무한 집단의 연구에 관심이 있다.

정밀도 특성을 가진 집단의 특별한 경우는 정밀하게 생성되어 집단을 정밀하게 제시한다.

위상학적 정밀도 특성

정수 n ≥ 1을 지정하면, 기본 그룹이 $\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\$$displaystyle \Gamma$ $}$에 이형인 비구형 $CW{\displaystyle \mathrm{}}$ 콤플렉스가 존재하며,$$ s {\$displaystyle \Gamma$ $\}$에 대한 분류 공간은 유한한 경우 그룹 leton {\displaystylema \Skelton$}$이 F형이라고_n 한다$$.집단은 n마다 F형이면_n F형이라고_∞ 한다.그것은 그것이 기본 집단인 유한한 비구체적 CW 복합체가 존재한다면 F형이다.

n의 작은 값의 경우, 이러한 조건들은 더 고전적인 해석을 가지고 있다.

• 그룹은 미세하게 생성되는 경우에만₁ F형이다(유한 생성 계열에 의해 인덱싱된 꽃잎이 있는 장미는 분류 공간의 1-골격이며, 이 생성 계열에 대한 그룹의 Cayley 그래프는 범용 커버의 1-골격이다).

• 그룹은 그것이 정교하게 제시된 경우에만 F형이다₂(즉, 프리젠테이션 콤플렉스는 유한 생성 세트와 각 관계에 해당하는 2-셀에 의해 색인화된 꽃잎으로 된 장미로 분류 공간의 2-골격이며, 이 범용 커버는 케이리 콤플렉스를 2-골격으로 한다).

n ≥ 1마다 F형이_n+1 아닌 F형의_n 그룹이 있는 것으로 알려져 있다.유한집단은 F형이지만_∞ F형은 아니다.톰슨의 그룹 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$은(는) F형이지만_∞ F형이 아닌 비틀림 없는 그룹의 예다.^[1]

F_n 속성의 개혁은 호모토피 그룹 $\pi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle {\pi }_{}}$ n ${\$가) 사라지는$$ CW 복합체에서 적절하게 불연속적이고 자유롭고 cocompact하게 작용하는 경우에만 그룹이 그것을 갖는 것이다.또 다른 정밀도 속성은 호모토피를 호모학으로 대체함으로써 형성될 수 있다: 어떤 집단은 첫 번째 호모학 집단이 사라지는 CW 복합체에서 위와 같이 행동할 경우 FH형이라고_n 한다.

대수적 정밀도 특성

$\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Gamma }$을(를) 그룹으로 $하고$ ${\displaystyle Z\mathrm{}}$ {$${\$displaystyle \mathb {Z} \Gamma$} 그룹의 링을 울린다.The group ${\displaystyle \Gamma }$ is said to be of type FP_n if there exists a resolution of the trivial ${\displaystyle \mathbb {Z} \Gamma }$-module ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ such that the n first terms are finitely generated projective ${\displaystyle \mathbb {Z} \Gamma }$-modules.^[2]FP와_∞ FP의 종류는 명확한 방법으로 정의된다.

자유 모듈로 대체된 투영 모듈에서 동일한 문장으로 n ≥ 1, FL_∞ 및 FL 등급이_n 정의된다.

또한 위의 정의에서$$ 그룹 링 $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\displaystyle \gamma \mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathb {Z} \Gamma$}을(를) $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{\gamma }}${\$displaystyle R\Gamma }($으)로$$ 대체하여 모든 정류 링 R에 대한 클래스 FP_n(R)와 FL_n(R)을 정의할 수도 있다.

F_n 또는 FH_n 조건 중 하나는 FP와_n FL을_n 암시한다(모든 정류 링 위에).그룹이 FP 유형인 경우에는 FP₁ 유형이지만,^[2] n ≥ 2의 경우 F형이_nn 아닌 F형이 존재한다.^[3]

집단 코호몰로지

${\displaystyle \mathrm{그룹}}$이 FP_n 유형인 경우 $해당{\displaystyle \mathrm{}}$ 공동호몰로지 그룹 ${\displaystyle {Hi}^{}}$${\displaystyle (}$ ${\displaystyle \mathrm{\gamma }}$) ${\displaystyle$ H$^{i}(\$$Displaystyle 0\leq$ i$\leq n}$에 대해 정밀하게 생성되며$,$ FP 유형인 경우 유한 공동호몰학적 차원이 된다.따라서 집단의 코호몰로지 이론에서 미세성 성질은 중요한 역할을 한다.

예

유한군

유한 주기 그룹 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$이(가) $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\$의 단위 구체에 자유롭게 작용하여$$ 각$$차원에 미세하게 많은 셀이 있는 CW 복합 구조를 보존한다.^[4]이 단위 구체는 수축이 가능하기 때문에 모든 유한 주기 그룹은 F형이다_∞.

그룹 G{G\displaystyle}에 대한 표준 해상도[5]. 이는 모든 플레이어와 한정되어 있음을 보여 주는 줄일 수 있는 CW-complex에 치수의 세포와 G{G\displaystyle}의 요소들의(n+1){\displaystyle(n+1)}-tuples에{n\displaystyle}해당 자유 G{G\displaystyle}-action로 탄생하게 된다. group은 F형이다_∞.

비삼위적 유한집단은 무한 동족학적 차원을 가지기 때문에 절대 F형이 아니다.이것은 또한 비경쟁적 비틀림 부분군을 가진 그룹이 절대 F형이 아님을 암시한다.

닐포텐트군

$\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Gamma}$이(가) 비틀림 없는 정밀하게 생성된 nilpotent 그룹이라면 F형이다.^[6]

정밀도 특성에 대한 기하학적 조건

음극 곡선 그룹(하이퍼볼릭 또는 CAT(0) 그룹)은 항상 F형이다_∞.^[7][8]그러한 그룹은 비틀림이 없는 경우에만 F형이다.

예를 들어, 숫자 필드 위에 있는 대수 그룹의 cocompact S-arcetic 그룹은 F형이다_∞.보렐-세레 콤팩트화는 이것이 비코콤팩트 산술집단의 경우에도 마찬가지라는 것을 보여준다.

기능 밭에 산술 그룹:계급 r{r\displaystyle}의 글로벌 기능 분야에 대한 단순 대수 그룹에서 만약 Γ{\displaystyle \Gamma} 있는 산술 그룹(Fq(t 같은){\displaystyle \mathbb{F}_ᆭ(t)})그 형식 버섯의 형식이 아닌 Fr+1의 매우 다른 한정됨. 성질을 가지고 있다.[9]

메모들

참조