대수군에서의 근사치

Approximation in algebraic groups

대수군 이론에서 근사치 이론은 지구영역 k에 대한 대수군 G에 대한 중국의 나머지 정리를 확장한 것이다.

역사

아이클러(1938년)는 일부 고전파 그룹에 대해 강한 근사치를 증명했다.강한 근사치는 1960년대와 1970년대에 글로벌 분야에 걸쳐 단순 연결 대수집단을 반이행하기 위해 확립되었다.숫자 필드의 결과는 크네세르(1966년)와 플라토노프(1969년)에 기인하고, 함수 필드 케이스는 유한 필드 위에 기인하는 마르굴리스(1977년)와 프라사드(1977년)에 기인한다.숫자 필드 사례에서 플라토노프는 크네세르-라고 불리는 지역 분야에 대해서도 관련 결과를 입증했다.억측이다.

형식 정의 및 속성

G를 글로벌 필드 k에 대한 선형 대수집단이 되게 하고, A는 k의 아델 링이 되게 한다.S가 비어 있지 않은 유한한 k의 장소 집합인 경우, 우리는 S-아델의 링에 A를S 쓰고, 완성 k의s 곱에 A를S, 유한 집합 S에 s로 s를 쓴다.어떤 선택이든, G(k)는 G(A)와S G(AS)에 내장된다.

약한 근사치로 질문되는 질문은 G(AS)에 G(k)를 삽입하는 것이 밀도 높은 이미지를 가지는가 하는 것이다.그룹 G가 연결되고 k-rational인 경우, 어떤 세트 S에 관해서도 약한 근사치를 만족한다(Platonov & Rapinchuk 1994, 페이지 402).보다 일반적으로, 연결된 그룹 G의 경우, G가 T와 분리된 세트 S에 관해서 약한 근사치를 만족하는 k의 유한한 장소의 유한한 세트 T가 있다(Platonov & Rapinchuk 1994, 페이지.415).특히, k가 대수적 숫자 필드인 경우, 임의의 그룹 G는 무한대의 S = S에∞ 대해 약한 근사치를 만족한다.

강한 근사치로 질문되는 질문은 G(AS)에 G(k)를 삽입하는 것이 밀도 이미지를 갖는 것인지, 또는 세트와 동등한 것인지이다.

G(k)G(AS)

G(A)의 밀도 하위 집합이다.강한 근사치의 주정리(Kneser 1966, 페이지 188)는 지구영역 k 위에 있는 해결 불가능한 선형 대수군 G는 그것의 급진적인 N이 전능하지 않은 경우에만, G/N이 간단히 연결되고, G/N의 거의 단순한 구성 요소 H가 일부 SDEF에 비복합성분 H를 가지고 있는s 경우에 한정된 집합 S에 대해 강한 근사치를 갖는다고 기술하고 있다(Keser 1966, p.188).H에.

강한 근사치의 증거는 대수집단의 하세 원리에 따라 결정되었는데, E형8 집단의 경우 몇 년 후에야 증명되었다.

약한 근사치는 조정 그룹과 체발리 집단의 내부 형태를 포함한 더 넓은 집단의 계층을 유지하며, 강한 근사 특성이 제한적이라는 것을 보여준다.

참고 항목

참조

  • Eichler, Martin (1938), "Allgemeine Kongruenzklasseneinteilungen der Ideale einfacher Algebren über algebraischen Zahlkörpern und ihre L-Reihen.", Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (in German), 179: 227–251, doi:10.1515/crll.1938.179.227, ISSN 0075-4102
  • Kneser, Martin (1966), "Strong approximation", Algebraic Groups and Discontinuous Subgroups (Proc. Sympos. Pure Math., Boulder, Colo., 1965), Providence, R.I.: American Mathematical Society, pp. 187–196, MR 0213361
  • Margulis, G. A. (1977), "Cobounded subgroups in algebraic groups over local fields", Akademija Nauk SSSR. Funkcional'nyi Analiz i ego Priloženija, 11 (2): 45–57, 95, ISSN 0374-1990, MR 0442107
  • Platonov, V. P. (1969), "The problem of strong approximation and the Kneser–Tits hypothesis for algebraic groups", Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya, 33: 1211–1219, ISSN 0373-2436, MR 0258839
  • Platonov, Vladimir; Rapinchuk, Andrei (1994), Algebraic groups and number theory. (Translated from the 1991 Russian original by Rachel Rowen.), Pure and Applied Mathematics, vol. 139, Boston, MA: Academic Press, Inc., ISBN 0-12-558180-7, MR 1278263
  • Prasad, Gopal (1977), "Strong approximation for semi-simple groups over function fields", Annals of Mathematics, Second Series, 105 (3): 553–572, doi:10.2307/1970924, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970924, MR 0444571