위키백과 목록 기사
이것은 가장 일반적으로 사용되는 좌표 변환의 목록이다.
2차원의 표준 데카르트 좌표 (x , y )가 되도록 하고 , 표준 극좌표 (r , θ )가 되도록 한다.
데카르트 좌표로 극좌표에서 x = r cas θ y = r 죄를 짓다 θ ∂ ( x , y ) ∂ ( r , θ ) = [ cas θ − r 죄를 짓다 θ 죄를 짓다 θ r cas θ ] 야코비안 = 퇴장시키다 ∂ ( x , y ) ∂ ( r , θ ) = r {\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cos \theta \\y&=r\sin \theta \\[5pt]{\frac {\partial (x,y)}{\partial (r,\theta )}}&={\begin{bmatrix}\cos \theta &-r\sin \theta \\\sin \theta &r\cos \theta \end{bmatrix}}\\[5pt]{\text{Jacobian}}=\det {\frac {\partial (x,y)}{\partial (r,\theta )}}&=r\end{aligned}}} 로그 극좌표에서 x = e ρ cas θ , y = e ρ 죄를 짓다 θ . {\displaystyle {\displaysty}x&=e^{\rho }cos \theta,\y&=e^{\rho \sin \theta .\ended}}}}} 복잡한 숫자(x y x i ′ {\ displaystyle (x,y)=x+iy'} .
x + i y = e ρ + i θ {\displaystyle x+iy=e^{\rho +i\theta}}} 즉, 복합 지수함수에 의해 주어진다.
양극 좌표에서 x = a 징징거리다 τ 코쉬 τ − cas σ y = a 죄를 짓다 σ 코쉬 τ − cas σ {\displaystyle {\tau}x&=a{\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau }\cosh \tau }\y&=a{\sin \sin \cosh \tau -\cosesma }}}} 2-중앙 양극 좌표로부터 x = 1 4 c ( r 1 2 − r 2 2 ) y = ± 1 4 c 16 c 2 r 1 2 − ( r 1 2 − r 2 2 + 4 c 2 ) 2 {\displaystyle {\regated}x&={\frac {1}{1}{4c}\좌측(r_{1}^{2}-r_{2}^{2}}\우측) \y&=\pm {\frac{1}{4c}{4c}{\sqrt{16c^{2}-(r_{1}^{1}^{2}-r_{2}^{2}+4c^{2}}^{2}}}}}}{2}}:}\end{aigned}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} 체사로 방정식으로부터 x = ∫ cas [ ∫ κ ( s ) d s ] d s y = ∫ 죄를 짓다 [ ∫ κ ( s ) d s ] d s {\displaystyle {\ds}x&=\int \cos \왼쪽[\int \kappa(s)\ds\right]ds\y&=\int \sin \int \kappa\,ds\right]ds\end}}}} 극좌표까지 데카르트 좌표에서 r = x 2 + y 2 θ ′ = 아크탄의 y x {\displaystyle {\displaysty}r&={\sqrt {x^{2}+y^{2} }}}\\\theta '&=\arctan \왼쪽 {\frac {y}{x}\오른쪽 \end{aigned}}}} 참고: {\ displaystyle \theta '} 0 θ π 2 textstyle <\theta <{\frac {}}}{pi 2}}). θ {\displaystyle \theta} ( θ {\displaystyle \theta} {\displaysty \ta .
QI의 {\ displaystyle \theta '} θ = θ ′ \displaystyle \theta =\theta '} in {\ displaystyle \theta ( II: θ = π − θ ′ \displaystyle \theta =\pi -\theta '} QIII에서 {\ displaystyle \theta '} θ = π + θ ′ \displaystyle \theta =\pi +\theta '} QIV에서 {\ displaystyle \theta '} θ = 2 π − θ ′ \displaystyle \theta =2\pi -\theta '} 왜냐하면 θ{\theta\displaystyle}의 모든 값에 대해, 선탠을 θ{\tan \theta\displaystyle}만− π 2<>;θ<>정의된다 θ{\theta\displaystyle}에 대한 값에 이런 식으로,+π 2{\textstyle-{\frac{\pi}{2}}<>\theta<>+{\frac{\pi}{2}}}, 및 기간 π(과 주기적은 해결되어야 한다. {\displayst yle \pi } 이것은 역함수가 함수의 영역에 값을 제공할 뿐, 단일 기간으로 제한된다는 것을 의미한다. 따라서 역함수의 범위는 전체 원의 반밖에 되지 않는다.
또한 사용할 수 있다는 점에 유의하십시오.
r = x 2 + y 2 θ ′ = 2 아크탄의 y x + r {\displaystyle {\displaysty}r&={\sqrt {x^{2}+y^{2} }}}\\\theta '&=2\arctan {\frac {y}{x+r}\ended}}} 2-중앙 양극 좌표로부터 r = r 1 2 + r 2 2 − 2 c 2 2 θ = 아크탄의 [ 8 c 2 ( r 1 2 + r 2 2 − 2 c 2 ) r 1 2 − r 2 2 − 1 ] {\displaystyle {\displaysty}r&={\sqrt {\r_{1}^{2}+r_{2} }^{2}-2c^{2}}\\\theta &=\arctan \left[{\sqrt{8c^{2}(r_{1}^{2}+r_{2] }^{2}-2c^{2}}}}{r_{1}^{2}-r_{2}^{2}}-1}-1}:{2}}-1}-{1}:{2}}:\오른쪽]\끝{정렬}}}}}} 여기서 2c는 극 사이의 거리다.
데카르트 좌표에서 극 좌표를 로그에 기록하려면 ρ = 통나무를 하다 x 2 + y 2 , θ = 아크탄의 y x . {\displaystyle {\displaysty}\rho &=\log {\sqrt {x^{2}+y^{2} }}},\\\theta &=\arctan {\frac {y}{x}}. \end{정렬}}} 호 길이 및 곡률 데카르트 좌표 κ = x ′ y ″ − y ′ x ″ ( x ′ 2 + y ′ 2 ) 3 2 s = ∫ a t x ′ 2 + y ′ 2 d t {\displaystyle {\begin{aligned}\kappa &={\frac {x'y''-y'x''}{({x'}^{2}+{y'}^{2})^{\frac {3}{2}}}}\\s&=\int _{a}^{t}{\sqrt {{x'}^{2}+{y'}^{2}}}\,dt\end{aligned}}} 극좌표에서 κ = r 2 + 2 r ′ 2 − r r ″ ( r 2 + r ′ 2 ) 3 2 s = ∫ a φ r 2 + r ′ 2 d φ {\displaystyle {\begin{aligned}\kappa &={\frac {r^{2}+2{r'}^{2}-rr''}{(r^{2}+{r'}^{2})^{\frac {3}{2}}}}\\s&=\int _{a}^{\varphi }{\sqrt {r^{2}+{r'}^{2}}}\,d\varphi \end{aligned}}} 입체적 (x, y, z)를 표준 데카르트 좌표와 (ρ, θ, φ) 구면 좌표 로 하고, θ은 +Z 축으로부터 측정된 각도([1], 구면 좌표 의 규약을 참조한다. φ의 범위는 360°이므로 ar의 아크탄젠트를 취할 때마다 극(2차원) 좌표와 동일한 고려사항이 적용된다. θ의 범위는 180°로 0°부터 180°까지 달리며, 아크코사인에서 계산할 때는 문제가 없지만 아크탄젠트는 주의한다.
대체 정의에서 θ 을 -90°에서 +90°까지 실행하도록 선택한 경우, 이전의 정의와는 반대 방향으로, 아크사인으로부터 독특하게 발견될 수 있지만, 아크코탕겐트를 주의하라. 이 경우 아래의 모든 공식에서 θ 의 모든 주장은 사인 및 코사인 교환이 있어야 하며, 파생상품으로서도 플러스 마이너스 교환이 있어야 한다.
0에 의한 모든 분할은 주요 축 중 하나를 따라 방향이 되는 특별한 경우를 초래하며 관찰로 가장 쉽게 해결된다.
데카르트 좌표로 구형 좌표로부터 x = ρ 죄를 짓다 θ cas φ y = ρ 죄를 짓다 θ 죄를 짓다 φ z = ρ cas θ ∂ ( x , y , z ) ∂ ( ρ , θ , φ ) = ( 죄를 짓다 θ cas φ ρ cas θ cas φ − ρ 죄를 짓다 θ 죄를 짓다 φ 죄를 짓다 θ 죄를 짓다 φ ρ cas θ 죄를 짓다 φ ρ 죄를 짓다 θ cas φ cas θ − ρ 죄를 짓다 θ 0 ) {\displaystyle{\begin{정렬}x&,=\rho \,\sin\theta \,\cos\varphi \\y&,=\rho \,\sin\theta\,\sin \varphi \\z&,=\rho \,\cos(\\{\frac{\partial(x,y,z)}{(\rho,\theta ,\varphi)\partial}}&={\begin{pmatrix}\sin\theta\cos \varphi&\rho \cos\theta\cos \varphi&-\rho \sin \theta \sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi.&\rho \cos \theta \sin \varphi &\rho \sin \cos \varphi \\\cos \varphi \\cos \theta &0\end{pmatrix}\ended}}}} 볼륨 요소의 경우:
d x d y d z = 퇴장시키다 ∂ ( x , y , z ) ∂ ( ρ , θ , φ ) d ρ d θ d φ = ρ 2 죄를 짓다 θ d ρ d θ d φ {\displaystyle dx\;dy\;dz=\frac {\fract (x,y,z)}{\no (\rho ,\theta ,\varphi )}}d\do \d\varphi =\do ^2}sin \ta \d\d\dvarpi} 원통형 좌표에서 x = r cas θ y = r 죄를 짓다 θ z = z ∂ ( x , y , z ) ∂ ( r , θ , z ) = ( cas θ − r 죄를 짓다 θ 0 죄를 짓다 θ r cas θ 0 0 0 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\,\cos \theta \\y&=r\,\sin \theta \\z&=z\,\\{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,z)}}&={\begin{pmatrix}\cos \theta &-r\sin \theta &0\\\sin \theta &r\cos \theta &0\\0&0&1\end{pmatrix}}\end{aligned}}} 볼륨 요소의 경우:
d V = d x d y d z = 퇴장시키다 ∂ ( x , y , z ) ∂ ( r , θ , z ) d r d θ d z = r d r d θ d z {\displaystyle dV=dx\;dy\;dz=\detime(x,y,z)}{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\d)}dr\;dz=r\;dr\ta \;dz} 구면 좌표로 데카르트 좌표에서 ρ = x 2 + y 2 + z 2 θ = 아크탄의 ( x 2 + y 2 z ) = 아르코스 ( z x 2 + y 2 + z 2 ) φ = 아크탄의 ( y x ) = 아르코스 ( x x 2 + y 2 ) = 아크신 ( y x 2 + y 2 ) ∂ ( ρ , θ , φ ) ∂ ( x , y , z ) = ( x ρ y ρ z ρ x z ρ 2 x 2 + y 2 y z ρ 2 x 2 + y 2 − x 2 + y 2 ρ 2 − y x 2 + y 2 x x 2 + y 2 0 ) {\displaystyle {\displaysty}\rho &={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2} }}}\\\theta &=\arctan \left({\frac {\sqrt{x^{2}+y^{2} }}}{z}\오른쪽)=\arccos \left\frac {z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2} }}}}\\\varphi &=\arctan \left\\frac {y}{x}\arccos \left\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2} }}}}}\arcsin \left\frac {y}{\sqrt{x^{2}+y^{2} }}}\\\\\frac {\\frac \\reft(\rho ,\theta ,\varphi \right)}{\reft(x,y,z\right)}{\reft(오른쪽) }}}={\cH00{pmatrix}{\frac {x}{\rho}{\rho}{\rho}{\rho}}{\xz}{\rho ^{n2}\xqrt{x^{x^{x^}+y^{2}}}{\frac {x}}}}}}}}}}}} }}}}{\frac {yz}{\rho^{2}{\sqrt{x^{2}+y^{2} }}}}&-{\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2} }}}{\rho^{2}}\\{\frac {-y}{x^{2}+y^{2} }}}&{\frac {x}{x^{2}+y^{2} }}}&0\\\end{pmatrix}\end{aigned}}} 일부 에지 케이스를 우아하게 처리하는 방법은 atan2 에 대한 기사도 참조하십시오.
원소의 경우:
d ρ d θ d φ = 퇴장시키다 ∂ ( ρ , θ , φ ) ∂ ( x , y , z ) d x d y d z = 1 x 2 + y 2 x 2 + y 2 + z 2 d x d y d z {\displaystyle d\rho \d\d\varphi =\det {\fract}\\\fract\\\\frachi )}{\frac(x,y,z)}}}}{\frac {1}{\sqrt{x^{2+y^{2}{2} }}}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2} }}}}dx\dy\dz} 원통형 좌표에서 ρ = r 2 + h 2 θ = 아크탄의 r h φ = φ ∂ ( ρ , θ , φ ) ∂ ( r , h , φ ) = ( r r 2 + h 2 h r 2 + h 2 0 h r 2 + h 2 − r r 2 + h 2 0 0 0 1 ) 퇴장시키다 ∂ ( ρ , θ , φ ) ∂ ( r , h , φ ) = 1 r 2 + h 2 {\displaystyle {\displaysty}\rho &={\sqrt {r^{2}+h^{2} }}}\\\theta &=\arctan {\frac {r}{h}}\\\varphi &=\varphi \\{\frac {\partial (\rho ,\theta ,\varphi )}{\partial (r,h,\varphi )}}&={\begin{pmatrix}{\frac {r}{\sqrt {r^{2}+h^{2 }}}}}{\frac {h}{\sqrt {r^{2}+h^{2} }}}}}}{{{\frac {h}{r^{2}+h^{2} }}}&{\frac {-r}{r^{2}+h^{2} }}}&0\\0&0&1\\end{pmatrix}\\\\det {\frac(\rho,\theta,\varphi )}}{\frac(r,h,\varphi )}}}}{\frac {1}{\r^{2+h^{2} }}}}\end{정렬}} 원통형 좌표로 데카르트 좌표에서 r = x 2 + y 2 θ = 아크탄의 ( y x ) z = z {\displaystyle {\displaysty}r&={\sqrt {x^{2}+y^{2} }}}\\\theta &=\arctan {\좌측\frac {y}{x}\우측)\\z&=z\jpa\jproged}}} ∂ ( r , θ , h ) ∂ ( x , y , z ) = ( x x 2 + y 2 y x 2 + y 2 0 − y x 2 + y 2 x x 2 + y 2 0 0 0 1 ) {\displaystyle {\frac {\fract {\deta ,h)}{\pmatrix(x,y,z)}}}}={\frac {x}{\sqrt{x^{2}+y^{2} }}}}{\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2} }}}}&0\{\frac {-y}{x^{2}+y^{2} }}}&{\frac {x}{x^{2}+y^{2} }}}&0\\0&0&1\end{pmatrix}} 구형 좌표로부터 r = ρ 죄를 짓다 φ h = ρ cas φ θ = θ ∂ ( r , h , θ ) ∂ ( ρ , φ , θ ) = ( 죄를 짓다 φ ρ cas φ 0 cas φ − ρ 죄를 짓다 φ 0 0 0 1 ) 퇴장시키다 ∂ ( r , h , θ ) ∂ ( ρ , φ , θ ) = − ρ {\displaystyle{\begin{정렬}r&, =\rho\sin \varphi \\h&, =\rho\cos\varphi \\\theta&=\theta \\{\frac{\partial(r,h,\theta)}{(\rho ,\varphi ,\theta)\partial}}&={\begin{pmatrix}\sin \varphi&\rho\cos \varphi&0\\\cos \varphi&-\rho\sin \varphi&0\\0&, 0&, 1\\\end{pmatrix}}\\\det{\frac{\partial(r,h,\theta. )}{(\rho ,\varphi ,\theta)\partial}}&=. -\rho \end{aigned}} 데카르트 좌표로부터의 호 길이, 곡률 및 비틀림 s = ∫ 0 t x ′ 2 + y ′ 2 + z ′ 2 d t κ = ( z ″ y ′ − y ″ z ′ ) 2 + ( x ″ z ′ − z ″ x ′ ) 2 + ( y ″ x ′ − x ″ y ′ ) 2 ( x ′ 2 + y ′ 2 + z ′ 2 ) 3 2 τ = x ‴ ( y ′ z ″ − y ″ z ′ ) + y ‴ ( x ″ z ′ − x ′ z ″ ) + z ‴ ( x ′ y ″ − x ″ y ′ ) ( x ′ y ″ − x ″ y ′ ) 2 + ( x ″ z ′ − x ′ z ″ ) 2 + ( y ′ z ″ − y ″ z ′ ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}s&=\int _{0}^{t}{\sqrt {{x'}^{2}+{y'}^{2}+{z'}^{2}}}\,dt\\[3pt]\kappa &={\frac {\sqrt {(z''y'-y''z')^{2}+(x''z'-z''x')^{2}+(y''x'-x''y')^{2}}}{({x'}^{2}+{y'}^{2}+{z'}^{2})^{\frac {3}{2}}}}\\[3pt]\tau &={\frac {x'''(y'z''-y''z')+y'''(x''z'-x'z'')+z'''(x'y''-x''y')}{{(x'y''-x''y') }^{2}+{(x'z'-x'z')}^{2}+{{('y'z'-y'z')^{2}}:\end{aigned}}}}}}}} 참고 항목 참조
![{\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cos \theta \\y&=r\sin \theta \\[5pt]{\frac {\partial (x,y)}{\partial (r,\theta )}}&={\begin{bmatrix}\cos \theta &-r\sin \theta \\\sin \theta &r\cos \theta \end{bmatrix}}\\[5pt]{\text{Jacobian}}=\det {\frac {\partial (x,y)}{\partial (r,\theta )}}&=r\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e812d8ce26cec97482d277c012e638ee182d298)
![{\displaystyle {\begin{aligned}x&=\int \cos \left[\int \kappa (s)\,ds\right]ds\\y&=\int \sin \left[\int \kappa (s)\,ds\right]ds\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cf415cca15fe7faf409efdfa8323225993978f8)
![{\displaystyle {\begin{aligned}r&={\sqrt {\frac {r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2c^{2}}{2}}}\\\theta &=\arctan \left[{\sqrt {{\frac {8c^{2}(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2c^{2})}{r_{1}^{2}-r_{2}^{2}}}-1}}\right]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40fd7b0ef6f1fea0e4467981685d16feb513186d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}s&=\int _{0}^{t}{\sqrt {{x'}^{2}+{y'}^{2}+{z'}^{2}}}\,dt\\[3pt]\kappa &={\frac {\sqrt {(z''y'-y''z')^{2}+(x''z'-z''x')^{2}+(y''x'-x''y')^{2}}}{({x'}^{2}+{y'}^{2}+{z'}^{2})^{\frac {3}{2}}}}\\[3pt]\tau &={\frac {x'''(y'z''-y''z')+y'''(x''z'-x'z'')+z'''(x'y''-x''y')}{{(x'y''-x''y')}^{2}+{(x''z'-x'z'')}^{2}+{(y'z''-y''z')}^{2}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/439b196b830ab79231f87b27a17af5ed4cf5f4e4)
![([1],](https://commons.wikimedia.org/wiki/File:3D_Spherical.svg){kind=link}