이중 푸리에스페어법

수학에서 이중 푸리에 구(DFS) 방법은 경도와 위도 방향 모두에서 주기성을 보존하면서 구의 표면에 정의된 함수를 직사각형 영역에 정의된 함수로 변환하는 간단한 기법이다.

소개

첫째, 구체의$$ $함수{\displaystyle }$ f${\displaystyle (x}$ ,${\displaystyle y}$ ,${\displaystyle z}$ ) ${\displaystyle$f($x,y,z)}$은 구면 좌표를 사용하여$$ $f{\displaystyle (}$ ${\displaystyle \lambda ,}$ ${\displaystyle \theta }$) ${\displaystyle$ f$(\lambda ,\teta )$로 표기한다.

$\displaystyle f(\da ,\theta )=f(\cos \cos \sin \sin \sin \sin \sin \theta ,\cos \theta ))\in[-\pi ,\pi ].}$

함수 $f{\displaystyle }$ (${\displaystyle \lambda }$ , ${\displaystyle )}$ )$${\$displaystyle$ f$(\lambda ,\theta )}$은 $\lambda$에서 $2{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle 2\pi }$ - periodic이지만$,$ $\theta {\displaystyle }$ ${\displaysty \ta$$}.$ 위도 방향의 주기성은 상실되었다$.$ 이를 복구하기 위해, 기능은 「더블업」이며, [ - $-$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \times }$[${\displaystyle }$- ${\displaystyle \pi }$, ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle ]}$ {\$displaystyle [-\pi ,\pi ]\times [-\pi ,\pi ]}$에 관련 함수는 다음과 같이 정의된다$$.

${\displaystyle{\tilde{f}}(\lambda ,\theta)=ᆹg(\lambda +\pi ,\theta),&,(\lambda ,\theta)\in[-\pi ,0]\times,(\lambda ,\theta)\in[0,\pi]\times[0,\pi],\\g(\lambda ,-\theta),&,(\lambda ,\theta)\in[0,\pi]\times[-\pi ,0],\\h(\lambda +\pi ,-\theta),&[0,\pi],\\h(\lambda ,\theta),&,(\lambda ,\theta)\in[-\pi ,0]\.번[-\pi ,0],\\end{case}}$

where ${\displaystyle g(\lambda ,\theta )=f(\lambda -\pi ,\theta )}$ and ${\displaystyle h(\lambda ,\theta )=f(\lambda ,\theta )}$ for ${\displaystyle (\lambda ,\theta )\in [0,\pi ]\times [0,\pi ]}$. The new function ${\displaystyle {\tilde {f}}}$ is ${\displaystyle 2\pi }$-periodic in ${\displaystyle \lambda }$ and ${\displaystyle \theta }$, and is constant along the lines ${\displaystyle \theta =0}$ and ${\displaystyle \theta =\pm \pi }$, corresponding to the poles.

$f{\displaystyle \stackrel{}{}}$~ ${\$ 기능을 더블 푸리에 시리즈로 확장할 수 있음$$

${\displaystyle {\tilde{f}}\cHB \sum _{j=-n}^{n}^{n}a_{jk}e^{ij\eta }e^{ik\da }}}}}}}}}에 대한 \sum _{j=-n}}}}$

역사

DFS 방법은 메릴레스가^[1] 제안했고 스티븐 오르작에 의해 더 발전했다.^[2] DFS 방법은 구형 고조파 팽창의 우세 때문인지, ^[3]그 이후 비교적 적은 수의 조사 대상이었다( 주목할 만한 예외는 Fornberg의 저작이다). 지난 15년 동안 그것은 블랙홀^[4] 근처의 중력장 계산과 새로운 시공간 스펙트럼 분석에 사용되기 시작했다.^[5]

참조