완전 환원성에 대한 바일의 정리

대수학에서 Weyl의 완전 환원성에 대한 정리는 Lie 대수표현 이론(특히 semisimple Lie Algebras의 표현 이론에서)의 근본적인 결과물이다.$특성{\displaystyle \mathfrak{}}$ 0의$필드$에 g {\displaystyle {\$mathfrak{g}$을(를) 반실행 Lie 대수학으로 한다$$.정리에서는 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$을(를) 초과하는 모든 유한차원 모듈을 모듈로서(즉, 단순 모듈의 직접적인 합계) 구현한다고 기술하고 있다.^[1]

포괄대수는 반실행이다.

웨일의 정리는 (사실상) 유한차원 표현에 대한 포락 대수학이 다음과 같은 방법으로 반실행 고리라는 것을 암시한다.

Given a finite-dimensional Lie algebra representation ${\displaystyle \pi :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)}$, let ${\displaystyle A\subset \operatorname {End} (V)}$ be the associative subalgebra of the endomorphism algebra of V generated by ${\displaystyle \pi ({\mathfrak$$\{$$g}}.$링 A는 $\pi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi$}의 포락 대수라고 불린다$.$ $만약{\displaystyle }$ {$${\$displaystyle \pi }$이(가) semisimple이라면, A는 semisimply이다.(^[2]증거:A는 유한차원 대수학이기 때문에 아르티니안 고리인데, 특히 제이콥슨 급진 J는 영점이다.V가 단순하다면, $J{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \subset }$ V ${\displaystyle JV\subset V}$은(는) ${\displaystyle \mathrm{JV}}$= 0 ${\displaystyle JV=0}$을(를) 암시한다$.$ 일반적으로 J는 V의 각 단순 하위 모듈을 죽인다. 특히 J는 V를 죽이기 때문에 J는 0이다.)반대로 A가 반이행형인 경우 V는 반이행형 A-모듈이다. $즉{\displaystyle \mathfrak{}}$,$$g {\$displaystyle${\$mathfrak${g$$$}$ -모듈로 반이행형이다. (참고: 반이행형 링 위의 모듈은 자유형 모듈의 몫이며, "반이행형"은 자유형 및 몫의 구성 하에서 보존되기 때문에 반이행형이다.)

용도: 요르단 분해 보존

여기 대표적인 응용 프로그램이 있다.^[3]

Proof: First we prove the special case of (i) and (ii) when ${\displaystyle \pi }$ is the inclusion; i.e., ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ is a subalgebra of ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}={\mathfrak {gl}}(V)}$. Let ${\displaystyle x=S+N}$ be the Jordan decomposition ofthe endomorphism ${\displaystyle x}$, where ${\displaystyle S,N}$ are semisimple and nilpotent endomorphisms in ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}}$. Now, ${\displaystyle \operatorname {ad} _{{\mathfrak {gl}}_{n}}(x)}$ also has the Jordan decomposition, which can be shown(see Jordan–Chevalley decomposition#Lie algebras) to respect the above Jordan decomposition; i.e., ${\displaystyle \operatorname {ad} _{{\mathfrak {gl}}_{n}}(S),\operatorname {ad} _{{\mathfrak {gl}}_{n}}(N)}$ are the semisimple and nilpotent parts of ${\displaystyle {\mathrm{ad}}_{{\mathfrak{g}\mathfrak{l}}_n}(x)}$${\displaystyle \operatorname {ad} _{{\mathfrak {gl}}_{n}}(x)}$. Since ${\displaystyle \operatorname {ad} _{{\mathfrak {gl}}_{n}}(S),\operatorname {ad} _{{\mathfrak {gl}}_{n}}(N)}$ are polynomials in ${\displaystyle \operatorname {ad} _{{\mathfrak$${gl}}_{n}}(x)}$ then, we see ${\displaystyle \operatorname {ad} _{{\mathfrak {gl}}_{n}}(S),\operatorname {ad} _{{\mathfrak {gl}}_{n}}(N):{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$.Thus, they are derivations of ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Since ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ is semisimple, we can find elements ${\displaystyle s,n}$ in ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ such that ${\displaystyle [y,S]=[y,s],y\in {\mathfrak {g}}}$그리고 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$에 대해서도 유사하게$.$ 자, 이제 $A$를 g$${\$displaystyle${\$mathfak{g$ 즉, $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$ {$g}$에 의해 생성된 V의 내형성 대수의 하위 대수$.$ 위에서 언급한 대로 A는 0 Jacobson 급진성을 가지고 있다.$[$ ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle N}$- ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle ]}$= 0 ${\displaystyle [y,N-n]=0}$이므로 $N{\displaystyle }$- ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle N-n}$이(가) A의 중심에서 영점 원소임을$$ 알 수 있다.그러나, 일반적으로 중심핵전분은 제이콥슨 급진파에 $속하므로{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle N}$ = n$${\$displaystyle N=$n$$},${\displaystyle }S{\displaystyle }$ = ${\displaystyle s}${\$displaystyle S=s$ 이것은 특수한 경우를 증명한다.

일반적으로 $\pi {\displaystyle }$ (${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \pi (x)}$은(는)${\displaystyle \mathrm{ad}}$ ( x ${\displaystyle \operatorname {ad} (x)}$이(가) semisimp. nilpotent일 때(resp. nilpotent)이다$$.^{[clarification needed]}이것은 즉시 (i)와 (ii)를 준다.${\displaystyle \square }$

교정쇄

분석증거

Weyl의 원래 증거는 (복잡한 반시 구현 Lie Algebras에 대한) 본질적으로 분석적인 것이었다: 그것은 단위의 속임수를 사용한 것으로 유명하다.특히, 그는 단순히 연결되어 컴팩트한 '리 그룹 K{K\displaystyle}.[5]({\displaystyle{\mathfrak{g}}=\mathrm{sl}(n;\mathbb{C})}, 그때의 리 대수의 모든 복잡한 semisimple 대수 g{\displaystyle{\mathfrak{g}}}은 complexification을 보여 줄 수 있다.${\displaystyle K=\mathrm {SU} (n)}$.) Given a representation ${\displaystyle \pi }$ of ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ on a vector space ${\displaystyle V,}$ one can first restrict ${\displaystyle \pi }$ to the Lie algebra ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$ of ${\display$$K} 스타일$ $그러면{\displaystyle }$ K ${\displaystyle K}$이(^[6]가) 간단히 연결되기 $때문$에 K ${\displaystyle K$}의$$ $\pi {\displaystyle \mathrm{}}${\$displaystyle \Pi }$과(와) 연관된 표현들이 있는데,$$$K{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ K$}$에 대한 통합은 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ V$}$에 내부 제품을 생산하는데$$, $\Pi$ \pi $}$이(으(으) ${\$pi}이(으) {\}이(으)로$$ 구성된다.^[7]$then{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Pi}$의 완전 축소 가능성은 즉시이며$$, 기본 $인수$는 g$${\$displaystyle$$$\pi$}$의 원래 표현 $\pi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi$}도 완전히 축소할 수 있음을$$ 보여준다.

대수적 증명 1

Let (${\displaystyle \pi }$, V${\displaystyle }$) ${\displaystyle (\pi ,V)}$은 특성 0의 영역에 걸쳐$$ Lie $대수{\displaystyle \mathfrak{}}$ g ${\${\$mathfrak{g}}}$의 유한 치수 표현이다.The theorem is an easy consequence of Whitehead's lemma, which says ${\displaystyle V\to \operatorname {Der} ({\mathfrak {g}},V),v\mapsto \cdot v}$ is surjective, where a linear map ${\displaystyle f:{\mathfrak {g}}\to V}$ is a derivation if ${\displaystyle f([x,y])=x\cdot f(y)-y\cdot f(x)}$$[\displaystyle f([x,y])$$=x\cdot f(y)-y($y)\$cdot$ f$(x$그 증거는 본질적으로 화이트헤드 때문이다.^[8]

$W{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W\subset V}$을(를) 하위 표현으로$$ 두십시오.${\displaystyle \mathrm{모든}}$ 선형 맵 $t{\displaystyle }$: ${\displaystyle V}$→ ${\displaystyle V}$ ${\$$displaystyle L_{W}\subset \operatorname {End}(V)$로 구성된$$ 벡터 하위 공간 L ${\displaystyle W_{}{}_{}}$ ⊂ ${\displaystyle }$⁡ ⁡ ⁡ (V → V {\$displaysty t:$$V\to V}$ such that ${\displaystyle t(V)\subset W}$ and ${\displaystyle t(W)=0}$. It has a structure of a ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-module given by: for ${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}},t\in L_{W}}$,

${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle t}$=${\displaystyle }$[ ${\displaystyle \pi }$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle$ x$\cdot$ t$=[\pi (x),t$

이제 투영 $p{\displaystyle }$:${\displaystyle V}$→ V ${\displaystyle p:$$V\to V}$ onto W and consider ${\displaystyle f:{\mathfrak {g}}\to L_{W}}$ given by ${\displaystyle f(x)=[p,\pi (x)]}$. Since ${\displaystyle f}$ is a derivation, by Whitehead's lemma, we can write ${\displaystyle f(x)=x\cdot t}$ for some ${\dis$$Playstyle t\in L_{W$ 그 ${\displaystyle \mathrm{다음}}{\displaystyle }$[${\displaystyle }$( (${\displaystyle x}$) ,${\displaystyle p}$ + ${\displaystyle t]}$ = ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle xg\mathfrak{}}$ g$${\$displaystyle$[\$pi (x),p+$${\displaystyle t}$$]=0,x\in${\$mathfrak$ ${g$ 즉 $p{\displaystyle }$ +${\displaystyle }$t$${\$displaystystystyle$ $p+t}$은 g ${\{g}-}-$이다.Also, as t kills ${\displaystyle W}$, ${\displaystyle p+t}$ is an idempotent such that ${\displaystyle (p+t)(V)=W}$. The kernel of ${\displaystyle p+t}$ is then a complementary representation to ${\displaystyle W}$. ${\displaystyle \square }$

Weibel의 호몰로지 대수책도 참조하라.

대수적 증명 2

화이트헤드의 보조정리법은 일반적으로 범용봉합대수의 2차적 카시미르 요소를 통해 증명되며,^[9] 화이트헤드의 보조정리 대신 카시미르 요소를 직접 사용하는 정리증거도 있다.

2차적 카시미르 $요소{\displaystyle }$ C ${\displaystyle C}$이(가) 범용 봉합 대수의 중심에 있으므로$$, 슈르의 보조마에서 $C{\displaystyle }$ ${\$은$($는) g ${\$의 불가역적 표현에서 복수의$$ ${\displaystyle {c\lambda }_{}}$ 역할을$$ 한다고 알려준다.$igit{\displaystyle }$ ${{\displaystyle \lambda$ $c{\displaystyle {}_{}}$ ${\$표현이 비독점적일 때마다 nonzero임을 설정하는 것이 핵심이다.이것은 일반적인 주장이나 $c{\displaystyle {}_{}}$ ${\$에 대한 명시적 공식으로 할 수 있다$.$

완전 환원성에 대한 정리의 매우 특별한 경우를 고려하십시오. 표현 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$이(가) 코드션 1의$$ 비독점적, 불가변적 하위 공간 $W{\displaystyle }$ ${\displaystyle W}$을(를) 포함하는$$ 경우.Let ${\displaystyle C_{V}}$ denote the action of ${\displaystyle C}$ on ${\displaystyle V}$. Since ${\displaystyle V}$ is not irreducible, ${\displaystyle C_{V}}$ is not necessarily a multiple of the identity, but it is a self-intertwining operator for ${\displaystyle V}$. Then the restri$C{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle V_{}}$ ${\$에서 $W{\displaystyle }$ ${\displaystyle W}$까지의 ction은$$ ID의 0이 아닌 배수다.그러나 $V{\displaystyle /W}$ ${\displaystyle V/W}$은(는) $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$의 1차원적 표현이므로 해당 지수에$$ 대한 $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$의 작용은 사소한 것이다$.$그런 다음 ${\displaystyle C_{}}$ V ${\$가 0이 아닌 커널을$$ 가져야 한다는 것을 쉽게 따르며, ${\displaystyle C_{}}$ V$${\$displaystyle C_{V}$는 자가 상호 작용하기 때문에 커널은 불변 하위 공간이다.그러면 커널은 $W{\displaystyle }$ ${\displaystyle W}$과의 교차점이 0인$$ 1차원 불변 하위 공간이 된다.따라서 $k{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{e}}$ r ${\displaystyle ({}_{}}$ ${\displaystyle C_{}}$) ${\displaystyle \mathrm {ker}(V_{C})$은 $W{\displaystyle }$ ${\displaystyle W$에 대한 불변 보완물이므로$$ $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$이(가) 다음과 같은 수정 불가능한 하위 영역의 직접적인 합으로 분해된다.

${\displaystyle V}$= ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \oplus k\mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{e}}$ ${\displaystyle \mathrm{r}}$( ${\displaystyle C_{}}$ V${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle V=W\oplus \mathrm {ker}(C_{V})}$.

비록 이것이 원하는 결과의 매우 특별한 사례만을 설정하지만, 이 단계는 사실 일반적인 논쟁에서 중요한 것이다.

대수적 증명 3

이 정리는 베르마 모듈 이론에서 추론할 수 있는데, 이 이론은 단순 모듈을 최대 하위 모듈에 의해 베르마 모듈의 몫으로 특징짓는 것이다.^[11]이 접근방식은 (대수 및 표현에 관한) 유한-치수성 가정을 약화시키는 데 사용될 수 있다는 장점이 있다.

$V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$을(를) 특성 0의 대수적으로 닫힌 필드에 대해$$ 유한 차원 반 구현 Lie 대수 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$을(를) 유한 차원 표현으로 한다$$.$Let{\displaystyle \mathfrak{}}$ b${\displaystyle }$= ${\displaystyle h\mathfrak{}}$ ${\displaystyle \oplus n\mathfrak{}{}_{}}$+ ${\displaystyle {}_{}}$ g ${\$mathfrak${h}}\mathfrak{n}_{+}\subset{\mathfrak{g}}}}}}$가 카르탄 하위 골격과 양의 뿌리 선택에 의해 결정되는$$ 보렐 하위 골격이다.Let ${\displaystyle V^{0}=\{v\in V {\mathfrak {n}}_{+}(v)=0\}}$. Then ${\displaystyle V^{0}}$ is an ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$-module and thus has the ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$-weight space decomposition:

${\displaystyle V^{0}=\bigoplus _{\lambda \in L}V_{\lambda }^{0}}}}}}}}}$

where ${\displaystyle L\subset {\mathfrak {h}}^{*}}$. For each ${\displaystyle \lambda \in L}$, pick ${\displaystyle 0\neq v_{\lambda }\in V_{\lambda }}$ and ${\displaystyle V^{\lambda }\subset V}$ the ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-submodule generated by${\displaystyle v_{}}$ ${\$ $v_$${\lambda }$ 및 $V{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\displaystyle \subset }$ {$$V {\$displaystyle$ V$'\subset$ $V$$}$${\displaystyle {V\mathrm{}}^{}}$0 {\$displaystyle$V^{$0}$에 $의해{\displaystyle \mathfrak{}}$ 생성된$$g {\$displaystystyle {\\\\mathfak{g$$\}.$당사는 다음과 같이 주장한다.${\displaystyle V=V'}$. Suppose ${\displaystyle V\neq V'}$. By Lie's theorem, there exists a ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$-weight vector in ${\displaystyle V/V'}$; thus, we can find an ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$-weight vector ${\displaystyle v}$ such that${\displaystyle }$Chevalley 발생기 중 일부$$ ${\displaystyle {ei}_{}}$ ${\$$v$)\$in V'}$에 대해$$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$(${\displaystyle v}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}^{}}$ $′.$이제, ei(v){\displaystyle e_{나는}(v)}몸무게 나는{\displaystyle\mu +\alpha_{나는}+α}μ. 나는{L\displaystyle}부분적으로 명령을 받는다 ∈ L{\displaystyle \lambda \in L}가λ ≥ μ+나는{\displaystyle \lambda_{나는\mu +\alpha \geq}α}, 즉,λ>μ{\displaystyle \lamb aλ하고 있다.da$>\mu$ 그러나 이것은 $\mu {\displaystyle }$,$$, μ, \$displaystyle$ \$lambda$,\$mu }$ 둘 다 원시적인 무게(원시적인 무게는 비교할 수 없는 것으로 알려져 있다.)이기$$ 때문에 모순이다.^{[clarification needed]}마찬가지로 각 $V{\displaystyle {}^{}}$ ${\$은(는) $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\displaystyle$ {\$mathfrak {g}$ -module처럼$$ 간단하다$$.실제로 간단하지 않다면, 일부 < > ${\displaystyle \mu <\lambda$ 에 대해 $V{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ 0 ${\$은(는) 최고중량 벡터가 아닌 일부 비제로 벡터를 포함하고$$ 있다. 다시 한 번 모순이다.^{[clarification needed]}${\displaystyle \square }$

외부 링크

• Akhil Mathew의 블로그 게시물

참조

• Hall, Brian C. (2015). Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 222 (2nd ed.). Springer. ISBN 978-3319134666.
• Humphreys, James E. (1973). Introduction to Lie Algebras and Representation Theory. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 9 (Second printing, revised ed.). New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90053-5.
• 제이콥슨, 네이쓴, 리 알헤브라스, 1962년 오리지널의 공화국도버 퍼블리셔스, 1979년 뉴욕.ISBN 0-486-63832-4
• Kac, Victor (1990). Infinite dimensional Lie algebras (3rd ed.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-46693-8.
• Knapp, Anthony W. (2002), Lie Groups Beyond an Introduction, Progress in Mathematics, vol. 140 (2nd ed.), Boston: Birkhäuser, ISBN 0-8176-4259-5
• Weibel, Charles A. (1995). An Introduction to Homological Algebra. Cambridge University Press.