베르마 모듈

다야-난드 베르마의 이름을 딴 베르마 모듈은 수학의 한 분야인 리 알헤브라의 표현 이론에 나오는 물체다.

Verma 모듈은 복잡한 반실행 Lie 대수학의 수정 불가능한 표현들의 분류에 사용될 수 있다.구체적으로 Verma 모듈 자체는 무한 치수지만, 그 중 quot는 최대 $중량{\displaystyle }$ ${[\displaystyle \lambda }$을(를) 갖는 유한 치수 표현을 구성하는데 사용될 수 있다$.$ 여기서 $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$은(으)^[1]가$$ 지배적이고 일체적이다.그들의 동형성은 깃발 다지관 위에 있는 불변 미분 연산자에 해당한다.

비공식구축

우리는 베르마 모듈의 아이디어를 다음과 같이 설명할 수 있다.^[2]$g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$을(를) 세미 구현 Lie 대수(간단함을 위해 $C{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ 이상$)$로 한다.$h{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$을(를) $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$의 고정 카르탄 하위 골격으로 하고$$$$ $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$을(를) 관련 루트 시스템으로 한다$$.$R{\displaystyle {}^{}}$+ ${\$를 양근의 고정 집합으로$$ 한다.For each ${\displaystyle \alpha \in R^{+}}$, choose a nonzero element ${\displaystyle X_{\alpha }}$ for the corresponding root space ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\alpha }}$ and a nonzero element ${\displaystyle Y_{\alpha }}$ in the root space ${\displaystyle {\m$$atsfrak{g}_{-\alpha$ $\}\}.$ $우리$는 X ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\$ $\}\}$s를 "상승 연산자"로, $Y{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\$ $\}\}$s를 "하강 연산자"로 생각한다.

이제 $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${{\$이(가) 반드시 우세하거나 적분할 필요는 없는 임의의 선형 함수일 수 있도록$$ 하자.당사의 목표는 중량$\lambda$의 단일 비제로 벡터 v {\$displaystyle$ \lambda $}$에 의해 생성된 최대$$ 중량$$$weight{\displaystyle }$ ${\displaystyle$$$$\lambda$$}$의 $대표$ W ${\displaystyle {\lambda }_{}}$ ${\$$displaystyle \lambda$ $}}}}}}$을(를$)$ 구성하는 것이다$.$ Verma 모듈은 특정이다.ch 최고 중량 모듈, 즉 최고 중량 $with{\displaystyle }$[\$displaystyle \lambda }$을(를$)$ 가진 다른 최고 중량 모듈이 Verma 모듈의 지수라는$$ 점에서 최대치인 모듈.Verma 모듈은 항상 무한한 치수라는 것이 밝혀질 것이다. 그러나 만일 $if{\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$이(가) 지배적인 일체형이라면$$, Verma 모듈의 유한 차원 몫의 모듈을 구성할 수 있다.따라서 베르마 모듈은 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$의 유한차원 표현 분류에 중요한 역할을 한다$.$ 구체적으로는 모든 지배적 적분 원소가 실제로 피니트의 가장 높은 무게로 발생함을 보여주는 가장 높은 무게의 정리의 하드 부분에서 중요한 도구다.$g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$의 전자 차원 불가 표현$.$

이제 우리는 최고 $중량$의 베르마$$모듈({\$displaystyle$ \$lambda }})$이 어떤 모습이어야$$ 하는지를 직관적으로 이해하려고 한다.$v{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}$은(는) 중량 $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$을(를) 갖는 가장 높은 중량 벡터가 될 것이므로$$, 우리는 확실히 원한다$.$

${\displaystyle H\cdot v=\lambda(H)v,\quad H\in {\mathfrak {h}}$

그리고

${\displaystyle {}_{}\mathrm{X}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ v = ${\displaystyle 0}$,${\displaystyle \alpha }$ α ${\displaystyle {}^{}}$+${\$

그런 다음 $W{\displaystyle {}_{}}$ ${\$은(는) $Y{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\$ $\}\}$의 작용으로$$ $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}$을(를) 낮춤으로써 얻은 원소에 스팬을 적용해야 한다$$.

${\displaystyle Y_{}}$ ${\displaystyle {\alpha {}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{i{}_{}}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{{1\mathrm{}}_{}}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{{}_{}}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {{\alpha {}_{}}_{}}_{}}$ i ${\displaystyle {{M_{}}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{{}_{}}_{}}_{}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle Y_{\$n1$}\alpha _{1$}}\$cdots Y_{i_{M}}\cdot$ v$}$.

이제 $우리$는 Y ${\displaystyle Y$s 사이의 정류 관계에 의해 요구되는 위의 형태의 벡터들 사이에 그러한 관계만을 부과한다.특히 베르마 모듈은 항상 무한 차원이다.가장 높은 $중량{\displaystyle }$ ≤ ${\displaystyle \lambda$}을(를) 가진 Verma 모듈의 가중치는 μ {\$displaystyle \lambda }$에서 얻을$$ 수 있는 모든$$ 원소 $\mu {\displaystyle }$ ${\$$displaystyle \mu }$로 구성된다$$.그림은 s $l{\displaystyle \mathrm{}}$ ( ${\displaystyle \mathrm{3}}$;${\displaystyle C\mathbb{}}$ )${\displaystyle \mathrm {sl}(3;\mathb$ {$C})}에$대한 Verma 모듈의 가중치를 보여준다$.$

간단한 리오더링 논거는 $완전$한 리 대수 g ${\$가 이 공간에 작용할 수 있는 방법은 단 하나라는$$ 것을 보여준다.구체적으로 $Z{\displaystyle }$ ${\displaystyle Z}$이(가) $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$의 어떤 요소라면$,$ 푸앵카레-비르호프-위트 정리의 쉬운 부분에 의해 우리는 다시 쓸 수 있다.

${\displaystyle ZY_{\alpha _{1}}\cdots Y_{\alpha _{{M}}}}}$

상승 연산자 $X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\$과 상승 연산자 X α {\displaystyle X_{\$alpha$ }}이(가) 먼저$$ 작용하고 하강 $연산자{\displaystyle {}_{}}$ Y ${\displaystyle {\alpha }_{}}${\$displaystyle$ $Y_$${\\lpha$$\}\}\}\}\}$의 선형 결합으로. 상승 연산자와 이 합계를 $적용한다.$또는 0이다. 카르탄의 어떤 요소도 스칼라 역할을 한다. 따라서 우리는 원형의 요소로 귀결된다.

To understand the structure of the Verma module a bit better, we may choose an ordering of the positive roots as ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots \alpha _{n}}$ and we let the corresponding lowering operators by ${\displaystyle Y_{1},\ldots Y_{n}}$. Then by a simple re-ordering argument, every el위의 양식의 ement는 특정 순서로 $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$과$($와) 원소의 선형 결합으로 다시 작성할 수 있다.

${\displaystyle Y_{}^{}}$ ${\displaystyle {{1k\mathrm{}}_{}}_{}^{}}$ 1 ${\displaystyle {{}_{}}_{}^{}}$ Y ${\displaystyle n_{}^{}}$ ${\displaystyle {n_{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle Y_{1}^{k_{1$}^{1$}}\cdots Y_{n}^{k_{n}v$

${\displaystyle {여기}_{}}$서 k ${\$은$($는) 음이 아닌 정수다.실제로 그러한 벡터가 베르마 모듈의 기초를 이루고 있는 것으로 밝혀졌다.

Verma 모듈에 대한 이러한 설명은 $W{\displaystyle {}_{}}$ ${\$의 모양을 직관적으로 알 수 있게 해주지만, 여전히 그것을 엄격하게 구성하기 위해 남아 있다.어떤 경우든, Verma 모듈은 (필수적으로 지배적이거나 일체적이지는 않은$)$ $any{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $\lambda$ $}$에 대해 최고 중량 $\lambda {\displaystyle }$${\$의 표현을 제공한다. 비교적 단순한 $구조$에 대해 우리가 지불하는 가격은 항상 무한 치수라는$$ 것이다$.$$\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$이(가) 지배적이고 일체적인 경우, Verma 모듈의 한정된 차원, 불가해한 지수를 구성할 수 있다.^[3]

sl(2; C)의 경우

$X{\displaystyle }$, ${\displaystyle Y}$, ${\displaystyle H}$ ${\$을(를) ${\displaystyle \mathrm{s}}$ l ${\displaystyle (2}$ ${\displaystyle ;C\mathbb{}}$ ) ${\displaystyle \mathrmatrm {sl}(2;\mathb {C})$에 대한 일반적인 기준이 되도록$$ 두십시오$.$

${\displaystyle X={\begin{pmatrix}0&1\0&0\end{pmatrix}}\qquad Y={\begin{pmatrix}0\1&0\end{pmatrix}\nd{pmatrix},}},}$

Cartan subalgebra가 $H{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $H$$}$의 범위인 경우$,$ 임의의 복합 $번호{\displaystyle }$ m ${\$displaystyle${\displaystyle }$$\lambda$($H$$)=$$m}$로 $\lambda$$$${\displaystyle \{\backslash }$$displaystyle$ $\lambda(H)=$m}로 정의하도록$$ 한다$.$그 후 최고 중량 $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$을(를) 갖는 Verma 모듈은 선형 독립 벡터 $v{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{v\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ,${\displaystyle }$… ${\displaystyle v_{0},v_{1},v_{2},\dots }$에 의해 확장되며$$ 기본$$ 요소의 작용은 다음과 같다.^[4]

${\displaystyle Y\cdot v_{j}=v_{j+1};\quad X\cdot v_{j}=j(m-(j-1))v_{j-1};\quad H\cdot v_{j}=(m-2j)v_{j}}$.

(특히 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle {v\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$= m ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$ $X{\displaystyle {}_{}}$ v ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle$ X$\cdot v_{0}=0$}=0$}$을(으)를$$ 의미한다.)$$$이러한{\displaystyle }$ 공식은 기본 원소가 $s{\displaystyle \mathrm{}\mathrm{l}}$( ${\displaystyle 2}$ ; $){\displaystyle \mathrmethrm {sl}(2;\mathb$ {$C})$의 유한 차원 표현에서 작용하는 방식에 의해 동기가 부여된다$.$ 단, H ${\displaystyle H}$에 대한 고유 벡터의 "체인"이 종료되어야 한다는$$ 것을 우리는 더 이상 요구하지 않는다.

이 구조에서 $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle m}$은(는) 임의의 복잡한 번호로$$, 반드시 실제 또는 양수 또는 정수일 필요는 없다.그럼에도 $불구하고{\displaystyle }$ m ${\displaystyle m}$이(가) 음이 아닌 정수인 경우는 특별하다.$이{\displaystyle }$ 경우 벡터 $v{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle m_{}}$+ 1,${\displaystyle {}_{}{\mathrm{v}}_{}}$ m${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle 2_{}{}_{}}$,${\displaystyle }$… ${\displaystyle v_{m+1},v_{m+2},\ldots }$의 범위는 불변으로 쉽게 볼 수 있다$$. X ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle m_{}}$ +${\displaystyle {}_{}}$1${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X\cdot v_{m+1}=0$그런 다음, 지수 모듈은 $차원{\displaystyle }$ m${\displaystyle \mathrm{}}$+ 1. ${\displaystyle$ $\mathrm {sl}(2;\$$mathb$${C$$})}$의 s${\displaystyle \mathrm{l}}$($2$ ; ${\displaystyle C\mathbb{})}$의 유한 차원 불가한 표현이다$.$$}$

Verma 모듈의 정의

베르마 모듈에는 두 가지 표준 구조가 있는데, 두 가지 모두 범용 봉합 대수학의 개념을 포함한다.이전 절의 표기법을 계속한다: $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$는 복합반시 구현 Lie 대수, $h{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$은 고정된 카르탄 하위 골격, $R{\displaystyle }$ ${\displaysty$ $R$$}$은 고정된 집합$$ $R{\displaystyle {}^{}}$ +${\$ R$^{+}$을 가진 관련 루트 시스템이다$$.For each ${\displaystyle \alpha \in R^{+}}$, we choose nonzero elements ${\displaystyle X_{\alpha }\in {\mathfrak {g}}_{\alpha }}$ and ${\displaystyle Y_{\alpha }\in {\mathfrak {g}}_{-\alpha }}$.

포락대수의 인용구로서.

보편적의면서 모듈의 첫번째 construction[5]은 지수 대수학 Ug{\displaystyle{\mathfrak{g}의(g){U({\mathfrak{g}})\displaystyle}}}포위. 그면서 모듈은 g{\displaystyle{\mathfrak{g}}}-module로 되어 있을 것입니다. U(g){\displaystyle 미국({)$mathfrak{g}}}$ -closure$$, 포락 대수학의 보편적 속성에 의해.Thus, if we have a Verma module ${\displaystyle W_{\lambda }}$ with highest weight vector ${\displaystyle v}$, there will be a linear map ${\displaystyle \Phi }$ from ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ into ${\displaystyle W_{\lambda }}$ given by

${\displaystyle \mathrm{\phi }}$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle v}$, ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \in }$ U${\displaystyle }$( ${\displaystyle g}$) ${\displaystyle \Phi (x)=x\cdot v,\quad x\in$ U$({\mathfrak {g$

$W{\displaystyle {}_{}}$ ${\$은(는) v$${\$displaystyle v}$에 의해 생성되어야 하므로, $지도{\displaystyle \mathrm{}}$ $\$ {\$displaystyle \Phi$}은(는$)$ 굴절적이어야$$ 한다$.$Since ${\displaystyle v}$ is supposed to be a highest weight vector, the kernel of ${\displaystyle \Phi }$ should include all the root vectors ${\displaystyle X_{\alpha }}$ for ${\displaystyle \alpha }$ in ${\displaystyle R^{+}}$. Since, also, ${\displaystyle v}$ is supposed to be a weigh$무게$가 ${\displaystyle \lambda }$인 t 벡터,$$$\phi {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Phi$}의 커널은 형식의 모든 벡터를 포함해야$$ 함

${\displaystyle H}$ -${\displaystyle \lambda }$(${\displaystyle H}$) ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle h\mathfrak{}}$ ${\$

Finally, the kernel of ${\displaystyle \Phi }$ should be a left ideal in ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$; after all, if ${\displaystyle x\cdot v=0}$ then ${\displaystyle (yx)\cdot v=y\cdot (x\cdot v)=0}$ for all ${\displaystyle y\in U({\mathfra$$k{g}}}$.

앞의 논의는 다음과 같은 베르마 모듈 구축에 동기를 부여한다.$W{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\lambda }_{}}$ ${\$을(를) 지수 벡터 공간으로 정의한다$$.

${\displaystyle W_{}}$ ${\displaystyle {\lambda }_{}}$= ${\displaystyle U\mathfrak{}}$( g${\displaystyle }$)${\displaystyle }$/ ${\displaystyle I{}_{}}$ ${\displaystyle {\lambda }_{}}$ ${\$ $\}\},$

여기서 $I{\displaystyle {}_{}}$ ${\$는 폼의 모든 요소에 의해 생성된 왼쪽 이상이다$$.

${\displaystyle X_{\\alpha },\quad \alpha \in R^{+}}$

그리고

${\displaystyle H}$ -${\displaystyle \lambda }$(${\displaystyle H}$) ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle h\mathfrak{}}$ ${\$

$I{\displaystyle {}_{}}$ ${\$은(는) 왼쪽 이상이기 $때문$에 U${\displaystyle (g\mathfrak{}}$ $){\displaystyle U({\mathfrak{g})$의 자연 왼쪽 작용 자체가 몫으로 이어지게 된다.따라서 $W{\displaystyle {}_{}}$ ${\$은(는) $U{\displaystyle }$($){\displaystyle$U$({\mathfak{g})}$ -module이며$$, 따라서 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$ -module이기도$$ 하다.

스칼라의 확장에 의해

"스칼라의 확장" 절차는 A ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$ $A_{$1}를 하나의 대수 ${$에 걸쳐$$ $좌모듈{\displaystyle }$ V$${\$displaystyle V$}($$필수적으로 역행하는 것은 아님)를 A 1 {\displaystystyle $A_{1}}$를 하위모듈로 포함하는$$ 더 큰 대수 $A{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$1}{1}에 대해 좌모듈로 변경하는 방법이다.우리는 $A{\displaystyle {}_{}}$ ${\$ 오른쪽 A ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$-모듈로$$ 생각할$$ 수 있는데, 여기서 $A{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$1}는 오른쪽의 곱셈으로$$ $A{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}에 작용한다$$.$V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$이(가) 왼쪽 ${\displaystyle {A\mathrm{}}_{}}$ $1{\displaystyle {}_{}}$ ${\$-module이고$$ ${\displaystyle {A\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$${\$ $A_{1}$-module이$$ 오른쪽 A ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$} -module이기$$ 때문에 두 개의 텐서 곱을 $만들{\displaystyle {}_{}}$ 수 있다$.$

${\displaystyle A_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {A{}_{}}_{}}$ 1 ${\displaystyle {{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle A_{2}\otimes _{A_{1}V}$.

자, A ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}개$$ 자체로 왼쪽 ${\displaystyle {A\mathrm{}}_{}}$ $2{\displaystyle {}_{}}$ ${\$}}개 -모듈이기$$ 때문에 위의 텐서 제품은 다음과 같은 요건에 의해 고유하게 결정되는 더 큰 $대수{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {A\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$}}개 위에 왼쪽 모듈 구조를 운반한다$.$

${\displaystyle a_{1}\cdot(a_{2}\otimes v)=(a_{1}a_{2})\otimes v}$

for all ${\displaystyle a_{1}}$ and ${\displaystyle a_{2}}$ in ${\displaystyle A_{2}}$. Thus, starting from the left ${\displaystyle A_{1}}$-module ${\displaystyle V}$, we have produced a left ${\displaystyle A_{2}}$-module ${\displaystyle A_{$$2}\otimes _{A_{1}V}$.

우리는 이제 이 건축물을 반이행 리 대수학의 설정에서 적용한다.We let ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ be the subalgebra of ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ spanned by ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ and the root vectors ${\displaystyle X_{\alpha }}$ with ${\displaystyle \alpha \in R^{+}}$. (Thus, ${\displaystyle {\mathfrak {b}$$}}}}$은 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$의 "Borel subalgebra"로$$, 범용 봉합 $대수{\displaystyle }$ U${\displaystyle }$($){\displaystyle$U$({\mathfrak {b})}$ 위에$$ 다음과 같이 왼쪽$$ 모듈 F ${\$}을 구성할 수 있다.

• ${\displaystyle F_{}}$ ${\$은$($는) 단일 벡터 $v {\$$displaystyle {\$$mathfak$$${$b$$}$ -모듈$$ 구조와 함께$$ 확장된 1차원 벡터 공간으로서$$, $h{\displaystyle \mathfrak{}}$${\displaystystyle {\lambda}$에 의해 곱셈으로 작용한다$$.oot 공간은 시시콜콜하게 작용한다.

${\displaystyle \quad H\cdot v=\lambda (H)v,\quad H\in {\mathfrak {h}};\quad X_{\alpha }\cdot v=0,\quad \alpha \in R^{+}}$.

이 공식의 동기는 $U{\displaystyle (b}$) ${\displaystyle$ U$({\mathfrak{b}})$가 베르마 모듈에서 가장 높은 무게 벡터에 어떻게 작용해야 하는지를$$ 설명하기 때문이다.

이제, $U{\displaystyle }$($){\displaystyle$U$({\mathfak{b}}}}}$이(가) U $){\displaystyle$ U $({\mathfak {g})}$의 하위골격이라는 것이 푸앵카레-비르호프-위트 정리로부터 따르게 된다$.$Thus, we may apply the extension of scalars technique to convert ${\displaystyle F_{\lambda }}$ from a left ${\displaystyle U({\mathfrak {b}})}$-module into a left ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$-module ${\displaystyle W_{\lambda }}$ as follow:

${\$$F_{\lambda$ $\}\}.$

$W{\displaystyle {}_{}}$ ${\$은(는) 왼쪽 $U{\displaystyle }$ $g ){\displaystyle$ U $({\mathfak${g$})}$ -module이므로$$, 특히 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$에 대한 모듈(표현)이다$.$

Verma 모듈의 구조

Verma 모듈의 어느 구조를 사용하든, 비경쟁적(즉, 제로 모듈이 아님)임을 입증해야 한다.실제로 Poincaré-Birkhoff-Witt 정리를 사용하여 $W{\displaystyle {}_{}}$ ${\$의 기저 벡터 공간이 이소모르픽임을$$ 보여줄 수 있다.

${\displaystyle U({\mathfrak {g}_{-}})$

여기서 $g{\displaystyle {\mathfrak{}}_{}}$- ${\$$g$$}$_{-}는 g {\displaystyle ${\mathfrak{g}},$ 즉 Y α ${\$s$\}$의 음의 루트 공간에서 생성된 Lie 하위 골격이다.^[6]

기본 속성

verma 모듈은 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$ -modules로 간주되며, 최고 중량 벡터에 의해 생성된다.This highest weight vector is ${\displaystyle 1\otimes 1}$ (the first ${\displaystyle 1}$ is the unit in ${\displaystyle {\mathcal {U}}({\mathfrak {g}})}$ and the second is the unit in the field ${\displaystyle F}$, considered as the ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$-module ${\displaystyle F_{\lambda }}$${\displaystyle F_{\lambda$ $\}\}$ )이며, 무게는 $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$이다$.$

승수

Verma 모듈은 중량 모듈이다.${\displaystyle W_{}}$ ${\$는 모든 중량 공간을 직접 합한 것이다$$.Each weight space in ${\displaystyle W_{\lambda }}$ is finite-dimensional and the dimension of the ${\displaystyle \mu }$-weight space ${\displaystyle W_{\mu }}$ is the number of ways of expressing ${\displaystyle \lambda -\mu }$ as a sum of positive roots (this is closely related to the so-called Ko스탄트 파티션 함수).$이러한$ 주장은 Poincaré-Birkhoff–Witt 정리$($${\displaystyle {}_{}}$ for U$$(g - )와 함께 Verma 모듈이 $U{\displaystyle }$(${\displaystyle {}_{}}$- $){\$$displaystyle$ U $({\mathfrak {g}_{-})$에 대한 벡터 공간으로서 이형성이라는 이전의 주장에서 따온 것이다$.$

보편적 재산

Verma 모듈은 매우 중요한 속성을 가지고 있다.If ${\displaystyle V}$ is any representation generated by a highest weight vector of weight ${\displaystyle \lambda }$, there is a surjective ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-homomorphism ${\displaystyle W_{\lambda }\to V.}$ That is, all representations with highest weight ${\displaystyle \la$최고 중량 벡터(일명 최고 중량 모듈)에서 생성되는$$ $mbda }$은(는) W ${\displaystyle {\lambda }_{}}$ ${\displaystyle W_{\lambda$}의 인용구임.

불가해한 지수 모듈

W({\displaystyle W_{\lambda}},, 최고 무게 λ과의 지수는 독특한(유질 동상까지)기약 표현입니다. 고유한 최대 submodule가 들어 있{\displaystyle \lambda.}[7]최고 무게λ{\lambda\displaystyle}고도 필수적인 요소의 지배적이다, 하나가 그때 이것 더 이상 줄일 수 없는 몫임을 입증한다.실제 유한 ^[8]치수

예를 들어 위에서 설명한$$ $사례{\displaystyle \mathfrak{}}$ g${\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{sl}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle 2}$; $){\displaystyle {\mathfrak {g}=\operatorname {sl}(2;\mathb {C})$을 참조하십시오.If the highest weight ${\displaystyle m}$ is "dominant integral"—meaning simply that it is a non-negative integer—then ${\displaystyle Xv_{m+1}=0}$ and the span of the elements ${\displaystyle v_{m+1},v_{m+2},\ldots }$ is invariant.그런 다음 지수 표현은 $치수{\displaystyle }$m + ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle m+1$}을(를) 사용하여 수정할 수 없다$.$지수 표현은 선형 독립 벡터 $v{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle m_{}}$ ${\$에 의해 확장된다$.$The action of ${\displaystyle \operatorname {sl} (2;\mathbb {C} )}$ is the same as in the Verma module, except that ${\displaystyle Yv_{m}=0}$ in the quotient, as compared to ${\displaystyle Yv_{m}=v_{m+1}}$ in the Verma module.

Verma 모듈 $W{\displaystyle {}_{}}$ ${\$은(는) 기본 가중치에 기초하여$$ $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda}$의 좌표 중 어느 하나라도 세트${\displaystyle }${${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$, 2,${\displaystyle }$… ${\displaystyle \{0,1,2,\ldots \}$의 좌표 \}에 속하지 않는 경우에만 수정할 수 없다$.$

기타 속성

베르마 모듈 W ${\$의 최고 중량 $\lambda$이 지배적인 중량${\displaystyle \stackrel{}{}}$aff$~{\$ $\}\}\}\}\}$에 있는 경우, Weyl 그룹 W의 원소가 존재한다.

${\displaystyle \lambda =w\cdot {\tilde {\\lambda }}$

여기서 $\cdot {\displaystyle }$ ${\displaystyle \cdot }$은(는) Weyl 그룹의 부속 작업이다.

버마 모듈 $W{\displaystyle {}_{}}$ ${\$은 λ의 아핀 궤도에 지배적인 무게가 없다면 단수라고 불린다.이 경우 무게 $~{\$이(가) 존재하여$$ 기본 Weyl 챔버의 벽에는 ${\displaystyle \stackrel{}{~~}}$+ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle {\tilde{\lambda }+\delta }}}}}$이(가)가 있다.

Verma 모듈의 동형성

임의의 두 개의 가중치 $\mu {\displaystyle ,}$ ${\displaystyle \mu }$, ${\displaystyle \lambda$,\$mu$}비교동형성.

${\displaystyle W_{\mu }\오른쪽 화살표 W_{\lambda }}}$

$\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu$ $}$과($와{\displaystyle }$)$μ$ {\displaystyle \$lambda }$이(가) $Lie{\displaystyle \mathfrak{}}$대수 g {\displaystyle {\$mathfak {g}$의 Weyl $그룹{\displaystyle }$ W ${\displaystystyle W}$의 어핀 작용과 연결된 경우에만$$ 존재할 수 있다$.$이것은 하리쉬-찬드라 정리에서 극소수의 중심 문자에 대한 것을 쉽게 따라온다.

Verma 모듈의 각 동형성은 주입식이며 차원이다.

${\dim(\operatorname {Hom})(W_{\mu },W_{\lambda })\leq 1}$

for any ${\displaystyle \mu ,\lambda }$. So, there exists a nonzero ${\displaystyle W_{\mu }\rightarrow W_{\lambda }}$ if and only if ${\displaystyle W_{\mu }}$ is isomorphic to a (unique) submodule of ${\displaystyle W_{\lambda }}$.

베르마 모듈 동형성의 완전한 분류는 번스타인-겔판드-겔판드-엘프랜드-엘프랜드에^[9][10] 의해 이루어졌으며, 다음과 같은 문장으로 요약할 수 있다.

0이 아닌 동형성 $W{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mu }_{}}$→ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\lambda }_{}}$ ${\$ 화살표 $W_{\lambda }}}$만약$$ 존재하는 경우에만 존재한다.

일련의 역기

$\displaystyle \mu =\nu _{0}\leq \nu _{1}\leq \ldots \leq \nu _{k}=\conda }}$

such that ${\displaystyle \nu _{i-1}+\delta =s_{\gamma _{i}}(\nu _{i}+\delta )}$ for some positive roots ${\displaystyle \gamma _{i}}$ (and ${\displaystyle s_{\gamma _{i}}}$ is the corresponding root reflection and ${\displaystyle \delta }$ is the sum of all fundamental weights) and for each ${\displaystyle 1\leq i\leq k,(\nu _{i}+\delta )(H_{\gamma _{i}})}$ is a natural number (${\displaystyle H_{\gamma _{i}}}$ is the coroot associated to the root ${\displaystyle \gamma _{i}}$).

Verma 모듈 $M{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mu }_{}}$ ${\$과 $M{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\lambda }_{}}$ ${\$$displaystyle$ $M_$${\lambda }}$이(가) 규칙적인 경우$$${\displaystyle \stackrel{}{,}}$ Weyl 그룹 W의 고유한 요소 w$,$ w가 있다.

${\displaystyle \mu =w'\cdot {\tilde {\\da }}$

그리고

${\displaystyle \lambda =w\cdot {\tilde {\\lambda }}$

여기서 $\cdot {\displaystyle }$ ${\displaystyle \cdot }$은(는) Weyl 그룹의 부속 작업이다.만약 가중치가 더 통합된다면, 0이 아닌 동형성이 존재한다.

${\displaystyle W_{\mu }\to W_{\lambda }}}}$

만약의 경우에 한해서만

$디스플레이 스타일 w\leq w'}$

웨일 일당의 브루하트 명령으로 말이야

요르단-홀더 시리즈

내버려두다

${\displaystyle 0\subset A\subset B\subset W_{\lambda }}}$

지수 B/A가 최고 중량 μ로 분해할 수 없도록 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$ {$g}$ - modules의$$ 연속이다.그러면 0이 아닌 동형성 $W{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mu }_{}}$→ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\lambda }_{}}$ ${\$이 존재한다$.$

이 경우 가장 높은 중량 모듈 $V{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mu }_{}}$ ,${\displaystyle {}_{}}$V ${\displaystyle {\lambda }_{}}$ ${\$이(가) 다음과 같은 간단한$$ 결과를 얻을 수 있다.

${\displaystyle V_{\mu }\subset V_{\lambda }}}$

0이 아닌 동형성 $W{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mu }_{}}$→ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\lambda }_{}}$ ${\$이 있다$.$

번스타인-겔프랜드-겔프랜드 결의안

$V{\displaystyle {}_{}}$ ${\$을(를) 가장 높은 무게의$$ Lie $대수{\displaystyle \mathfrak{}}$ g ${\${\$mathfrak{g}}$을(를) 유한 차원 불가해한 표현으로$$ 한다.우리는 Verma 모듈의 동형성에 관한 섹션에서 동형성이 존재한다는 것을 안다.

${\displaystyle W_{w'\cdot \lambda }\to W_{w\cdot \lambda }}}}}.$

만약의 경우에 한해서만

$디스플레이 스타일 w\leq w'}$

웨일 일당의 브루하트 명령으로 말이야다음 정리는 $V{\displaystyle {}_{}}$ ${\$V_{\$lambda }}$의 분해능을 베르마 모듈로 설명한다(Berma^[11] modules, 1975년 Bernstein-Gelfand-Gelfand에 의해 증명됨).

$g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$ -호모형성의$$ 정확한 순서가 있다.

$\displaystyle 0\to \oplus _{w\in W,\,\,\ell(w)=n}W_{w\cdot \lambda }\cdots \to \oplus _{w\in W,\,\,\ell(w)=2}W_{w\cdot \lambda }\to \oplus _{w\in W,\,\,\ell(w)=1}W_{w\cdot \lambda }\to W_{\lambda }\to 0}$

여기서 n은 Weyl 그룹의 가장 큰 원소의 길이다.

일반화된 Verma 모듈에도 유사한 분해능이 존재한다.그것은 곧 BGG 결의안이라고 표시된다.

참고 항목

• 리알헤브라의 유한차원 표현 분류
• 최고중량의 정리
• 일반화 버마 모듈
• 웨일 모듈

메모들

참조

• Bäuerle, G.G.A; de Kerf, E.A.; ten Kroode, A.P.E. (1997). A. van Groesen; E.M. de Jager (eds.). Finite and infinite dimensional Lie algebras and their application in physics. Studies in mathematical physics. Vol. 7. North-Holland. Chapter 20. ISBN 978-0-444-82836-1 – via ScienceDirect.
• Carter, R. (2005), Lie Algebras of Finite and Affine Type, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-85138-1.
• Dixmier, J. (1977), Enveloping Algebras, Amsterdam, New York, Oxford: North-Holland, ISBN 978-0-444-11077-0.
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• Roggenkamp, K.; Stefanescu, M. (2002), Algebra - Representation Theory, Springer, ISBN 978-0-7923-7114-4.

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