카르탄 아발지브라

In mathematics, a Cartan subalgebra, often abbreviated as CSA, is a nilpotent subalgebra ${\mathfrak {h}}$ of a Lie algebra ${\mathfrak {g}}$ that is self-normalising (if $[X,Y]\in {\mathfrak {h}}$ for all ${\displaystyle X\in {\mathfrak$ ${h$ 그 다음 $Y\in {\mathfrak {h}}$ $Y\in {\mathfrak {h}}$ h ${\$ 그것들은 Elie Cartan에 의해 그의 박사학위 논문에서 소개되었다. 특성 $0$ $0$ 의 필드에 걸쳐 ${\mathfrak {g}}$ 반단순 리 대수 ${\mathfrak {g}}$ ${\$ 의 표현 이론을 제어한다 $0$

유한차원 반시 구현 리 대수학 특성 0의 대수적으로 닫힌 필드(예: $\mathbb {C}$ ${\$ { $\operatorname {ad} (x):{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$ $}$ )에서 카르탄 하위골격은 부선내형성 add $\operatorname {ad} (x):{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$ ) $\operatorname {ad} (x):{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$ : g $\operatorname {ad} (x):{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$ → $\operatorname {ad} (x):{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$ ${\$ {ad)와 같은 원소 x로 구성된 최대 아벨 하위골격과 동일하다. $\mathbb {C}$ $}}(x):{\mathfrak{g}\to {\mathfrak{g}}}$ 이 $\operatorname {ad} (x):{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$ (가) semisimply(즉, 대각선 가능). 때때로 이 특성화는 단순히 카르탄 하위격포의 정의로 받아들여진다.^[1]^{pg 231}

일반적으로 하위격자(subalgebra)는 반실행 요소로 구성되면 토랄(toral)이라고 불린다. 대수로 닫힌 들판에서, 토랄 아발지브라는 자동적으로 아벨리안이다. 따라서 특성 0의 대수적으로 닫힌 영역에 걸쳐 카르탄 아발지브라도 최대 토랄 아발지브라로 정의할 수 있다.

Kac-Moody Algebras와 일반화된 Kac-Moody Algebras는 또한 Semisimple Lie Algebras의 Cartan subalgebras와 같은 역할을 하는 서브algebras를 가지고 있다(특성 0의 영역에 걸쳐).

존재와 고유성

카르탄 아발게브라는 베이스 필드가 무한할 때마다 유한차원 리알헤브라를 위해 존재한다. 카르탄 하위 골조를 구성하는 한 가지 방법은 일반 원소를 이용하는 것이다. 유한한 분야에 걸쳐서 존재의 문제는 여전히 열려 있다.^{[citation needed]}

특성 0의 대수적으로 닫힌 영역에 대한 ${\mathfrak {g}}$ 유한차원 반실행 리 ${\mathfrak {g}}$ g ${\$ 의 경우, 보다 간단한 접근법이 있다. 정의에 따르면 토랄 하위골격은 반실행 요소로 구성된 ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {g}}$ ${\$ { $g}$ 의 하위골격이다. 그것에 의해 유도된 부조화 내형성은 대각선으로 가능하다. ${\mathfrak {g}}$ ${\$ 의 카르탄 아발지브라(Cartan subalgebra)는 최대토랄 아발지브라(Maximal toral subalgebra)와 동일하며 ${\mathfrak {g}}$ , 최대토럴 아발지브라(Maximal subalgebra)의 존재는 쉽게 볼 수 있다.

특성 0의 대수적으로 닫힌 장에 대한 유한차원 리 대수학에서 모든 카르탄 아발겔라는 대수학의 자동화에 따라 결합되며, 특히 모두 이형성이다. 카르탄 하위골격의 공통 차원을 대수학 계급이라고 한다.

유한차원 복합체 반실행 리 대수학의 경우, 카탄 아발지브라(Cartan subalgebra)의 존재는 콤팩트한 실제 형태의 존재를 가정했을 때 훨씬 간단하게 성립할 수 있다.^[2] 이 경우, ${\mathfrak {h}}$ ${\$ {\ $mathfrak{h}}$ 을(를) 콤팩트 그룹의 최대 토러스(torus)의 리 대수학 복합화로 볼 수 있다 ${\mathfrak {h}}$ .

If ${\mathfrak {g}}$ is a linear Lie algebra (a Lie subalgebra of the Lie algebra of endomorphisms of a finite-dimensional vector space V) over an algebraically closed field, then any Cartan subalgebra of ${\mathfrak {g}}$ is the centralizer of a maximal toral subalgebra of ${\displ$ $aystyle {\mathfrak{g$ ^{[citation needed]} ${\mathfrak {g}}$ ${\$ 이 ${\mathfrak {g}}$ (가) 반이 구현되고 필드에 특성이 0이면 최대 토랄 하위 골격은 자가 정규화되므로 연관된 카르탄 하위 골격과 동일하다. 또한 ${\mathfrak {g}}$ ${\$ 이(가) 반실행된 경우 ${\mathfrak {g}}$ , 조정자 표현은 g ${\$ 을(를) 선형 Lie 대수로서 ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {g}}$ 하여 g ${\$ 의 하위골격자일 ${\mathfrak {g}}$ 경우에만 카르탄이다.

예

모든 nilpotent Lie 대수학은 그것 자체의 Cartan subalgebra이다.
한_n 필드 위에 있는 n×n 행렬의 Lie 대수인 gl의 카르탄 하위 대수(Cartan subalgebra)는 모든 대각 행렬의 대수다.^{[citation needed]}
트레이스리스 $n\times n$ $n\times n$ $n\times n$ ${\$ ${\mathfrak {sl}}_{n}(\mathbb {C} )$ n $\times$ n ${\mathfrak {sl}}_{n}(\mathbb {C} )$ 행렬 $n\times n$ ${\mathfrak {sl}}_{n}(\mathbb {C} )$ ${\mathfrak {sl}}_{n}(\mathbb {C} )$ l ( C $){\displaystyle {\mathfrak {sl}_{n}(\mathb {C}$ ${\mathfrak {sl}}_{n}(\mathbb {C} )$ 의 특수 리 대수에는 카르탄 하위 대수(Cartan subalgebra)가 있다. ${\displaystyle {h}=\left\{d(a_{1},\ldots,a_{n})\mid a_{{i}\in \mathb {C}{\text{ 및 }}}\{i=1}^{n}a_{n}=0\right\}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}.$ 어디에 ${\displaystyle d(a_{1},\ldots,a_{n}}={\pmatrix}a_{1}&#0&#0&#0&\ddots &#0&#0&\\\ddots &\\\\vdots\\\\\vdots\\\#0&#0&\cdots&\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &n}}}}}cdots&\cdots&\cdots &$ 예를 들어, s ${\mathfrak {sl}}_{2}(\mathbb {C} )$ ${\mathfrak {sl}}_{2}(\mathbb {C} )$ ( ${\mathfrak {sl}}_{2}(\mathbb {C} )$ ) ${\mathfrak {sl}_{2}(\mathb {C} )$ 에서 ${\mathfrak {sl}}_{2}({\mathbb {C}})$ 카르탄 하위 골격은 행렬의 하위 골격이다. ${\displaystyle{\mathfrak{h}}=\좌측\{\\begin{pmatrix}a&0\\nd{pmatrix}:a\in \mathb {C}\right\}}}}}$ 매트릭스 정류자가 제공한 눕는 브래킷과 함께.
추적 0의 2 x 2 행렬의 Lie 대수₂ sl(R)에는 두 개의 비콘주게이트 카르탄 아발그라가 있다.^{[citation needed]}
카르탄 아발지브라 치수는 복잡하고 단순한 리알헤브라에 대해서도 일반적으로 아벨지아발지브라 치수의 최대 치수는 아니다. 예를 들어, 추적 0의 2n x 2n 행렬의 Lie 대수 sl_2n(C)은 2n-1등급의 카르탄 하위격자를 가지지만 $,$ ${\begin{pmatrix}0&A\\0&0\end{pmatrix}}$ (0 ${\begin{pmatrix}0&A\\0&0\end{pmatrix}}$ 0 ){\ $displaystyle {\begin{pmatrix}0&$ gt;의 모든 행렬로 구성된 차원 n의² 최대 아벨 하위격자를 가진다.A by n 행렬이 있는 ${\begin{pmatrix}0&A\\0&0\end{pmatrix}}$ $A\\0&0\end{pmatrix}}$ 이 아벨리안 아발지브라(Abelian subalgebra)가 까르탄 아발지브라(Cartan subalgebra)가 아발지브라(Cartan subalgebra)가 아니라는 것을 직접 알 수 있다.

반실행 리알헤브라스 카르탄 아발레브라스

특성 0의 대수적으로 닫힌 필드에 대해 유한 차원 ${\mathfrak {g}}$ 세미 구현 ${\mathfrak {g}}$ 대수 g ${\$ 의 경우 카르탄 ${\mathfrak {h}}$ h {\ $displaystyle$ {\ $mathfrak$ { $h}}$ 은(는) 다음과 같은 특성을 가지고 ${\mathfrak {h}}$ 있다.

${\mathfrak {h}}$ ${\$ 은 ${\mathfrak {h}}$ (는) 아벨리안,
For the adjoint representation $\operatorname {ad} :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})$ , the image $\operatorname {ad} ({\mathfrak {h}})$ consists of semisimple operators (i.e., diagonalizable matrices).

(앞서 언급한 바와 같이, 카르탄 하위골격은 사실 위의 두 가지 특성을 가진 사람들 중에서 최대인 하위골격으로 특징지어질 수 있다.)

이 두 속성은 $\operatorname {ad} ({\mathfrak {h}})$ $\operatorname {ad} ({\mathfrak {h}})$ ( $\operatorname {ad} ({\mathfrak {h}})$ ) ${\displaystyle \operatorname {ad}({\mathfrak {h})$ 에 있는 연산자가 $\operatorname {ad} ({\mathfrak {h}})$ 동시에 대각선이 가능하며, ${\mathfrak {g}}$ {\ $displaystyle$ {\ $mathfak {g}$ 을(를)로 ${\mathfrak {g}}$ 직접 합하여 분해한다고 한다.

{\mathfrak {{g}=\bigoplus _{\\mathfrak {h}^{*}}{\mathfrak{g}}}}}

어디에

{\displaystyle {\mathfrak

{\text{ad}}(h)x=\chda(h)x,{\text{{}h\in{\mathfrak{h

렛트 $\Phi =\{\lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}\setminus \{0\}|{\mathfrak {g}}_{\lambda }\neq \{0\}\}$ = $\Phi =\{\lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}\setminus \{0\}|{\mathfrak {g}}_{\lambda }\neq \{0\}\}$ { $\Phi =\{\lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}\setminus \{0\}|{\mathfrak {g}}_{\lambda }\neq \{0\}\}$ ${$ { $\Phi =\{\lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}\setminus \{0\}|{\mathfrak {g}}_{\lambda }\neq \{0\}\}$ { } $\Phi =\{\lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}\setminus \{0\}|{\mathfrak {g}}_{\lambda }\neq \{0\}\}$ } } } { $\Phi =\{\lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}\setminus \{0\}|{\mathfrak {g}}_{\lambda }\neq \{0\}\}$ { $\Phi =\{\lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}\setminus \{0\}|{\mathfrak {g}}_{\lambda }\neq \{0\}\}$ { $\Phi =\{\lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}\setminus \{0\}|{\mathfrak {g}}_{\lambda }\neq \{0\}\}$ } ${\displaystyle \Phi =\{\\lambda \in {\\mathfrak{h}^}}}\{0\}\mathfrak {g}{\}{\}}{\}}{\}}}}{\$ lamba}}}}}}}}\ $lamba \$ lamba \ $na$ 그러면 $\Phi$ 이(가) 루트 시스템이고 $\Phi$ , 더욱이 g ${\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {h}}$ = ${\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {h}}$ ${\displaystyle {g}_{0}={\mathfrak$ ${h$ $};$ 즉, ${\mathfrak {h}}$ ${\$ $mathfak$ { $h}}$ 의 중심기가 h ${\displaysty$ }과 일치한다 ${\mathfrak {h}}$ ${\mathfrak {h}}$ 그러면 위의 분해는 다음과 같이 기록할 수 있다.

{\mathfrak{g}={\mathfrak {h}\oplus \lambda \좌(\bigoplus _{\lambda \in \Phi }{\mathfrak {g}_{\lambda }\오른쪽)}}}}}}

as ${{\displaystyle \lambda \in \Phi$ $\lambda \in \Phi$ g ${\mathfrak {g}}_{\lambda }$ ${\$ 에 대해 치수가 1인 ${\mathfrak {g}}_{\lambda }$ 것으로 확인됨:

\dim {\mathfrak {g}}=\dim {\mathfrak {h}}+\#\Phi

\dim {\mathfrak {g}}=\dim {\mathfrak {h}}+\#\Phi

\dim {\mathfrak {g}}=\dim {\mathfrak {h}}+\#\Phi

=

\dim {\mathfrak {g}}=\dim {\mathfrak {h}}+\#\Phi

h + #

\dim {\mathfrak {g}}=\dim {\mathfrak {h}}+\#\Phi

\

\

diystyle

\

dim {\mathfrak {g}=\dim {\mathfrak

{

h}+\#\

Phi

\dim {\mathfrak {g}}=\dim {\mathfrak {h}}+\#\Phi

자세한 내용은 Semisimply_Lie 대수#Structure를 참조하십시오.

이중 카르탄 하위 골격으로 표현 분해

특성 $0$ ${\displaystyle$ ${\mathfrak {g}$ 필드에 ${\mathfrak {g}}$ Lie ${\mathfrak {g}}$ g ${\mathfrak {g}}$ {\displaystyle ${}$ 을(를) 지정하고 $0$ ^{[clarification needed]} Lie 대수표현을 지정함

\sigma :{\mathfrak{g}\to {\mathfrak {gl}(V)

리 대수학의 카르탄 하위 대수에서 분해되는 것과 관련된 분해물이 있다. 만약 우리가 정하면

{\displaystyle V_{\lambda }=\{v\in V:(\sigma(h)(v)=\lambda(h)v{\text{}{}}{}}}{}}}}}에 대한 표시

space

\lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}

{\

을

\lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}

를) 사용하여 무게 공간

\lambda

{\displaystyle \lambda

\lambda

을(를) 사용하여 이러한 무게 공간 측면에서 표현력이 분해된다.

V=\bigoplus _{\lambda \in {\mathfrak{h}^{*}V_{\lambda }}}}

또한

V_{\lambda }\neq \{0\}

V_{\lambda }\neq \{0\}

V_{\lambda }\neq \{0\}

{\displaystyle V_{\lambda }\neq

\{

0\}}}

\lambda

{\

displaystyle \lambda }}

을

\lambda

(를) g

{\mathfrak {g}}

{\

displaystystyle {\\mathfak

{

g

} -표시

{\mathfrak {g}}

V

V

이라고

부른다

.

가중치를 이용한 불가해한 표현 분류

그러나 이러한 가중치는 Lie 대수 ${\mathfrak {g}}$ ${\$ 의 수정 불가능한 ${\mathfrak {g}}$ 을 분류하는 데 사용될 수 있는 것으로 밝혀졌다. 유한 치수 ${\mathfrak {g}}$ 불수정 g ${\displaystyle$ { $g}$ $V$ V $V$ 의 경우 $V$ $\$ \ique가 있다. $Phi }$ with respect to a partial ordering on ${\mathfrak {h}}^{*}$ . Moreover, given a $\lambda \in \Phi$ such that $\langle \alpha ,\lambda \rangle \in \mathbb {N}$ for every positive root $\alpha \in \Phi ^{+}$ , 고유한 수정 불가능한 표현 $L^{+}(\lambda )$ + ( $L^{+}(\lambda )$ ) $L^{+}(\lambda )$ 이(가) 있다 $L^{+}(\lambda )$ 이는 루트 시스템 ${\displaystyle \Phi$ }이 $($ 가) ${\mathfrak {g}}$ ${\$ 의 표현 이론에 대한 모든 정보를 포함하고 $\Phi$ 있음을 의미한다 ${\mathfrak {g}}$ ^[1]^{pg 240}

카르탄 하위 골격 분할

비알갈지 밀폐된 들판 위로 모든 카르탄 아발지브라들이 결합되는 것은 아니다. 중요한 클래스는 카르탄 하위골격 분할이다: 리 대수학에서 카르탄 ${\mathfrak {h}}$ h ${\$ 을(를) 인정할 경우 분할가능하다고 ${\mathfrak {h}}$ $({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})$ 하며 $({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})$ 쌍 $($ , $({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})$ ){\ $displaystyle({\mathfrak {g},{\mathfrak {h})$ 은 $({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})$ 분할된 각 반에 걸쳐 대수학적으로 닫힌 영역으로 불린다.임플 리 대수학은 분할할 수 있다. 갈라지는 두 개의 카르탄 알헤브라는 결합형이며, 그들은 대수적으로 닫힌 들판보다 반시 구현 리 알헤브라의 카르탄 알헤브라와 유사한 기능을 수행하므로, 분할 세미 구현 리 알헤브라스(사실, 분할 환원형 리알헤브라스)는 대수적으로 닫힌 들판보다 반시 구현 리 알헤브라와 많은 속성을 공유한다.

그러나 모든 반 구현 Lie 대수학이 분할 가능한 것은 아니다.

카르탄 부분군

Lie 그룹의 Cartan 부분군은 Lie 대수학이 Cartan 하위 대수인 부분군 중 하나이다. 서브그룹의 아이덴티티 요소는 동일한 Lie 대수학을 가지고 있다. 특히 연결되지 않은 그룹의 경우 이 속성을 가진 하위 그룹 중 하나를 카르탄 하위 그룹이라고 하는 표준 규약이 없다. 콤팩트하게 연결된 Lie 그룹의 카르탄 부분군은 아벨리안 부분군(최대 도루스)과 연결된 최대 부분군이다. 그것의 Lie 대수학은 Cartan 하위 대수학이다.

연결이 끊어진 소형 Lie 그룹의 경우 카르탄 하위 그룹의 몇 가지 불공평한 정의가 있다. 가장 흔한 것은 데이비드 보간(David Vogan)이 준 것으로 보이는데, 그는 카르탄 하위그룹을 고정된 최대 토러스(maximal torus)를 정상화하고 근본적인 웨일(Weyl) 챔버를 고정하는 원소 그룹이라고 정의한다. 이것을 큰 카르탄 부분군이라고 부르기도 한다. 또한 작은 카르탄 부분군도 있는데, 이는 최대 토루스(maximal torus)의 중심제로 정의된다. 이 카르탄의 하위 그룹은 일반적으로 아벨리안일 필요는 없다.

카르탄 부분군 예제

대각 행렬로 구성된 GL₂(R)의 부분군.

참조

^ ^a ^b Hotta, R. (Ryoshi) (2008). D-modules, perverse sheaves, and representation theory. Takeuchi, Kiyoshi, 1967-, Tanisaki, Toshiyuki, 1955- (English ed.). Boston: Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-4363-8. OCLC 316693861.
^ 홀 2015 (도움말) 7장

메모들

참조

Borel, Armand (1991), Linear algebraic groups, Graduate Texts in Mathematics, 126 (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97370-8, MR 1102012
Jacobson, Nathan (1979), Lie algebras, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-63832-4, MR 0559927
Humphreys, James E. (1972), Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90053-7
Popov, V.L. (2001) [1994], "Cartan subalgebra", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
Anthony William Knapp; David A. Vogan (1995). Cohomological Induction and Unitary Representations. ISBN 978-0-691-03756-1.

[:0-1] Hotta, R. (Ryoshi) (2008). D-modules, perverse sheaves, and representation theory. Takeuchi, Kiyoshi, 1967-, Tanisaki, Toshiyuki, 1955- (English ed.). Boston: Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-4363-8. OCLC 316693861.

[2] 홀 2015 (도움말) 7장

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