이중(범주론)

수학의 한 분야인 범주 이론에서, 이중성은 범주 C의 특성과 반대 범주^op C의 이중 특성 사이의 대응이다.범주 C에 관한 진술이 주어질 경우, 각 형태론의 출처와 대상을 상호 교환하고, 두 형태론의 구성 순서를 상호 교환함으로써, 반대 범주 C에^op 대해 상응하는 이중 진술이 얻어진다.이와 같이 이중성은 진술에 대한 이 작전 하에서 진실은 불변이라는 주장이다.즉, C에 대한 진술이 사실이라면, C에^op 대한 이중 진술이 진실이다.또한, 만약 어떤 진술이 C에 대해 거짓이라면, 그것의 이중은 C에^op 대해 거짓이어야 한다.null

구체적인 범주 C를 고려할 때, 반대 범주 C가^op 추상적인 경우가 많다.C는^op 수학실습에서 생기는 범주가 될 필요는 없다.이 경우 D와 C가^op 범주로 동일하다면 다른 범주 D도 C와 이중성을 갖는다고 한다.null

C와 C의 반대쪽^op C가 동등한 경우, 그러한 범주는 자가이중이다.^[1]null

형식 정의

범주론의 기초언어를 개체와 형태론을 구별되는 종류로 하는 2개의 1차 순서언어로 정의하며, 이와 함께 물체의 관계가 형태론의 근원 또는 대상이며 두 가지 형태론을 구성하기 위한 상징이다.null

이 언어로 어떤 말이든 합시다.우리는 다음과 같이 이중 σ을^op 구성한다.

1. σ의 "출처"의 각 발생을 "대상"과 교환한다.
2. 형태론의 작곡 순서를 바꿔라.즉, $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g\circule$ $f$$}$의 각 항목을 f${\displaystyle }f{\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f\circule$ g$}($으)로$$ 교체하십시오.

비공식적으로, 이러한 조건들은 진술의 이중성이 화살표와 구성을 반전시킴으로써 형성된다는 것을 명시한다.null

이중성은 일부 범주 C에 대해 만약 if이^op C에^op 대해 참이라면 σ이 참이라는 관측이다.^[2][3]null

예

• A morphism ${\displaystyle f\colon A\to B}$ is a monomorphism if ${\displaystyle f\circ g=f\circ h}$ implies ${\displaystyle g=h}$. Performing the dual operation, we get the statement that ${\displaystyle g\circ f=h\circ f}$ implies ${\displaystyle g=h.}$ For a morphism${\displaystyle }f{\displaystyle }$ :${\displaystyle B}$ → ${\displaystyle A}${\$displaystyle$f\$colon$ B$\to$A$\},$ 이것이 정확히 f가 경구체(epimorphism)라는 뜻이다.요컨대 단형주의라는 특성은 인식주의라는 특성과 이중적이다.

이중성을 적용한다는 것은 일부 범주 C의 형태론이 반대 범주 C의^op 역 형태론이 경구형일 경우에만 단일형이라는 것을 의미한다.null

• 불평등의 방향을 부분 순서로 뒤집는 데서 그 예가 나온다.따라서 X가 세트이고 ≤ 부분 주문 관계인 경우 ≤_new에 의해 새로운 부분 주문 관계를 정의할 수 있다.

x ≤_new y if and only y ≤ x.

부분 순서는 Hom(A,B)이 최대 하나의 요소를 가질 수 있는 특정 종류의 범주에 해당하기 때문에 주문에 대한 이 예는 특별한 경우다.논리에 대한 적용에서, 이것은 부정의 매우 일반적인 설명처럼 보인다(즉, 증거는 반대 방향으로 실행된다).예를 들어 격자와 정반대의 것을 취한다면, 우리는 만남과 결합이 그들의 역할을 상호 교환한다는 것을 알게 될 것이다.이것은 De Morgan의 법칙의 추상적인 형태 또는 격납고에 적용되는 이중성의 형태다.null

• 한계와 콜리미트는 이중 개념이다.
• 섬유와 코이브레이션은 대수적 위상과 호모토피 이론에서 이중 개념의 예다.이런 맥락에서 이중성을 흔히 에크만-힐튼 이중성이라고 부른다.

참고 항목

• 이중 객체
• 이중성(수학)
• 반대 카테고리
• 보조 펑터

참조

• "Dual category", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• "Duality principle", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• "Duality", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Mac Lane, Saunders (1978). Categories for the Working Mathematician (Second ed.). New York, NY: Springer New York. p. 33. ISBN 1441931236. OCLC 851741862.
• Awodey, Steve (2010). Category theory (2nd ed.). Oxford: Oxford University Press. pp. 53–55. ISBN 978-0199237180. OCLC 740446073.