티올코프스키 로켓 방정식

다음에 대한 시리즈 일부
아스트로다이나믹스
궤도역학
궤도 원소 압시스 근막염의 논거 편심성 기울기 평균 이상 현상 궤도 노드 반주축 참 변칙
기준 2차체 궤도 유형 괴벽. 원궤도 타원 궤도 전송 궤도 (호만 전이 궤도 바이엘립트 전이 궤도) 포물선 궤도 쌍곡 궤도 방사 궤도 붕괴 궤도
방정식 동적 마찰 탈출속도 케플러 방정식 케플러의 행성 운동 법칙 궤도 주기 궤도 속도 표면 중력 특정 궤도 에너지 점-비바 방정식
천체역학
중력 영향 바리센터 힐 구 섭동 영향권
N-바디 궤도 라그랑쥬 포인트 (할로 궤도) 리사주 궤도 랴푸노프 궤도
엔지니어링 및 효율성
비행 전 엔지니어링 질량비 페이로드 분율 추진제 질량분수 티올코프스키 로켓 방정식
효율성 측정 그라비티 어시스트 오베르 효과
v t

티올코프스키 로켓 방정식, 고전 로켓 방정식, 또는 이상적인 로켓 방정식은 로켓의 기본 원리를 따르는 차량의 움직임을 기술한 수학 방정식이다: 고속으로 질량의 일부를 내보냄으로써 추력을 이용하여 스스로 가속을 가할 수 있는 장치로서, 그 결과 mo의 보존으로 인해 움직인다.멘텀의

${\displaystyle \Delta v=v_{\text{e}}\ln {\frac {m_{0}}{f}}=I_{\text}g_{0}\ln {\frac {m_{0}}{m_{f}}},}$

여기서:

${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$ ${\displaystyle v}$ ${\$은(는) 델타-v - 차량의 최대 속도 변화(작동하는 외부 힘이 없는 경우)이다.

${\displaystyle m_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$은(는) 추진체를 포함한 초기 총 질량이다.

${\displaystyle m_{}}$ ${\displaystyle f_{}}$ ${\$는 추진체가 없는 최종 총 질량, 즉 건조 질량이다.

${\$$I_{\text{sp}g_{0}}$은(는) 유효 배기 속도로서, 다음과 같다.

${\displaystyle I_{}}$ ${\displaystyle {\text{sp}}_{}}$ ${\$는 시간의 차원에서 특정한 충동이다.

${\displaystyle g_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$는 표준 중력이다.

${\displaystyle \ln }$ ${\displaystyle \ln }$은(는) 자연 로그 함수다.

유효 배기 속도 v ${\displaystyle e_{}}$ ${\$로켓 모터 설계로 결정), 원하는 델타-v(예: 탈출 속도) ${\displaystyle {및}_{}}$ 주어진 건조 $질량{\displaystyle {}_{}}$ m$$f$${\$displaystyle m_$${$f$}}}}}$을(를) 고려할 때$,$ 이 방정식을 사용하여 필요한 $습식{\displaystyle {}_{}}$ m${\displaystyle {}_{}{0\mathrm{}}_{}}$ - ${\displaystyle {}_{}}$ - $f$를 찾을 수 있다$.$

${\displaystyle m_{0}=m_{f}e^{\frac {\Delta v}{v_{\text{e}}}}.}$

따라서 필요한 습식 질량은 위의 도표와 같이 원하는 델타-v에 따라 기하급수적으로 증가한다.

역사

The equation is named after Russian scientist Konstantin Tsiolkovsky (Russian: Константин Циолковский) who independently derived it and published it in his 1903 work.^[1][2]

이 방정식은 1810년 영국 수학자 윌리엄 무어에 의해 더 일찍 도출되었고,^[3] 이후 1813년 별도의 책에 발표되었다.^[4]

미국의 로버트 고다드는 1912년 가능한 우주 비행을 위한 로켓 엔진의 개선 연구를 시작하면서 이 방정식을 독자적으로 개발했다.유럽의 헤르만 오베르스는 우주여행의 실현가능성을 연구하면서 1920년경 그 방정식을 독자적으로 도출했다.

로켓 방정식의 도출은 간단한 미적분학 연습이지만, 티올코프스키는 로켓이 우주 여행에 필요한 속도를 낼 수 있을지에 대한 질문에 가장 먼저 적용했다는 영예를 안는다.

파생

가장 인기 있는 파생어

다음 시스템을 고려하십시오.

다음 파생에서 "로켓"은 "로켓과 그 모든 미확정 추진제"를 의미한다.

뉴턴의 두 번째 운동 법칙은 외부 힘(${\displaystyle {Fi}_{}}$ $displaystyle F_{i$과 전체 시스템(로켓과 배기 포함)의 선형 운동량 변화를 다음과 같이 연관시킨다.

${\displaystyle \sum F_{i}=\lim _{\Delta t\t\to 0}{\frac {P_{2}-P_{1}:{\Delta t}}}$

여기서 $P{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ $displaystyle P_{1}\,}$은(는) ${\displaystyle \mathrm{시간}}$ $t{\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle t=0$

${\displaystyle P_{1}=\왼쪽({m+\Delta m}\오른쪽)V}$

및 $P{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ $displaystyle P_{2}\,}$는 로켓의 모멘텀이며 시간 t =$$ t {\$displaystyle$ t$=\Delta$ t$\,}$:

${\displaystyle P_{2}=m\left(V+\Delta V\오른쪽)++\Delta mV_{\text{e}}}$

관찰자와 관련하여 다음과 같은 경우:

$V {\$ V$\,}$은(는) 시간 $t{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle t=0}$의 로켓 속도다.

${\displaystyle V}$+ ${\displaystyle \Delta }$ V ${\$ V$+\Delta$ $V$$\,}$은(는) $시간{\displaystyle }$ t =${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$ ${\displaystyle t}$ ${\$ t$=\Delta$ t$\,}$에 있는 로켓의 속도다$$.

${\displaystyle V_{}}$ ${\displaystyle e_{}}$ $displaystyle V_{\text{e}\,}$은(는) 시간 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle t}$ ${\$ 동안 배기(로켓에 의해 손실됨)에 추가된 질량의 속도다$$.

${\displaystyle m}$+ ${\displaystyle \mathrm{\Delta m}}$ ${\$ m$+\Delta$ m$\,}$은(는) 시간 $t{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle t=0}$의 로켓 중량이다$$.

${\displaystyle m}$ $[\$은(는) 시간 $t{\displaystyle }$ =${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$ ${\displaystyle t}$ ${\$ t$\,}$에 있는 로켓의 질량이다.

관찰자 프레임에서$$ 배기 $V{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle e_{}}$ ${\$의 속도는 (배기 속도가 음의 방향에 있으므로) 로케트 프레임 v ${\displaystyle e_{}}$ ${\$의 배기 속도와 관련이 있다.

${\displaystyle V_{\text{e}=V-V_{\text{e}}}$

산출량 해결:

${\displaystyle P_{2}-P_{1}=m\Delta V-v_{\text{e}\Delta m\,}$

그리고 양의 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle m}$ ${\$$displaystyle dm=-\Delta m$$}$을(를) 배출하면 시간$$ 내에 질량이 감소하므로 ${\displaystyle \mathrm{dm}}$= -${\displaystyle \mathrm{\Delta m}}$ ${\$$displaystyle \Delta$m}을(를$)$ 사용할 수 있다.

${\displaystyle \sum F_{i}=m{\frac {dV}{dt}}+v_{\text{e}}{\frac {d}}}}}$

외부 힘이 없는 경우 $\sum {\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \sum F_{i}=0}($선형 모멘텀 보존)

${\displaystyle -m{\frac {dV}{dt}}=v_{\text{e}{\frac {dm}{dt}}}}$

$v{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle e_{}}$ $displaystyle v_{\text{e}\,}$이(가) 일정하다고 가정하면 다음과 같이 통합될 수 있다.

${\displaystyle -\int_{V}^{V+\Delta V}\,\mathrm {d}V={v_{e}\int_{m_{0}^{f}}{{f}}}{\frac {1}{1},\mathrm {d}m}m}m}}}$

그러면 이것이 산출된다.

${\displaystyle \Delta V=v_{\text{e}}\ln {\frac {m_}{m_{f}}}}}}}}$

또는 동등하게

${\displaystyle m_{}}$ ${\displaystyle f_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}^{}}$ ${\displaystyle {e\mathrm{}}_{}}$ -${\displaystyle {\Delta }^{}}$ V${\displaystyle {}^{}}$/ ${\displaystyle {v{}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {e_{}}^{}}$ ${\$ 또는$$

${\displaystyle m_{0}=m_{f}e^{\Delta V/v_{\text{e}}}}$ or ${\displaystyle m_{0}-m_{f}=m_{f}\left(e^{\Delta V/v_{\text{e}}}-1\right)}$

여기서 $m{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$은(는) 추진체를 포함한 초기 총 질량, ${\displaystyle m_{}}$ $f{\displaystyle {}_{}}$ ${\$ 그리고$$ v ${\displaystyle e_{}}$ ${\$ 로켓에 대한 속도$$(특정 임펄스 또는 시간 단위로 측정했을 경우 중력 온 지구 가속도로 곱함)이다.티온

$값{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {m\mathrm{}}_{}{}_{}}$ - m ${\displaystyle f_{}}${\$displaystyle m_{0}-m_{f}}$은 확장된 추진체의 총 작업량이다.

${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$ ${\displaystyle V}$ ${\$delta v)는 로켓 엔진을 사용하여 생성된 가속도의 크기에 대한 시간 경과에 따른 통합이다(외부 힘이 없을 경우 실제 가속도는 얼마가 될 것인가).자유 공간에서는, 속도 방향의 가속의 경우, 이것이 속도 증가다.반대 방향의 가속(감속)의 경우, 그것은 속도 감소다.물론 중력과 드래그 또한 차량을 가속시키고, 차량이 경험하는 속도 변화에 더하거나 뺄 수 있다.따라서 델타-v가 항상 차량의 속도 또는 속도의 실제 변화는 아닐 수 있다.

기타 파생어

임펄스 기반

이 방정식은 질량에 대한 힘(러스트) 형태의 가속도의 기본 적분에서 도출할 수도 있다.델타-v 방정식을 다음과 같이 표현한다.

${\displaystyle \Delta v=\int _{t_{0}^{t_{f}}{\frac {T}{{m_}-{t}\Delta {m}~dt}$

여기서 T는 추력이고 $m{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$은 초기(습도) 질량이며 ${\displaystyle \mathrm{\Delta m}}$ ${\displaystyle \Delta m}$은 초기 질량에서 최종(건조) 질량을 뺀 값이다.

그리고 시간이 지남에 따라 발생하는 힘의 통합이 완전한 충동이라는 것을 깨닫고, 추력이 관련된 유일한 힘이라고 가정하고,

${\displaystyle \int_{t_{0}^{t_{f}F~dt=J}$

통합은 다음과 같은 것으로 확인된다.

${\displaystyle J~{\frac {\ln({m_{0})}-\ln({m_{f}}}{\\델타 m}}$

질량 변화에 대한 임펄스가 추진체 질량 유량(p)에 대한 힘(force over flow rate)과 동일하다는 것을 깨닫는 것 자체가 배기 속도에 해당하는 것,

${\displaystyle {\frac {J}{\Delta m}={\frac {F}{p}=V_{\rm {exh}}}}$

본질은 에 해당할 수 있다.

${\displaystyle \Delta v=V_{\rm {exh}~\ln \left({\frac {m_{0}}}{m_{f}}}\오른쪽)}$

가속 기반

힘이 작용하지 않는 로켓을 우주에서 정지시킨다고 상상해보라(뉴턴의 제1법칙).엔진이 시동되는 순간(시계가 0으로 설정됨)부터 로켓은 일정한 질량 유량 R(kg/s)과 로켓 v_e(m/s)에 상대적인 배기 속도로 가스 질량을 배출한다.이를 통해 R × v에_e 해당하는 로켓을 추진시키는 일정한 힘 F가 생성된다. 로켓은 일정한 힘의 대상이 되지만 가스를 배출하기 때문에 총 질량이 꾸준히 감소하고 있다.뉴턴의 제2 운동 법칙에 따르면, 언제든지 가속도는 추진력 F를 현재의 질량 m으로 나눈 값이다.

${\displaystyle ~a={\frac {dv}{dt}=-{\frac {F}{m(t)}=-{\frac {Rv_{\text{e}}{m(t)}}}}}}}$

이제 로켓이 처음 탑재한 연료의 질량은 m – m과_0f 같다.따라서 일정한 질량 유량 R의 경우 이 연료를 모두 연소하는₀ 데 T = (m – m_f)/R 시간이 걸릴 것이다.0에서 T까지의 시간에 대해 방정식의 양쪽을 통합(그리고 R = dm/dt가 오른쪽에서 치환을 허용한다는 점에 주목)하면 우리는 이를 얻는다.

${\displaystyle ~\delta v=v_{f}-v_-v_{0}-{0}-\text{e}}\왼쪽[\ln m_{f}-\lnm_{0}\right]=~~v_{n 텍스트{e}}\ln \lef({\frac {m_{f}}}}}})\rig)\rig}\rig}\rig)\rig)\right}\rig}\rig)}$

유한 질량 "펠릿" 배출 한계

${\displaystyle {\mathrm{로켓}}_{}}$ 방정식은 $N{\displaystyle }$ →$∞{\$$displaystyle v_{\rm {eff}$과$($와$)$ 같이 연속적으로 $연료$를 배출하는 로켓의 속도 변화 제한 사례로도 도출할 수 있다.단위 연료 질량 당 y는 1 $2{\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle v{}_{}^{}}$ ${\displaystyle {e\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{f}}_{}^{}}$ ${\displaystyle 2_{\mathrm{}}^{}}$ ${\$

로켓의 질량 중심 프레임에서 질량 ${\displaystyle m_{}}$ $p{\displaystyle {}_{}}$ ${\$의 펠릿을 속도$$ $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$에서 배출하고$$ 로켓의 남은 질량을 $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle m}$로 하면 로켓과 펠릿의 운동 에너지를 증가시키기 위해 변환된 에너지의 양은 다음과 같다$.$

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}m_{p}v_{\rm {eff}}^{2}={\tfrac {1}{2}}m_{p}u^{2}+{\tfrac {1}{2}}m(\Delta v)^{2}}$.

분사 직전 로켓 프레임에 모멘텀 보존을 사용하여 $u{\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{p_{}}{}}$ ${\$ v${\tfrac {m}{m_{p$

${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$ ${\displaystyle v}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {e\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{f}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{m}}_{}}$ ${\displaystyle \frac{\sqrt{}}{}}$ m ${\displaystyle \frac{\sqrt{(m}}{}}$+ ${\displaystyle \frac{\sqrt{m_{}}}{}}$ $){\$ {$mp}{\sqrt{m+m_{p$

${\displaystyle \pi }$을(를) 기내의 초기 연료 질량 분율과 $m{\displaystyle {}_{}}$ ${\$ 로케트의$$ 초기 연료 질량이 되도록$$ 한다.Divide the total mass of fuel ${\displaystyle \phi m_{0}}$ into ${\displaystyle N}$ discrete pellets each of mass ${\displaystyle m_{p}=\phi m_{0}/N}$. The remaining mass of the rocket after ejecting ${\displaystyle j}$ pellets is then ${\displaystyl$$e m=m_{0}(1-j\phi /N$ .$j{\displaystyle }$ ${\displaystyle j}$ 펠릿$$ 배출 후 전체 속도 변화 합

${\displaystyle \Delta v=v_{\rm {eff}\sum _{j=1}^{j=N}{\frac {\fi /N}{\sqrt {(1-j\phi /N)(1-j\phi /N)}}}}}}$

큰 $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$의 경우 분모 $\varphi {\displaystyle }$/ ${\displaystyle \mathrm{N}}$ ${\displaystyle \ll }$ 1 ${\displaystyle \phi /N\ll 1}$의 마지막$$ 용어가 제공되지 않을$$ 수 있다는 점에 유의하십시오.

$displaystyle \Delta$$$$=N}{\frac {\pi /N}{1-j\pi /N}=v_{\rm {eff}\sum _{j=1}^{j$$=N}{\frac{\delta x}{1-x_{j}}$여기서$$ ${\displaystyle \Delta }$ x${\displaystyle }$= ${\displaystyle \frac{\varphi }{}}$ N ${\$ x$={\frace{{N}}},$ x $j$ = j =${\displaystyle {}_{}\frac{\varphi }{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\$

$N{\displaystyle }$→ ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle N\rightarrow \infit }$ 이$$ Riemann 합은 확실한 적분이 된다.

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }\Delta v=v_{\rm {eff}}\int _{0}^{\phi }{\frac {dx}{1-x}}=v_{\rm {eff}}\ln {\frac {1}{1-\phi }}=v_{\rm {eff}}\ln {\frac {m_{0}}{m_{f}}}}$, since the final remaining mass로켓은 $m{\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle {m\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle 0{}_{}}$( 1 -${\displaystyle \varphi }$ )${\displaystyle m_{f}=m_{0}(1-\phi )}$이다$.$

특수상대성

만약 특수 상대성 원리를 고려하는 시기는 다음 방정식Δ v와 상대론적 rocket,[6]{\displaystyle \Delta v}다시 기준의 관성에 의한 프레임에서 로켓의 최종 속도(그리고 m1의 정지 질량으로 감소되는 것은 그 반응 질량을 내뿜는다 이후{m_{1}\displaystyle})에 서 있기 위한 파생될 수 있다.wh로켓은 정지 상태에서 출발했으며(연료$$ 포함 나머지 질량은 ${\displaystyle {초기}_{}}$에는 $m{\displaystyle {}_{}}$ 0 ${\$ $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle c}$은(는) 진공에서 빛의 속도를 위해 서 있다$$.

${\displaystyle {\frac {m_{0}}{m_{1}:{1}=\frac {1+{\frac {\delta v}{c}}}}{1-{\frac {\delta v}}}{c}}}}\frac {2v_{\text}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

$m{\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{{}_{}}}$ ${\displaystyle \frac{{1\mathrm{}}_{}}{}}$ ${\$}:{1$}}$을(를) R$${\$displaystyle R}$로 쓰면 이 방정식이 다음과 같이 재배열될 수 있다$$.

${\displaystyle {\frac {\delta v}{c}}{\frac {R^{2v_{\text{e}}{c}}{R^1}{{2v_{\text}{c}}}{c}+1}}}}}}}$

Then, using the identity ${\displaystyle R^{\frac {2v_{\text{e}}}{c}}=\exp \left[{\frac {2v_{\text{e}}}{c}}\ln R\right]}$ (here "exp" denotes the exponential function; see also Natural logarithm as well as the "power" identity at Logarithmic identities) and the identity ${\displaystyle \tanh }$${\displaystyle x}$= ${\displaystyle e\frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{x^{}}{}}$- 1 ${\displaystyle \frac{\mathrm{e}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{x\mathrm{}}^{}}{}}$+ 1 ${\$Hyperbolic function 참조), 이는 와 동등하다.

${\displaystyle \Delta v=c\tanh \left({v_{\text{e}}}}{c}}}}{c}\ln {\frac {m_{0}}{m_{1}}}\right)}}$

방정식의 항

델타-V

우주선 비행 역학에서 사용되는 Δv로 상징되고 델타-ve로 발음되는 델타-v(문자적으로 "속도 변화")는 행성이나 달에 발사하거나 착륙하는 등의 기동이나 우주 내 궤도 기동을 수행하는 데 필요한 충동의 척도다.속도 단위를 가진 스칼라다.이 맥락에서 사용되었듯이, 그것은 차량의 속도의 물리적 변화와 같지 않다.

델타-v는 로켓 엔진 등 반응 엔진에서 생산되며 단위 질량 당 추력과 연소 시간에 비례하며, 로켓 방정식을 통해 주어진 기동에 필요한 추진제 질량을 결정하는 데 사용된다.

다중 기동의 경우 델타-v 합계는 선형이다.

행성간 임무의 경우, 델타-v는 종종 발사 날짜의 함수로 필요한 임무 델타-v를 표시하는 포크첩 플롯에 표시된다.

질량분수

항공우주 공학에서 추진제 질량 분율은 목적지에 도달하지 않는 차량 질량의 일부로서 일반적으로 차량 성능의 측정으로 사용된다.즉 추진제 질량분율은 추진제 질량과 차량의 초기 질량 사이의 비율이다.우주선에서 목적지는 보통 궤도인 반면 항공기의 경우 착륙지점이다.질량 분율이 높을수록 설계에서 가중치가 적다는 것을 나타낸다.또 다른 관련 척도는 페이로드 분율인데, 이것은 페이로드인 초기 무게의 분율이다.

유효배기속도

유효배기속도는 종종 특정한 충동으로 지정되며 그것들은 다음과 같이 서로 관련된다.

${\displaystyle v_{\text{e}=g_{0}I_{\text{sp},}$

어디에

${\displaystyle I_{}}$ ${\displaystyle {\text{sp}}_{}}$ ${\$이(가) 특정 충동(초)이며$$

${\displaystyle v_{}}$ ${\displaystyle e_{}}$ ${\$은(는) m/s(또는 g가 ft/s인² 경우 ft/s)로 측정한 유효 배기 속도와 동일한 m/s 단위로 측정한 특정 충격이다.

${\displaystyle g_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$은(는) 표준 중력 9.80665 m/s이다²(임페리얼 단위 32.174 ft/s²).

적용가능성

로켓 방정식은 로켓 비행 물리학의 핵심을 하나의 짧은 방정식으로 포착한다.유효배기속도가 일정할 때마다 로켓과 같은 반응차량에 대해서도 유효배기속도가 다를 때 합산하거나 통합할 수 있다.로켓 방정식은 로켓 엔진에서 나오는 반응력만을 설명하며, 그것은 공기역학이나 중력 같은 로켓에 작용하는 다른 힘을 포함하지 않는다.이와 같이, 대기권이 있는 행성에서 발사하기 위한 추진제 요건을 계산하기 위해 이를 사용할 때, 이러한 힘의 영향은 델타-V 요건에 포함되어야 한다(아래 예 참조).그동안 '로켓 방정식의 횡포'로 불려온 내용에서는 추진체의 양이 많아지면 전체 중량이 증가해 연료 소모량도 증가하기 때문에 로켓이 실을 수 있는 탑재량에는 한계가 있다.^[7]이 방정식은 에어로브레이킹, 총기 발사, 우주 엘리베이터, 발사 루프, 테더 추진 또는 경 돛과 같은 비 로켓 시스템에는 적용되지 않는다.

로켓 방정식은 특정 새 궤도로 변경하거나 특정 추진체가 연소하는 결과로 새로운 궤도를 찾기 위해 얼마나 많은 추진체가 필요한지 결정하기 위해 궤도 기동 시에 적용할 수 있다.궤도 기동에 적용할 때는 추진체가 배출되고 순간적으로 델타v가 가해지는 충동적인 기동을 가정한다.이 가정은 코스 중간 보정과 궤도 삽입 기동과 같은 단시간 화상의 경우 비교적 정확하다.화상 지속시간이 증가하면 기동시간 동안 차량에 가해지는 중력의 영향으로 결과의 정확도가 떨어진다.전기 추진과 같은 저신뢰, 장시간 추진의 경우 우주선의 상태 벡터의 전파와 추력 통합에 기초한 보다 복잡한 분석을 사용해 궤도 운동을 예측한다.

예

초당 4,500m(15,000ft/s)의 배기 ${\displaystyle \mathrm{속도}}$와 초당 9700m(32,000ft/s)의$$ $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ v ${\delta v}$을(를) 가정하십시오(중력 및 공기역학적 드래그 극복에 필요한$$ $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \Delta v}$ 포함).

• 단단-궤도 로켓: $1{\displaystyle \mathrm{}}$- ${\displaystyle {}^{}}$- 9${\displaystyle {.7}^{}}$/ ${\displaystyle {4.}^{}}$5 $[\$ 스타일 $1-e^{-9.7/4]$$5}$ $$= 0.884이므로 초기 총 질량의 88.4%가 추진제여야 한다.나머지 11.6%는 엔진, 탱크, 탑재량이다.
• 2단계-궤도: $1단계$에서 초당 5,000m(1만6,000ft/s)의 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ v ${\displaystyle \Delta$v},${\displaystyle }$1 - e -${\displaystyle 5^{}}$.0 /${\displaystyle {4.5}^{}}$ ${\$를 제공해야 한다고 가정한다$.$$5}$ $$= 0.671이므로 초기 총 질량의 67.1%가 1단계의 추진제여야 한다.남은 질량은 32.9%.1단계를 처분한 후 1단계의 탱크와 엔진의 질량을 뺀 질량은 이 32.9%와 동일하게 유지된다.이것이 초기 총 질량의 8%라고 가정하면 24.9%가 남는다.두 번째 단계는 $초당{\displaystyle \mathrm{}}$ 4700m(15,000ft/s)의$$ $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ v ${\displaystyle \Delta$ v$},$ 1${\displaystyle }$- e -${\displaystyle {4.7}^{}}$/ ${\displaystyle {4.5}^{}}$ ${\$를 제공해야 한다$.$$5}$ $$= 0.648이므로 나머지 질량의 64.8%는 추진체여야 하는데, 이는 원래 총 질량의 16.2%이며, 8.7%는 2단 탱크와 엔진인 탑재체, 그리고 우주왕복선의 경우 궤도선도 남아 있다.따라서 원래 발사 질량의 16.7%를 모든 엔진, 탱크 및 탑재체에 사용할 수 있다.

단계

순차적으로 추진 로켓 단계의 경우, 각 단계마다 방정식이 적용되는데, 각 단계마다 방정식의 초기 질량은 이전 단계를 폐기한 후 로켓의 총 질량이고, 방정식의 최종 질량은 해당 단계를 폐기하기 직전 로켓의 총 질량이다.각 단계마다 특정한 충동이 다를 수 있다.

예를 들어 로켓 질량의 80%가 1단계의 연료이고 10%가 1단계의 건조질량이고 10%가 남은 로켓이라면 그 다음이다.

${\displaystyle {\begin{aigned}\Delta v\ &=v_{\text{e}\100\over 100-80}\&=v_{\text{e}\ln 5\\&=1.61v_{\text{e}}.\\end{aigned}}$

각 단계에 대해$$ 동일한 $v{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle e_{}}$ ${\$을(를) 갖는 세 개의 유사하고 이후 더 작은 스테이지를 통해

${\displaystyle \Delta v\ =3v_{\text{e}\ln 5\ =4.83v_{\text{e}}}}$

그리고 페이로드(payload)는 초기 질량의 10% × 10% = 0.1%이다.

또한 탑재량이 0.1%인 유사한 SSTO 로켓은 연료 탱크와 엔진의 경우 11.1%, 연료의 경우 88.8%의 중량을 가질 수 있다.이것은 도움이 될 것이다.

${\displaystyle \Delta v\ =v_{\text{e}\ln(100/11.2)\ =2.19v_{\text{e}.}$

이전 단계가 폐기되기 전에 새로운 단계의 모터가 점화되고 동시에 작동하는 모터가 다른 특정한 임펄스를 갖는다면(고체 로켓 부스터와 액체 연료 스테이지가 흔히 그렇듯이), 상황은 더 복잡해진다.

일반적인 오해

가변 질량 시스템으로 볼 때, 이 법칙은 일정한 질량 시스템에만 유효하기 때문에 뉴턴의 제2 운동 법칙으로는 로켓을 직접 분석할 수 없다.^[8][9][10]It can cause confusion that the Tsiolkovsky rocket equation looks similar to the relativistic force equation ${\displaystyle F=dp/dt=m\;dv/dt+v\;dm/dt}$. Using this formula with ${\displaystyle m(t)}$ as the varying mass of the rocket seems to derive the Tsiolkovsky rocket equ아티온, 하지만 이 파생은 정확하지 않다.유효 배기 속도 ${\displaystyle v_{}}$ ${\$은(는) 이 공식에도 나타나지 않는다는$$ 점에 유의하십시오.

참고 항목

• 델타-v 예산
• 질량비
• 중력 유정에 델타-V를 가하는 오버스 효과는 최종 속도를 증가시킨다.
• 상대 로켓
• 궤도의 가역성
• 우주선 추진
• 가변질량계통
• 작업질량
• 로버트 고다드는 수직 비행에서 중력과 드래그에 대한 항을 추가했다.
• 지프 문제

참조

외부 링크

• 로켓 방정식을 도출하는 방법
• 상대성 계산기 – Tsiolkovsky의 로켓 방정식 학습
• 울프람알파에서 티올코프스키의 로켓 방정식 플롯과 계산기