아르키메데스 순서의 벡터 공간

In mathematics, specifically in order theory, a binary relation ${\displaystyle \,\leq \,}$ on a vector space ${\displaystyle X}$ over the real or complex numbers is called Archimedean if for all ${\displaystyle x\in X,}$ whenever there exists some ${\displaystyle y\in X}$ such that ${\displa$모든$$ 양의 정수 $n{\displaystyle }$, ${\displaystyle n,}$에 대해$$ $ystyle nx\leq y}$을(를)^[1] 선택한 다음 $반드시{\displaystyle }$ x x${\displaystyle \mathrm{\le .}}$ ${\displaystyle x\leq$ 0$.}$ Archimedious (pre)순서가 Archimedies인 (사전)순서의 벡터 공간이다.A preordered vector space ${\displaystyle X}$ is called almost Archimedean if for all ${\displaystyle x\in X,}$ whenever there exists a ${\displaystyle y\in X}$ such that ${\displaystyle -n^{-1}y\leq x\leq n^{-1}y}$ for all positive integers ${\displaystyle n,}$ the${\displaystyle }$ x${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle x=0.$$}$^[2]

특성화

주문 단위 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$이$(가$) 있는 사전 정렬된 벡터 공간$({\displaystyle X}$ ,${\displaystyle )}$ )$${\$displaystyle$$u}$은(는) ${\displaystyle \mathrm{모든}}$ 음이 아닌 $정수$ n${\displaystyle }$$\$ u {\$displaystystyle$ $n$$}$에 대해${\displaystyle }$x arch 0. {\$displaystystytype x\leq$ 0$}$을 의미하는 경우에만 Archesignedu}을 사전 정렬한다$.$

특성.

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$을(를) 유한한 실재 위에 정렬된 벡터 공간이 되도록$$ 한다.$그{\displaystyle }$ 다음 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 순서는 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 양의 원뿔이 Hausdorff TVS인$$ 고유한 토폴로지에 대해$$ 닫힌 경우에만 Archimedies이다$$.^[4]

오더단위규범

$({\displaystyle X}$, ${\displaystyle \le }$) ${\displaystyle (X,\leq )}$이(가) 주문 단위 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$이(가$$) 있는 리얼 위에 정렬된 벡터 공간이며$$, 순서가 Archimedien이고 $U{\displaystyle }$=${\displaystyle }$[${\displaystyle }$- ${\displaystyle u}$,${\displaystyle u}$ ${\displaystyle ]}$ . ${\displaystystyle U=[-u,$u,u,u$]$라고 가정합시다.$}}$ 그러면$$ 민코프스키 기능 ${\displaystyle p_{}}$ $U{\displaystyle {}_{}}$ ${\$U$}$의 $U}$ {\$displaystyle$ U}($$ ( ) > 0: r[ - , ${\$$=\inf \left\{r}0:x\in r[-u,u]\right$은 주문 단위 규범이라고 하는 규범이다.$p{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle U_{}u}$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle p_{U}(u)=1}$ 및$$ $p{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle U_{}}$ ${\$에 의해 결정되는 닫힌 단위 공을 만족한다.$U}}$은$({\displaystyle }$는) [${\displaystyle }$- ${\displaystyle u]}$ ${\displaystyle [-u,u]}$과(는) 같다($$즉$,{\displaystyle }$ [${\displaystyle }$- ${\displaystyle u,}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle ]}$=${\displaystyle }${ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle \mathrm{X}}$: ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle U_{}}$ ${\displaystyle x}$ )${\displaystyle }$1${\displaystyle }$.${\displaystyle [-u,u]=\{x\in$ X$:p_{U}(x)\leq$ 1$}).$$}$^[3]

예

The space ${\displaystyle l_{\infty }(S,\mathbb {R} )}$ of bounded real-valued maps on a set ${\displaystyle S}$ with the pointwise order is Archimedean ordered with an order unit ${\displaystyle u:=1}$ (that is, the function that is identically ${\displaystyle 1}$ on ${\displaystyle S}$$$. l ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}S}$, ${\displaystyle R\mathbb{}}$) ${\displaystyle l_{\infit }(S,\mathb {R} )$의 주문 단위 규범은 일반적인 supp 규범과 동일하다$$. $\Vert {\displaystyle }$ $f$ ${\displaystyle \underset{}{supp}}$ ${\displaystyle f\underset{}{}}$ (${\displaystyle S}$)${\displaystyle }$. ${\displaysty \ :=\sup _{}f(S).$

예

모든 주문 완료 벡터 격자는 아르키메데스 주문이다.^[5]차원 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$의 유한 차원 벡터 격자는 표준 $순서$와 함께$$ R$$ {\$displaystyle \mathb{R$} ^{$n}$에 이형인 경우에만 Archimedies 순서다$$.^[5]그러나 치수> ${\displaystyle \,>1}$의 완전히 순서가 정해진 벡터 순서는 Archimedeans의 순서가 될 수 없다.^[5]거의 아르키메데스적이지만 아르키메데스가 아닌 순서가 정해진 벡터 공간이 존재한다.

The Euclidean space ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ over the reals with the lexicographic order is not Archimedean ordered since ${\displaystyle r(0,1)\leq (1,1)}$ for every ${\displaystyle r>0}$ but ${\displaystyle (0,1)\neq (0,0).$$}$^[3]

참고 항목

• 아르키메데스 속성 – 대수 구조물의 수학적 속성
• 순서가 지정된 벡터 공간 – 부분 순서의 벡터 공간

참조

참고 문헌 목록

• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.