리에즈 공간

수학에서 리에즈 공간, 격자 순서 벡터 공간 또는 벡터 격자 공간은 부분적으로 순서 구조가 격자인 벡터 공간이다.

Riesz 공간은 그의 1928년 논문 Sur la décomposition des oppositions ponferenceels linémagers에서 처음 그것들을 정의한 Frigyes Riesz의 이름을 따서 명명되었다.

리에즈 공간은 응용 범위가 넓다. 그것들은 측정 이론에서 중요하다, 중요한 결과는 리에즈 공간의 결과의 특별한 경우라는 점에서. 예를 들어, 라돈-니코디름 정리는 프로이드텐탈 스펙트럼 정리의 특별한 경우로서 뒤따른다. 리에즈 공간도 그리스계 미국인 경제학자와 수학자 샤랄람보스 D의 작품을 통해 수학적 경제학에 응용하는 모습을 볼 수 있었다. 알리프란티스

정의

예선

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$이(가) 순서가 지정된 벡터 공간(정의상으로는 reals에 대한 벡터 공간$)$이고 S {\$displaystyle$ S$}$이(${\displaystyle 가}$$)$ X {\$displaystyle$ X}의 부분 집합이면$$ 요소 $b{\displaystyle }$∈ X ${\displaystyle b\in$ X$}$은 상한(resp)이다$$$$. lower bound) of ${\displaystyle S}$ if ${\displaystyle s\leq b}$ (resp. ${\displaystyle s\geq b}$) for all ${\displaystyle s\in S.}$ An element ${\displaystyle a}$ in ${\displaystyle X}$ is the least upper bound or supremum (resp. greater lower bound or infimum) of ${\displaystyl$$e S}$이(가) S ${\displaystyle S}$의 상한(하한)인 경우$$ $및{\displaystyle }$ S , $displaystyle$ S의 상한$$($하한$) b ${\displaystyle a\leq b}($${\displaystyle \mathrm{resp<img\; alt="S,"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/e0bcd8516b165aaacb234616d7d2d23478a35be7"\; style="vertical-align:\; -0.671ex;\; width:2.146ex;\; height:2.509ex;"\; papago-attr-id="442">}}$. ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle$ a\$geq b}).$

정의들

사전순서 벡터 격자

사전 순서가 지정된 벡터 격자는 사전 순서가 지정된 벡터 공간 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$이며, 모든$$ 원소 쌍에는 우월성이 있다.

보다 분명히, 사전 순서가 지정된 벡터 격자는 사전 순서가 부여된 벡터 공간으로서$,$ $어떤{\displaystyle }$ x${\displaystyle }$, ${\displaystyle y}$, z , ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle x,y,z\in$ E$}$에 대해서도 다음과 같이$$ 지정된다$.$

1. 번역 Invariance: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \le }$ y ${\displaystyle$ x$\leq y}$은(는${\displaystyle )}$ x + ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle y}$+ ${\displaystyle z}$. {\$displaystyle$x+z\leq $y+z$를 의미한다$.$$}$
2. 양의 동질성: 모든 스칼라 $0{\displaystyle \mathrm{}a}$ a${\displaystyle ,}${\$displaystyle 0\leq$ a$,}$ $x$${\displaystyle y}$ y$${\$displaystyle x\leq$ y$}$는 ${\displaystyle y}$. ${\displaystyle ax\$$leq ay$를 의미한다.$}$
3. 벡터 $x{\displaystyle }$, ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle x,y\in E}$에 대해, $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle e}$에 순서${\displaystyle (}$ $≤$ ) . $displaystyle \,$ (\$leq \,},)$와 관련하여$$ 우월함(표시 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \vee y}$ ${\\\\\display$이 있다.

'벡터 공간 구조와 호환된다'는 1번과 2번 항목과 함께 프리오더는 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$을 프리오더된 벡터 공간으로 만든다$$. 3번 항목은 사전주문이 반일람표라고 되어 있다. 사전 순서가 벡터 공간 구조와 호환되기 때문에 어떤 쌍도 최소값을 가지고 있다는 것을 보여줄 수 있어 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$도 반일률과 일치하므로 격자가 된다.

사전 정렬된 벡터 공간 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$은(는) 다음과 같은 동등한 속성 중 하나를 만족하는 경우에만 사전 정렬된 벡터 격자다.

1. 어떤 $x{\displaystyle }$, ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle$ x$,y\in E}$에 대해서도 그들의 우월감은 $E{\displaystyle }$. ${\displaystyle$ E$.}$에 존재한다.
2. $모든{\displaystyle }$x , ${\displaystyle y}$e${\displaystyle }$E ,$${\$displaystyle$ x$,y\in$ E$}$에 대해 이들의$$ $최소값$은${\displaystyle }$E .$${\$displaystyle$ E$.}$에 있다.
3. $임의$의${\displaystyle }$x , ${\displaystyle y}$e${\displaystyle }$E ,$${\$displaystyle$ x$,y\in$ E$}$에 대한 이들의$$ 최소값과 우월성이 E${\displaystyle }$. ${\displaystyle$ E$.}$에 존재한다.
4. $모든{\displaystyle }$ x ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle x\in E,}$ ${\displaystyle supp}$$$${\displaystyle }${${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle 0\}}$ ${\displaystyle \sup\{x,0\}}$은(는) $E{\displaystyle }$. ${\displaystyle$ E$.}$에 있음$$

리에즈 공간 및 벡터 래티스

리에즈 공간 또는 벡터 격자(Vector lattice)는 사전 순서가 부분 순서인 사전 순서의 벡터 격자(valter lattice)이다. 동등하게, 순서가 격자인 순서의 벡터 공간이다.

많은 저자들이 벡터 격자는 (예약된 벡터 공간이 아닌) 부분적으로 순서가 정해진 벡터 공간이어야 한다고 요구하는 반면, 다른 저자들은 단지 사전 순서가 정해진 벡터 공간이어야 한다고 요구한다는 점에 주목한다. 따라서 모든 리에즈 공간과 모든 벡터 격자는 순서가 지정된 벡터 공간이지만 사전 순서가 지정된 벡터 격자는 반드시 부분적으로 순서가 정해진 것은 아니라고 가정할 것이다.

If ${\displaystyle E}$ is an ordered vector space over ${\displaystyle \mathbb {R} }$ whose positive cone ${\displaystyle C}$ (the elements ${\displaystyle \,\geq 0}$) is generating (that is, such that ${\displaystyle E=C-C}$), and if for every ${\displaystyle x,y\in C}$ either $$${\displaystyle supp}${ ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y\}}$ ${\displaystyle \sup\{x,y\}$ 또는$$ ${\displaystyle inf\{x,}$ y${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \inf\{x,y\}}}$이(가) 존재하면$$ $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$이(가) 벡터 격자 격자형이다$$.^[2]

간격

부분 순서의 벡터 공간에서 순서 간격은 형식$[{\displaystyle a}$${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ]}$=${\displaystyle }${ ${\displaystyle x}$ :${\displaystyle :}$ x ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \}}$. ${\$$displaystyle$$[a,b]=\{x:$$\$$leq$ x$\leq$ $b\}}}$순서의 실제 벡터 공간에서는 형식의$$ 모든 구간이 균형을 이룬다$.$^[3] 위의 공리 1과 2에서 $x{\displaystyle }$, ${\displaystyle y}$∈${\displaystyle [,}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle x,y\in [a,b]$ 및 t$$ ${\displaystyle \in }$($0,1$)은 $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{x}}$ (${\displaystyle }$1${\displaystyle }$- ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle y}$$$${\displaystyle \in [,}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ]}$. ${\displaystystyle tx(1-t)y\in[a,b]$을 의미한다$$.$}}$ 부분집합은$$ 어떤 주문 간격에 포함되어 있으면 주문 경계가 있다고 한다.^[3] 사전 정렬된 벡터 공간의 순서 단위는 세트${\displaystyle }$[${\displaystyle }$- x${\displaystyle }$, ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [-x,x]}$이(가) 흡수되는 모든$$ $요소{\displaystyle }$ x ${\displaystyle x}$이다.^[3]

만약 우주가 자국의 대수야의 이중은 벡터 부분 공간 마련할 것을 명령 받았다 이 지도{V\displaystyle} 평면에 집합으로 일부 선형 functionals의preordered 벡터 공간의 집합 V모든 주문 간격 V{V\displaystyle}의 순서를 묶었다 이중과 Vb.{\displaystyle V^{b}에 의해 표시된.}[3]라고 불린다.알.

A subset ${\displaystyle A}$ of a vector lattice ${\displaystyle E}$ is called order complete if for every non-empty subset ${\displaystyle B\subseteq A}$ such that ${\displaystyle B}$ is order bounded in ${\displaystyle A,}$ both ${\displaystyle \sup B}$ and ${\displaystyle \inf$$B}$은(는$)$ $A{\displaystyle }$. $displaystyle$A.}의$$요소로서, 벡터 $격자{\displaystyle }$ E ${\displaystyle$ $E$$}$은(는) $주문{\displaystyle }$ 완료 $E{\displaystyle }$.${\displaystyle E}$의 주문 완료 하위 집합이라고 함$$

유한차원 리에즈 공간

유한차원 벡터 격자는 격자가 아르키메데스 순서인지 여부에 따라 두 가지 범주 중 하나로 분류된다.

정리:^[5] $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X$$}$이(가$)$ 유한차원 $n{\displaystyle .}$ ${\$$displaystyle$ n$.}$의 벡터 격자(Vector lattice)가 Archimedious 순서인 경우$$ $표준{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ 순서상 ${\displaystyle {}^{}}$$$n {\$displaystystyle$ \$mathb{R} ^{n}}$에 이형체라고 가정한다. Otherwise, there exists an integer ${\displaystyle k}$ satisfying ${\displaystyle 2\leq k\leq n}$ such that ${\displaystyle X}$ is isomorphic to ${\displaystyle \mathbb {R} _{L}^{k}\times \mathbb {R} ^{n-k}}$ where ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n-k}}$ has its cAnonical order ${\displaystyle {}_{}^{}}$ L ${\displaystyle {}_{}^{}}${\$displaystyle \mathb$ {$R} _{L}^{k}}$는 사전순으로 R ${\displaystyle {}^{}}${\$displaystyle \mathb {R}^{k}}}}}}}$이며, 이 두 공간의 제품은 표준 제품 순서를 가지고 있다.

따라서 유한차원 위상 벡터 공간과 마찬가지로 유한차원 벡터 격자는 흥미가 없는 것으로 확인된다.

기본 속성

모든 리에즈 공간은 부분적으로 순서가 정해진 벡터 공간이지만, 모든 부분 순서가 정해진 벡터 공간이 리에즈 공간은 아니다.

$X{\displaystyle }$, ${\displaystyle$ X$,}$ ${\displaystyle Supp}$$$${\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle \inf }$(${\displaystyle }$- A${\displaystyle }$) ${\displaystyle \supp A=-\inf(-A)}$의 서브셋 $A$에 대해, 최상 또는 최상이 존재할 때마다$$(이 경우 모두 존재함)에 유의하십시오.^[2] $x$ ${\displaystyle \ge }$ 0 ${\displaystyle x\geq 0}$ $및{\displaystyle }$ y$$ ${\displaystyle \ge }$ 0 ${\displaystyle y\geq$ 0$}$인 경우${\displaystyle }$[ ${\displaystyle 0,}$ x ${\displaystyle ]}$+${\displaystyle }$[ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle x}$ + ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle ]}$=$$[$0,x]+[0,y]=[0,x$,x$+y].$$$^[2] For all ${\displaystyle a,b,x,{\text{ and }}y}$ in a Riesz space ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle a-\inf(x,y)+b=\sup(a-x+b,a-y+b).$$}$^[4]

절대값

는 리스 공간 안에서 모든 요소){\displaystyle)}X,,{\displaystyle x}라는 주주가:=저녁밥을 먹다{x,−)},{\displaystyle x:{=\sup\ x,-x\},}이 만족[4]−)≤)정의된다≤ x{년 x의 절대 값,{\displaystyle x}x에 의해 표시된{X\displaystyle,}.경멸하다$playstyle - x \leq x\leq x }$ and ${\displaystyle x \geq 0.}$ For any ${\displaystyle x,y\in X}$ and any real number ${\displaystyle r,}$ we have ${\displaystyle rx = r x }$ and ${\displaystyle x+y \leq x + y .$$}$^[4]

분리성

Two elements ${\displaystyle x{\text{ and }}y}$ in a vector lattice ${\displaystyle X}$ are said to be lattice disjoint or disjoint if ${\displaystyle \inf\{ x , y \}=0,}$ in which case we write ${\displaystyle x\perp y.}$ Two elements ${\displaystyl$$e x{\text{ and }}y}$ are disjoint if and only if ${\displaystyle \sup\{ x , y \}= x + y .}$ If ${\displaystyle x{\text{ and }}y}$ are disjoint then ${\displaystyle x+y = x + y }$ and ${\displaystyle (x+y{)}^{+}=x^{+}+y^{+}}$${\displaystyle (x+y)^{+}=x^{+}+y^{+},}$ where for any element ${\displaystyle z,}$ ${\displaystyle z^{+}:=\sup\{z,0\}}$ and ${\displaystyle z^{-}:=\sup\{-z,0\}.}$ We say that two sets ${\displaystyle A}$ and ${\displaystyle B}$ are disjoint if ${\displaystyle a}$모두 ∈다면 A{A\displaystyle}는 singleton{를}{\displaystyle\와 같이{a\}후요 ∈ B, 그 경우 우리는 한 ⊥ B.{\displaystyle A\perp B}[2] 쓰는{b\in B\displaystyle,}}우리는 쓸{\displaystyle a\in}과 모든 b는⊥ B{\di에{\displaystyle}과 b{\displaystyle b}이 지리멸렬하게 하다.splAystyle a\perp B{를}의 장소}⊥ B.{\displaystyle\와 같이{a\}\perp B}에 A,{\displaystyle A,}우리가 차갑보완을 정의할.{\displaystyle A^{\perp}:=\left\{x\in X:x\perp A\right\} ⊥:){)∈ X:x ⊥}설정하는 방법.}[2]Disjoint의 보완 수단은 언제나 밴드이지만 그 반대 g에 따르면 사실이 아닙니다eneral. If ${\displaystyle A}$ is a subset of ${\displaystyle X}$ such that ${\displaystyle x=\sup A}$ exists, and if ${\displaystyle B}$ is a subset lattice in ${\displaystyle X}$ that is disjoint from ${\displaystyle A,}$ then ${\displaystyle B}$ is a lattice disjoint from ${\displaystyle \{x}$${\displaystyle \{x\}.$$}$^[2]

양성 원소의 분리된 합으로 표현

For any ${\displaystyle x\in X,}$ let ${\displaystyle x^{+}:=\sup\{x,0\}}$ and ${\displaystyle x^{-}:=\sup\{-x,0\},}$ where note that both of these elements are ${\displaystyle \geq 0}$ and ${\displaystyle x=x^{+}-x^{-}}$ with ${\displaystyle }$${\displaystyle x =x^{+}+x^{-}.}$ Then ${\displaystyle x^{+}}$ and ${\displaystyle x^{-}}$ are disjoint, and ${\displaystyle x=x^{+}-x^{-}}$ is the unique representation of ${\displaystyle x}$ as the difference of disjoint elements that are ${\displaystyle \ge 0.}$모든 x 들어{\displaystyle \geq 0.}[2], y∈ X, x+− y+≤)− y{\displaystyle\left x^{+}-y^{+}\right \leq x-y}과 x+y=저녁밥을 먹다{), y}+inf{), y}.{\displaystyle x+y=\sup\{x,y\}+\inf\{x,y\}{x,y\in X\displaystyle,}.만약 있을 경우 y, 탭 ≤ y{\displayst 0{\displaystyle y\geq 0}≥}[2].$yle x\leq y}$ then ${\displaystyle x^{+}\leq y.}$ Moreover, ${\displaystyle x\leq y}$ if and only if ${\displaystyle x^{+}\leq y^{+}}$ and ${\displaystyle x^{-}\leq x^{-1}.$$}$^[2]

모든 리에즈 공간은 분배 격자 즉,$모든$ $x{\displaystyle }$, $y$, ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \in }$ $X에 대해 다음$과 같은 동등한 속성을 가진다$.$

1. ${\displaystyle x\be z(y\ve z)=(x\be y)\ve(x\be z)}$
2. ${\displaystyle x\ve(y\be z)=(x\ve y)\ready(x\ve z)}$^[6][7]
3. $(x\displaystyle (x\be)\vee (y\be z)\vee (z\bee x)=(x\bee y)\beed (z\beee x)\beed (z\bee x)=(x\be x)\be.}$
4. ${\displaystyle }$$x$ ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle z}$= ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \wedge }$ z ${\displaystyle x\be z}$및 $x$ ${\displaystyle \vee }$ ${\displaystyle z}$= ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \vee }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle$ x$\vee z}는$항상 $x$${\displaystyle }$= ${\displaystyle y}$$$.${\$displaysty $x=y}$를 의미한다.$}$

모든 Riesz 공간에는 Riesz 분해 특성이 있다.

오더 컨버전

리에즈 공간의 순서 구조와 관련하여 시퀀스나 그물의 정합화를 정의하는 의미 있는 비등등등 방법들이 많이 있다. A sequence ${\displaystyle \left\{x_{n}\right\}}$ in a Riesz space ${\displaystyle E}$ is said to converge monotonely if it is a monotone decreasing (resp. increasing) sequence and its infimum (supremum) ${\displaystyle x}$ exists in ${\displaystyle E}$ and denoted ${\displaystyle x_{n}\$$x}($resp) 아래 화살표 x}$$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{n}\uparrow x}$ $$.

는 리스의 시퀀스{)n}{\displaystyle \left\{x_{n}\right\}}E{E\displaystyle}이 있다면 모노톤자 순서{pn}{\displaystyle \left\{p_{n}\right\ 존재하기 위해{\displaystyle)}x에}}E고 x의 n−)<>{E\displaystyle} 모일 것으로 즉.p${\displaystyle \left$

E{E\displaystyle}에서 리스 E{E\displaystyle}의 만약 너{\displaystyle u}은 긍정적인 요소는 시퀀스{)n}{\displaystyle \left\{x_{n}\right\}}u-uniformly r을에{\displaystyle)}x에 모일 것;0{\displaystyle r>0}N은{\displa 존재한다고 한다.ystyle$$$}$ > ${\$$displaystyle \left x_{n}-x\right$ <$ru}$을(를) $모든$ N > N$.$ {\$displaystyn$.$}$

서브 스페이스

이 공간들에 의해 제공되는 추가적인 구조는 독특한 종류의 Riesz 하위 공간을 제공한다. 리에즈 공간의 각 종류의 구조(예를 들어 모든 이상들의 집합)는 분배 격자를 형성한다.

하위 항목

If ${\displaystyle X}$ is a vector lattice then a vector sublattice is a vector subspace ${\displaystyle F}$ of ${\displaystyle X}$ such that for all ${\displaystyle x,y\in F,}$ ${\displaystyle \sup\{x,y\}}$ belongs to ${\displaystyle F}$ (where this supremum is taken in ${\displaystyle X}$$(\displaystyle X}$ $$^[4]) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 하위 $공간{\displaystyle }$ F ${\displaystyle F}$이(가) 표준 순서 하의 벡터 격자이지만 $X{\displaystyle }$. ${\displaystyle X.}$의 벡터 하위 격자는 아닐 수 있다.

이상

만약 그것은 고체 나는 리스의 E{E\displaystyle}{\displaystyle 1세} 벡터 부분 공간는 이상, 만약 f에 ∈고 gE∈{\displaystyle f\in 나는},{g\in E\displaystyle,}g≤ f{\displaystyle g\leq f}이 g∈.{\displaystyle g\in 나}[4]그 교차하는 의미를 내포하고 것을 의미하는 것이다.이온 임의의 이상 모음은 다시 이상이며, 이는 $E{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle E}$의 일부 비어 있지 않은 부분 집합 $,$ {\$displaystyle$E}을(를) 포함하는 가장 작은 이상에 대한 정의를 가능하게 하며$$, $A{\displaystyle .}$ ${\displaystyle A}$ 싱글톤에 의해 생성된 이상을$$ 주 이상이라고 한다.

밴드 및 σ-아이디어

Riesz 공간 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$의 밴드 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$은(는$)$ ${\displaystyle 절대값}$ f${\displaystyle }$$displaystyle f}$이$($가) $B{\displaystyle }$, ${\displaystyle B,}$의 임의 부분 집합의 최상인$$ ${\displaystyle \mathrm{추가}}$ 속성으로 정의된다$$. $실제로$$$B${\displaystyle .}$ ${\displaystyle$ F$}$가 B$.$ {\displaystyle f.$}}$ ${\displaystyle$ \sigma } -이념은 유사하게 정의되며, '임의의 부분 집합'이라는 단어가 '카운트 가능한 부분 집합'으로 대체된다. 분명히 모든 밴드는 $\sigma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \sigma }$이상적인$$ 것이지만, 그 반전은 일반적으로 사실이 아니다.

임의의 밴드 계열의 교차점은 다시 밴드다. 이상과 마찬가지로, $E{\displaystyle }$, ${\displaystyle E}$의 모든 비 빈 $부분{\displaystyle }$ 집합$$A {\$displaystyle$ A$}$에 대해, $.$ {\$displaystyle$ A$.}$에 의해 생성된 대역이라고 하는, 그러한 부분 집합이 포함된 가장 작은 밴드가 존재한다$$.

투영 밴드

A band ${\displaystyle B}$ in a Riesz space, is called a projection band, if ${\displaystyle E=B\oplus B^{\bot },}$ meaning every element ${\displaystyle f\in E}$ can be written uniquely as a sum of two elements, ${\displaystyle f=u+v}$ with ${\displaystyle u\in B}$ and ${\displaystyle v\in }$${\displaystyle B^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle v\in B^{\bot }}}$이(가) 거기에$$ 또한 양의 선형 idempotent, 또는 투영 ${\displaystyle P_{}}$:${\displaystyle E}$ → E${\displaystyle }$,$${\$displaystyle P_{B:$$P{\displaystyle {}_{}{B}_{}}$ ( f ) =${\displaystyle u}$. ${\displaystyle P_{B}(f)=u.$와 같은$$ E$\to$E,}$}$

리에즈 공간의 모든 투영 밴드의 집합은 부울 대수를 형성한다. 일부 공간에는 비교 투영 대역($예{\displaystyle }$: C${\displaystyle }$(${\displaystyle }$[ 0${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$) ${\displaystyle$ C $([0,1])})$이 없으므로 이 부울 대수는 사소한 것일 수 있다.

완성도

벡터 격자는 모든 부분집합이 우월성과 최소값을 모두 갖는 경우 완성된다.

벡터 격자는 상한을 가진 각 집합이 우월성을 가지고 있고 하한을 가진 각 집합이 최소값을 갖는 경우 데데킨드 완성이다.

주문의 표준 이미지가 주문 완료인 주문 완료 벡터 격자는 최소형이라고 하며 최소형이라고 한다.^[4]

하위 스페이스, 인용부 및 제품

하위 항목

If ${\displaystyle M}$ is a vector subspace of a preordered vector space ${\displaystyle X}$ then the canonical ordering on ${\displaystyle M}$ induced by ${\displaystyle X}$'s positive cone ${\displaystyle C}$ is the preorder induced by the pointed convex cone ${\displaystyle C\cap M,}$ where t$그$의 콘은$$C {\$displaystyle$ C}이$($가$$) 적절한 경우($즉{\displaystyle }$, C ${\displaystyle \cap }$(${\displaystyle }$- ${\displaystyle C}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle$ C$\cap(-C)=\varnothy }).$^[3]

A sublattice of a vector lattice ${\displaystyle X}$ is a vector subspace ${\displaystyle M}$ of ${\displaystyle X}$ such that for all ${\displaystyle x,y\in M,}$ ${\displaystyle \sup _{}{}_{X}(x,y)}$ belongs to ${\displaystyle X}$ (importantly, note that this supremum은 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle X$$}$이(가) 아닌$$ X ${\$displaystyle X$}$^[3]에서 취함 만약 X=나는 p({\displaystyle X=L^{p}([0,1],\mu)}과 0<>p<>1,{0<, p< 1\displaystyle,}는 2차원 벡터 부분 공간 M{M\displaystyle}의 X{X\displaystyle}에 의해 정의된 모든 지도의 형태에선 ↦ t+b{\displaystyle t\mapsto at+b}(어디에 a, b∈ R{\displa.ystyle의$\in \mathb {R}$ )은 유도된 순서에 따른 벡터 격자이지만 $.$ {\$displaystyle X.}$의 하위 격자는 아니지만 이는$$^[5] X ${\displaystyle X}$이($가{\displaystyle }$) Archimediese가 주문한 위상 벡터 격자 완전 순서임에도 불구하고 말이다. ${\displaystyle \mathrm{또한}}이{\displaystyle }$ 공간 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle N\cap C}$에 벡터 서브레이티스 $N{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $N$$}$이(가) 존재하지만, $N$ ${\displaystyle N}$에서 양의 선형 기능으로 $확장$될${\displaystyle }$$수{\displaystyle }$없다$.$$디스플레이 스타일 X.}$

지수 격자

Let ${\displaystyle M}$ be a vector subspace of an ordered vector space ${\displaystyle X}$ having positive cone ${\displaystyle C,}$ let ${\displaystyle \pi :X\to X/M}$ be the canonical projection, and let ${\displaystyle {\hat {C}}:=\pi (C).$$}$ Then ${\displaystyle {\hat {C}}}$ is a cone in ${\displaystyle X/M}$ that induces a canonical preordering on the quotient space ${\displaystyle X/M.}$ If ${\displaystyle {\hat {C}}}$ is a proper cone in ${\displaystyle X/M}$ then ${\displaystyle {\hat {$$C}}}$은(는) $X{\displaystyle }$/ M ${\displaystyle X/M}$을(를) 순서 벡터 공간으로 만든다$$$$.^[3] M{M\displaystyle}은 C{C\displaystyle}-saturated C^{\displaystyle{\hat{C}}}를 정의하는 정식 순서의 X/M.{\displaystyle X/M.}[5]다는 것 X)미국의 02{\displaystyle X=\mathbb{R}_{0}^{2}}이π(C){\displaystyl하는 정연한 벡터 공간의 예를 제공한다.$e \pi (C)}$은(는) 적절한 콘이 아니다$$.

If ${\displaystyle X}$ is a vector lattice and ${\displaystyle N}$ is a solid vector subspace of ${\displaystyle X}$ then ${\displaystyle {\hat {C}}}$ defines the canonical order of ${\displaystyle X/M}$ under which ${\displaystyle L/M}$ is a vector lattice and the canonical map $$${\displaystyle \pi }$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle X}$/ M ${\displaystyle \pi :X\to X/M}$은 벡터 격자 동형성이다. 만약 M{M\displaystyle}X/M{X/M\displaystyle}그 다음에 순서 위상 기하학 고체이다 더욱이, 만약 X{X\displaystyle}은 order과 M{M\displaystyle}한 청소년 밴드 X{X\displaystyle}에서 그 후에 X/M{X/M\displaystyle}M⊥과 동형이다.{\displaystyle M^{\bot}.}[5]또한, 완전한.$$ $X{\displaystyle }$. ${\displaystyle$ X$}$의 주문 위상 지수

$X$ ${\displaystyle X$$}$이(가) 위상 벡터 격자이고${\displaystyle }$M ${\$$displaystyle$ $X}$의 닫힌 솔리드 하위 격자라면$$ X/^[5]L {\displaystyle X/L$}$도 위상 벡터 격자일 수 $있다$.

제품

If ${\displaystyle S}$ is any set then the space ${\displaystyle X^{S}}$ of all functions from ${\displaystyle S}$ into ${\displaystyle X}$ is canonically ordered by the proper cone ${\displaystyle \left\{f\in X^{S}:f(s)\in C{\text{ for all }}s\in S\rig$$ht\}.}$^[3]

Suppose that ${\displaystyle \left\{X_{\alpha }:\alpha \in A\right\}}$ is a family of preordered vector spaces and that the positive cone of ${\displaystyle X_{\alpha }}$ is ${\displaystyle C_{\alpha }.}$ Then ${\displaystyle C:=\prod _{\alpha }C_{\alpha }}$ is a pointed convex cone in ${\displaystyle \prod _{\alpha }X_{\alpha },}$ which determines a canonical ordering on ${\displaystyle \prod _{\alpha }X_{\alpha }}$; ${\displaystyle C}$ is a proper cone if all ${\displaystyle C_{\alpha }}$ are proper cones.^[3]

대수직접합

The algebraic direct sum ${\displaystyle \bigoplus _{\alpha }X_{\alpha }}$ of ${\displaystyle \left\{X_{\alpha }:\alpha \in A\right\}}$ is a vector subspace of ${\displaystyle \prod _{\alpha }X_{\alpha }}$ that is given the canonical subspace ordering inherited from ${\displaystyle \prod _{\alpha }}$Xα.{\displaystyle \prod_{\alpha}X_{\alpha}.}[3]만약 X1,…, Xn{\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}이 subspaces의 그 후에 X{X\displaystyle}은 주문한 직접적인 합 정렬된 벡터 공간 X{X\displaystyle}의 벡터 subspaces 명령을 받았다 만약 X의 정식 대수적 동형 이성{\displ.${\displaystyle \underset{}{\alpha }}$ ${\displaystyle \underset{}{}{}_{}}{\displaystyle \underset{}{}{\alpha }_{}}$ α ${\$에 대한 $aystyle$ X$}$는 $주문$ 이형성이다.$$^[3]

선형 지도 공간

$벡터{\displaystyle }$ 공간 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 콘 $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$이${\displaystyle (}$가) 전체 벡터 ${\displaystyle \mathrm{공간}}$과 같으면$$ 생성되고 있다고 한다$$.^[3] If ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle W}$ are two non-trivial ordered vector spaces with respective positive cones ${\displaystyle P}$ and ${\displaystyle Q,}$ then ${\displaystyle P}$ is generating in ${\displaystyle X}$ if and only if the set ${\$$displaystyle C=\{u\in \operatorname {L} (X;W):u(P)\subseteq Q\}}$ is a proper cone in ${\displaystyle \operatorname {L} (X;W),}$ which is the space of all linear maps from ${\displaystyle X}$ into ${\displaystyle W.}$ In this case the ordering defined by ${\displaystyle C}$ is called the canonical o$L{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle }$ (${\displaystyle X}$; ${\displaystyle W}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle \operatorname {L}(X;W$)의 rendering$.$$}$^[3] More generally, if ${\displaystyle M}$ is any vector subspace of ${\displaystyle \operatorname {L} (X;W)}$ such that ${\displaystyle C\cap M}$ is a proper cone, the ordering defined by ${\displaystyle C\cap M}$ is called the canonical ordering of ${\displaystyle M.}$^[3]

A linear map ${\displaystyle u:X\to Y}$ between two preordered vector spaces ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle Y}$ with respective positive cones ${\displaystyle C}$ and ${\displaystyle D}$ is called positive if ${\displaystyle u(X)\subseteq D.}$ If ${\displaystyle X}$$$ and ${\displaystyle Y}$ are vector lattices with ${\displaystyle Y}$ order complete and if ${\displaystyle H}$ is the set of all positive linear maps from ${\displaystyle X}$ into ${\displaystyle Y}$ then the subspace ${\displaystyle M:=H-H}$ of ${\displaystyle \operator$$이름 {L}(X;Y)$은 정식 순서에 따른 주문 완료 벡터 격자로, 더욱이 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$에는 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 주문 간격을 Y${\displaystyle }$. ${\displaystyle Y.}$의 주문 간격으로 매핑하는 선형 맵이 정확히 포함되어$$ 있다.

양의 기능 및 주문 이중

A linear function ${\displaystyle f}$ on a preordered vector space is called positive if ${\displaystyle x\geq 0}$ implies ${\displaystyle f(x)\geq 0.}$ The set of all positive linear forms on a vector space, denoted by ${\displaystyle C^{*},}$ is a cone equal to the polar of ${\dis$$Playstyle -C.}$ 순서가 지정된 $벡터{\displaystyle }$ 공간$$X {\$displaystyle$ X$}$의 순서 $이중$은${\displaystyle {}^{}}$X${\displaystyle {}^{}}$+ ,$${\$displaystyle$ X$^{+}$로 표시되며${\displaystyle {}^{}}X{\displaystyle {}^{}}$ + : ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$- C${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaysty X^{+}:$$=C^{*}-C^{*}}.}$ $X{\displaystyle {}^{}}$+${\displaystyle {}^{}}$⊆ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle b^{}}$, ${\displaystyle X^{+}\subseteq X^{b}}}}}}}$이(가) 있지만$$, 집합 균등이 유지되지 않는 순서 벡터 공간이 있다.^[3]

벡터 격자 동형성

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$ 및$$ $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$이(가) 양의 $원뿔{\displaystyle }$ C ${\displaystyle C}$ $및{\displaystyle }$ D$$ ${\displaystyle D}$이(가) 있는 사전 정렬 벡터 래티클이며, ${\displaystyle \mathrm{u<img\; alt="D"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6"\; style="vertical-align:\; -0.338ex;\; width:1.924ex;\; height:2.176ex;"\; papago-attr-id="840">}}$: $X{\displaystyle }$→ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystystyle u:X\to$ Y}이$($가 지도라고 가정하자$$. $u{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle u$$}$이(가) 선형이고$$ 다음 동등한 조건 중 하나가 유지되는 경우 $u{\displaystyle }$ {\$displaystyle$u}은$$ 사전 순서가 지정된 벡터 격자 동형성이다.^[8][5]

1. ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u}$은(는) 격자 작업 보존$$
2. ${\displaystyle u}$( ${\displaystyle supp}${ ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y\}}$) = ${\displaystyle supp}${ ${\displaystyle u}$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle u}$(${\displaystyle y)\}}$ ${\displaystyle u(\supp\{x,y\}=\supp\{u(x),$ $u$$($y)\}} $모든{\displaystyle }$x에 ${\displaystyle \mathrm{대해<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; u(\backslash sup\backslash \{x,y\backslash \})=\backslash sup\backslash \{u(x),u(y)\backslash \}\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/7a1fd984b9e1fae363a78371cfc589939c2210ee"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:31.206ex;\; height:2.843ex;"\; papago-attr-id="845">}}$ $supp. u$ $.$
3. ${\displaystyle u(inf}${ ${\displaystyle x}$, $y$ ${\displaystyle \}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle inf}${ ${\displaystyle u(}$ ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle u(y}$ ${\displaystyle )\}}$ ${\displaystyle u(\inf\{x,y\}}=\$$inf$$\{u(x), u($y)\}} 모든 $x{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle \mathrm{y<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; u(\backslash inf\backslash \{x,y\backslash \})=\backslash inf\backslash \{u(x),u(y)\backslash \}\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/bf503eed97a51629bc6908e9f49cbfdcb49963c6"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:29.506ex;\; height:2.843ex;"\; papago-attr-id="846">}}$,$$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystystysty,y\}$
4. ${\displaystyle u(}$ x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle supp}$ {${\displaystyle {}^{}}$${\displaystyle (}$ x${\displaystyle {}^{}}$+${\displaystyle {}^{}}$) ,${\displaystyle u(}$ $x$-${\displaystyle {}^{}}$)$} {\$$displaystyle$ $u($ x $)=\suppled\{u\left($x^{+}\$오른쪽$$),$$$${\displaystyle u}$$\좌우($$x^{-}\in$ X$.}}})}$
5. ${\displaystyle 0}$= ${\displaystyle infu({}^{}}$+${\displaystyle {}^{}}$) ,${\displaystyle u({}^{}}$ - )${\displaystyle {}^{}\}}$ ${\$오른쪽$$$)\right\}}}$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle X}$ .${\displaystystystyle$ x\$in.}$
6. ${\displaystyle u}$( ${\displaystyle C}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle u(C)=D}$ 및$$ $u{\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$( ${\displaystyle 0}$) ${\displaystyle u^{-1}(0)$은 $X{\displaystyle }$. ${\displaystyle X.}$의 솔리드 하위 집합이다$$.
7. $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x\geq 0}$인 경우 ${\displaystyle u}$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle u(x)\geq 0.}$
8. $[\displaystyle u]$는 주문 보존이다.^[1]

사전 순서가 정해진 벡터 격자 동형성(beverjective)은 사전 순서가 정해진 벡터 격자 이형성이다.

두 리에즈 공간 사이에 미리 순서가 정해진 벡터 격자 동형성을 벡터 격자 동형성이라고 하며, 그것 역시 비주사적이라면 벡터 격자 이형성이라고 한다.

$u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$이(가) 양의 콘 $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$이(가) 있는 벡터 격자 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에서 0이 아닌 선형 함수인$$ 경우, 다음은$$ 동등하다.

1. ${\displaystyle u}$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$은$($는) 굴절 벡터 격자 동형성이다.
2. ${\displaystyle 0}$= ${\displaystyle infu({}^{}}$+${\displaystyle {}^{}}$) ,${\displaystyle u({}^{}}$ - )${\displaystyle {}^{}\}}$ ${\$오른쪽$$$)\right\}}}$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle X}$ .${\displaystystystyle$ x\$in.}$
3. ${\displaystyle u\ge }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle u\geq$ 0${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \mathrm{및<img\; alt="u\backslash geq\; 0"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/3dab5b88f0c9e756fe41d3e632de584f6bffcde2"\; style="vertical-align:\; -0.505ex;\; width:5.591ex;\; height:2.343ex;"\; papago-attr-id="867">}}$ $u{\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle u^{-1}(0)$은 $X$ .${\displaystyle X.}$의 솔리드 하이퍼플레인이다.
4. $′{\$이(가) $X{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle$ X$^{*}$에 $원뿔{\displaystyle {}^{}}$ X$∗{\$ $X^{*}$의 극한 광선을 생성함$$.$}$

An extreme ray of the cone ${\displaystyle C}$ is a set ${\displaystyle \{rx:r\geq 0\}}$ where ${\displaystyle x\in C,}$ ${\displaystyle x}$ is non-zero, and if ${\displaystyle y\in C}$ is such that ${\displaystyle x-y\in C}$ then ${\displaystyle y=sx}$ fo${\displaystyle r}$ 일부 $s{\displaystyle }$ ${\displaystyle s}$ ($0$ ${\displaystyle \le }$ s ${\displaystyle \le }$ 1${\displaystyle 0\leq$ s$\leq$ 1$.})$

A vector lattice homomorphism from ${\displaystyle X}$ into ${\displaystyle Y}$ is a topological homomorphism when ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle Y}$ are given their respective order topologies.^[5]

Projection properties

There are numerous projection properties that Riesz spaces may have. A Riesz space is said to have the (principal) projection property if every (principal) band is a projection band.

The so-called main inclusion theorem relates the following additional properties to the (principal) projection property:^[9] A Riesz space is…

• Dedekind Complete (DC) if every nonempty set, bounded above, has a supremum;
• Super Dedekind Complete (SDC) if every nonempty set, bounded above, has a countable subset with identical supremum;
• Dedekind ${\displaystyle \sigma }$-complete if every countable nonempty set, bounded above, has a supremum; and
• Archimedean property if, for every pair of positive elements ${\displaystyle x{\text{ and }}y,}$ there exists an integer ${\displaystyle n}$ such that ${\displaystyle nx\geq y.}$

Then these properties are related as follows. SDC implies DC; DC implies both Dedekind ${\displaystyle \sigma }$-completeness and the projection property; Both Dedekind ${\displaystyle \sigma }$-completeness and the projection property separately imply the principal projection property; and the principal projection property implies the Archimedean property.

None of the reverse implications hold, but Dedekind ${\displaystyle \sigma }$-completeness and the projection property together imply DC.

예

• The space of continuous real valued functions with compact support on a topological space ${\displaystyle X}$ with the pointwise partial order defined by ${\displaystyle f\leq g}$ when ${\displaystyle f(x)\leq g(x)}$ for all ${\displaystyle x\in X,}$ is a Riesz space. Archimedeans이지만, $일반적$으로 X ${\displaystyle X}$이(가) 추가 조건(예: 극단적으로 분리됨)을$$ 만족하지 않는 한 주 투영 속성을 갖지 않는다.
• (거의 거의 모든 곳에서) 포인트 부분 순서가 있는 ${\displaystyle {임의}^{}}$의 L$$p {\$displaystyle L$^{p$$$}$ 공간은 디데킨드 완제품 리에즈 공간이다.
• 사전순서가 있는$$ 공간 $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$은 아르키메데스 리에츠가 아닌 공간이다.

특성.

• 리에즈 공간은 격자 순서 그룹이다.
• 모든 리에즈 공간은 분산 격자

참고 항목

• 볼록콘 – 양의 선형 결합으로 닫힌 벡터 공간의 부분 집합
• 최소값 및 최대값 – 최대 하한 및 최소 상한
• 순서가 지정된 벡터 공간 – 부분 순서의 벡터 공간
• 부분적으로 정렬된 공간 – 부분적으로 정렬된 위상학적 공간

참조

Bibliography

• Bourbaki, Nicolas; Elements of Mathematics: Integration. Chapters 1–6; ISBN 3-540-41129-1
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
• Riesz, Frigyes; Sur la décomposition des opérations fonctionelles linéaires, Atti congress. internaz. mathematici (Bologna, 1928), 3, Zanichelli (1930) pp. 143–148
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
• Sobolev, V. I. (2001) [1994], "Riesz space", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, ISBN 978-1-4020-0609-8
• Zaanen, Adriaan C. (1996), Introduction to Operator Theory in Riesz spaces, Springer, ISBN 3-540-61989-5

External links

• Riesz space at the Encyclopedia of Mathematics