빙보르수크 추측

수학에서 빙-보르수크 추측에 따르면 $모든{\displaystyle }$ n$${\$displaystyle n}$차원 동종 절대 근린 수축 공간은 위상학적 다지관이라고 한다.이 추측이 1차원과 2차원에 대해 입증된 바 있으며, 3차원 버전의 추측이 푸앵카레 추측을 내포하고 있는 것으로 알려져 있다.

정의들

위상학적 공간은 ${\displaystyle {2점\mathrm{}}_{}}$ m 1,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle m_{1},m_{2}\in$ M$}$에 $대해$$$m 1 ${\$ $m$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$2}}까지 $걸리는{\displaystyle }$ M ${\displaystystyle M}$의 동질성 동종이다$.$

미터법 공간 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$은(는) 모든 폐쇄 $임베딩{\displaystyle f}$ : M${\displaystyle }$→ ${\displaystyle N}${\$displaystyle f:$$M$${\displaystyle \backslash }$$rightarrow N}($$N{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ N}이$($가$$) 메트릭 공간인 경우) $이미지{\displaystyle }$ f${\displaystyle (}$${\displaystyle M}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle f(M)}$의 열린 $인접{\displaystyle }$U {\$displaystyle$ U}이$($가) 있으며${\displaystyle ,}$ 이$$ U ${\displaystystyle f(M)}$로 접힌다$.$^[1]

There is an alternate statement of the Bing–Borsuk conjecture: suppose ${\displaystyle M}$ is embedded in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m+n}}$ for some ${\displaystyle m\geq 3}$ and this embedding can be extended to an embedding of ${\displaystyle M\times (-\varepsilon ,\varepsilon )}$.If ${\displaystyle M}$ has a mapping cylinder neighbourhood ${\displaystyle N=C_{\varphi }}$ of some map ${\displaystyle \varphi :\partial N\rightarrow M}$ with mapping cylinder projection ${\displaystyle \pi :N\rightarrow M}$, then ${\displaystyle \pi }$ is an approximate fibration.^[2]

역사

이 추측은 1965년 R. H. Bing과 Karol Borsuk에 의해 논문으로 처음 만들어졌는데, 그는 $그것$을 n${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyn=1}$과 2에$$ 대해 증명했다.^[3]

1978년 Wwodzimierz Jakobsche는 빙-보르수크 추측이 차원 3에서 사실이라면 푸앵카레 추측도 사실이어야 한다는 것을 보여주었다.^[4]

Busemann 추측에 따르면 모든 Busemann $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$ -공간은 위상학적 다지관이라고 한다.빙보르수크 추측의 특수한 경우다.부세만 추측은 치수 1부터 4까지 맞는 것으로 알려져 있다.

참조