드럼의 모양을 듣다

이 문서에는 참고 자료, 관련 읽기 또는 외부 링크가 포함되어 있지만 인라인 인용이 부족하여 출처가 불분명합니다. 좀 더 정확한 인용문을 도입하여 이 글의 개선에 도움을 주시기 바랍니다. (2022년 3월) (템플릿 메시지 삭제 방법 및 삭제 시기 확인)

드럼의 모양을 듣는 것은 수학 이론을 사용하여 드럼헤드의 모양에 대한 정보를 드럼헤드가 내는 소리, 즉 음색의 목록에서 추론하는 것입니다.

"드럼의 모양을 들을 수 있는가?"는 이 질문을 유명하게 만든 마크 카크의 1966년 미국 수학 월간지 기사의 제목이다. 하지만 이 특정한 표현은 립만 버스에서 유래한다.비슷한 질문은 헤르만 ^{[citation needed]}바일까지 거슬러 올라갈 수 있다.그의 논문으로, Kac은 Lester R을 받았다. 1967년 포드상, 1968년 ^[1]쇼브넷상.

드럼헤드가 진동할 수 있는 주파수는 드럼헤드의 모양에 따라 달라집니다.모양이 알려진 경우 헬름홀츠 방정식은 주파수를 계산합니다.이러한 주파수는 공간 내 라플라시안 고유값입니다.가장 중요한 질문은 주파수를 알고 있다면 형상을 예측할 수 있는가 하는 것입니다. 예를 들어, 릴로 삼각형을 이러한 ^[2]방식으로 인식할 수 있는가 하는 것입니다.Kac은 두 개의 다른 모양이 동일한 주파수 세트를 생성하는 것이 가능한지 몰랐다고 인정했다.주파수가 모양을 결정하는지에 대한 질문은 마침내 1990년대 초에 고든, 웹, 울퍼트에 의해 부정적으로 답변되었다.

형식적 진술

보다 형식적으로 드럼은 경계가 클램프된 탄성막으로 간주된다.이는 평면에서 도메인 D로 나타납니다.D의 Dirichlet 고유값, 즉 Laplacian의 Dirichlet 문제의 고유값으로 나타냅니다_n.

${\displaystyle\begin{case}\Delta u+\delta u=0\u _{\displayD}=0\end{case}}$

두 도메인이 동일한 고유값을 갖는 경우 이등분광도메인(또는 동음이의도메인)이라고 한다."호모폰"이라는 용어는 Dirichlet 고유값이 드럼이 생성할 수 있는 정확한 기본 톤이기 때문에 정당화됩니다. 즉, 그것들은 클램프 경계를 가진 솔루션 파동 방정식에서 푸리에 계수로 자연스럽게 나타납니다.

따라서 질문은 ?의_n 값만 알고 있다면 D에 대해 무엇을 추론할 수 있는가라는 식으로 재구성될 수 있다.또는 좀 더 구체적으로 말하자면 등분광 도메인이 두 개 있습니까?

관련 문제는 고차원 영역이나 리만 다양체에 있는 라플라시안 디리클레 문제와 코시-리만 연산자 또는 디락 연산자와 같은 다른 타원 미분 연산자에 대해 공식화할 수 있다.디리클레 조건 이외의 노이만 경계 조건 등 다른 경계 조건을 부과할 수 있다.스펙트럼 지오메트리와 등분광은 관련 기사를 참조한다.

정답은

1964년, 존 밀너는 에른스트 위트에 의한 격자에 대한 정리가 고유값은 같지만 다른 모양을 가진 한 쌍의 16차원 평면 토리의 존재를 암시한다고 관찰했다.그러나 2차원의 문제는 1992년 캐롤린 고든, 데이비드 웹, 스콧 울퍼트가 수나다 방법에 따라 평면 내에서 모양은 다르지만 고유값은 동일한 한 쌍의 영역을 구성하기 전까지 해결되지 않았다.영역은 오목 폴리곤입니다.두 영역의 고유값이 동일하다는 증거는 Laplacian의 대칭을 사용합니다.이 아이디어는 Buser 등에 의해 일반화되었으며, Buser 등은 수많은 유사한 예를 구축하였다.그래서, Kac의 질문에 대한 답은: 많은 모양에서 드럼의 모양을 완전히 들을 수 없다.그러나 일부 정보는 유추할 수 있습니다.

한편, 스티브 젤디치는 Kac의 질문에 대해 분석 경계를 가진 특정 볼록한 평면 영역에 제한을 가할 경우 긍정적인 답변을 할 수 있음을 증명했다.두 비볼록 분석 도메인이 동일한 고유값을 가질 수 있는지 여부는 알려지지 않았다.C 토폴로지에서는^∞ 특정 도메인과 등분광 도메인 세트가 콤팩트한 것으로 알려져 있습니다.게다가, 구(예를 들어)는 청의 고유값 비교 정리에 의해 스펙트럼적으로 강성이 있다.또한 Osgood, Phillips 및 Sarnak의 결과로, 주어진 속 리만 표면의 모듈리 공간은 어떤 점을 통해서도 연속적인 등분광 흐름을 허용하지 않으며, Fréchet-Schwartz 위상에서는 콤팩트하다는 것이 알려져 있다.

와일 공식

와일 공식은 γ가_n 얼마나 빨리 자라는지를 세어 드럼의 면적 A를 유추할 수 있다는 것이다.N(R)을 R보다 작은 고유값의 수로 정의하면 다음과 같이 됩니다.

${\displaystyle A=\obega_{d}^{d}(2\pi)^{d}\lim_{R\to\infty}{\frac {N(R)}{R^{d/2}}}}$

여기서 d는 치수, ${\displaystyle d_{}}$ d$$\ $displaystyle$\ $obega$_ {$d}$는 d차원 단위 볼의 부피입니다.Weyl은 또한 아래 근사치의 다음 항이 D의 둘레를 줄 것이라고 추측했다.즉, L이 둘레의 길이(또는 고차원 표면적)를 나타낸다면 다음과 같이 해야 한다.

${\displaystyle N(R)=(2\pi)^{-d}\omega_{d}AR^{d/2}\mp {frac {1}{4}}(2\pi)^{-d+1}\omega _{d-1}LR^{(d-1)/2}+o(R^{(d-1)/2}).}$

매끄러운 경계를 위해, 이것은 1980년에 빅터 이브리(Victor Ivrii)에 의해 증명되었다.다지관은 또한 구와 같은 주기적 측지학의 2 파라미터 패밀리를 가질 수 없다.

와일-베리 추측

평활하지 않은 경계에 대해, 마이클 베리는 1979년에 보정이 다음 순서로 되어야 한다고 추측했다.

${\displaystyle R^{D/2}}$

여기서 D는 경계의 하우스도르프 치수입니다.이것은 J. Brossard와 R. A. Carmona에 의해 반증되었고, 그는 하우스도르프 치수를 상단 박스 치수로 대체해야 한다고 제안했다.평면에서, 이것은 경계가 1차원(1993)을 갖는다면 증명되었지만, 대부분 더 높은 차원(1996)에 대해 반증되었다. 두 결과 모두 라피두스와 포메랑스에 의해 이루어졌다.

「 」를 참조해 주세요.

• 가스만 트리플
• 등분광
• 스펙트럼 지오메트리
• 원형막의 진동
• 반복 함수 시스템^[3] 프랙탈의 확장

메모들

레퍼런스

• Abikoff, William (January 1995), "Remembering Lipman Bers" (PDF), Notices of the AMS, 42 (1): 8–18
• Brossard, Jean; Carmona, René (1986). "Can one hear the dimension of a fractal?". Comm. Math. Phys. 104 (1): 103–122. Bibcode:1986CMaPh.104..103B. doi:10.1007/BF01210795. S2CID 121173871.
• Buser, Peter; Conway, John; Doyle, Peter; Semmler, Klaus-Dieter (1994), "Some planar isospectral domains", International Mathematics Research Notices, 9: 391ff
• Chapman, S.J. (1995). "Drums that sound the same". American Mathematical Monthly. 102 (February): 124–138. doi:10.2307/2975346. JSTOR 2975346.
• Giraud, Olivier; Thas, Koen (2010). "Hearing shapes of drums – mathematical and physical aspects of isospectrality". Reviews of Modern Physics. 82 (3): 2213–2255. arXiv:1101.1239. Bibcode:2010RvMP...82.2213G. doi:10.1103/RevModPhys.82.2213. S2CID 119289493.
• Gordon, Carolyn; Webb, David (1996), "You can't hear the shape of a drum", American Scientist, 84 (January–February): 46–55, Bibcode:1996AmSci..84...46G
• Gordon, C.; Webb, D.; Wolpert, S. (1992), "Isospectral plane domains and surfaces via Riemannian orbifolds", Inventiones Mathematicae, 110 (1): 1–22, Bibcode:1992InMat.110....1G, doi:10.1007/BF01231320, S2CID 122258115
• Ivrii, V. Ja. (1980), "The second term of the spectral asymptotics for a Laplace–Beltrami operator on manifolds with boundary", Funktsional. Anal. I Prilozhen, 14 (2): 25–34, doi:10.1007/BF01086550, S2CID 123935462 (러시아어).
• Kac, Mark (April 1966). "Can One Hear the Shape of a Drum?" (PDF). American Mathematical Monthly. 73 (4, part 2): 1–23. doi:10.2307/2313748. JSTOR 2313748.
• Lapidus, Michel L. (1991), "Can one hear the shape of a fractal drum? Partial resolution of the Weyl–Berry conjecture", Geometric Analysis and Computer Graphics (Berkeley, CA, 1988), Math. Sci. Res. Inst. Publ., New York: Springer, 17 (17): 119–126, doi:10.1007/978-1-4613-9711-3_13, ISBN 978-1-4613-9713-7
• Lapidus, Michel L. (1993), "Vibrations of fractal drums, the Riemann hypothesis, waves in fractal media, and the Weyl–Berry conjecture", in B. D. Sleeman; R. J. Jarvis (eds.), Ordinary and Partial Differential Equations, Vol IV, Proc. Twelfth Internat. Conf. (Dundee, Scotland,UK, June 1992), Pitman Research Notes in Math. Series, vol. 289, London: Longman and Technical, pp. 126–209
• Lapidus, M. L.; van Frankenhuysen, M. (2000), Fractal Geometry and Number Theory: Complex dimensions of fractal strings and zeros of zeta functions, Boston: Birkhauser(2005년 개정 증보)
• Lapidus, Michel L.; Pomerance, Carl (1993), "The Riemann zeta-function and the one-dimensional Weyl-Berry conjecture for fractal drums", Proc. London Math. Soc., Series 3, 66 (1): 41–69, CiteSeerX 10.1.1.526.854, doi:10.1112/plms/s3-66.1.41
• Lapidus, Michel L.; Pomerance, Carl (1996), "Counterexamples to the modified Weyl–Berry conjecture on fractal drums", Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 119 (1): 167–178, Bibcode:1996MPCPS.119..167L, doi:10.1017/S0305004100074053
• Milnor, John (1964), "Eigenvalues of the Laplace operator on certain manifolds", Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 51 (4): 542ff, Bibcode:1964PNAS...51..542M, doi:10.1073/pnas.51.4.542, PMC 300113, PMID 16591156
• Sunada, T. (1985), "Riemannian coverings and isospectral manifolds", Ann. of Math., 2, 121 (1): 169–186, doi:10.2307/1971195, JSTOR 1971195
• Zelditch, S. (2000), "Spectral determination of analytic bi-axisymmetric plane domains", Geometric and Functional Analysis, 10 (3): 628–677, arXiv:math/9901005, doi:10.1007/PL00001633, S2CID 16324240

외부 링크

• 2개의 등분광 드럼에서 파동 방정식의 해답을 나타내는 시뮬레이션
• 델라웨어 대학의 토비 드리스콜의 등분광 드럼
• Peter Buser, John Horton Conway, Peter Doyle 및 Klaus-Dieter Semmler의 평면 등분광 도메인
  • Buser-Conway-Doyle-Semmler 동음이의 드럼의 3D 렌더링
• 미국 수학 협회 웹사이트에서 이바르스 피터슨의 드럼 소리가 비슷합니다.
• Weisstein, Eric W. "Isospectral Manifolds". MathWorld.
• Benguria, Rafael D. (2001) [1994], "Dirichlet eigenvalue", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press